1. 计算下面各题。
$ \frac{1}{4} + \frac{5}{8} - \frac{2}{3} $
$ \frac{7}{9} - ( \frac{3}{5} - \frac{4}{15} ) $
$ 1 - ( \frac{3}{8} + \frac{1}{6} ) $
$ \frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{6} $
$ \frac{1}{9} + \frac{5}{9} - \frac{2}{7} $
$ \frac{11}{12} - ( \frac{1}{6} - \frac{1}{8} ) $

1. 计算$\frac{1}{4} + \frac{5}{8} - \frac{2}{3}$：
解：先通分，$4$、$8$、$3$的最小公倍数是$24$。
$\frac{1}{4}=\frac{1×6}{4×6}=\frac{6}{24}$，$\frac{5}{8}=\frac{5×3}{8×3}=\frac{15}{24}$，$\frac{2}{3}=\frac{2×8}{3×8}=\frac{16}{24}$。
则$\frac{1}{4} + \frac{5}{8} - \frac{2}{3}=\frac{6 + 15-16}{24}=\frac{5}{24}$。
2. 计算$\frac{7}{9}-(\frac{3}{5}-\frac{4}{15})$：
解：先算括号里的，$5$和$15$的最小公倍数是$15$，$\frac{3}{5}=\frac{3×3}{5×3}=\frac{9}{15}$。
则$\frac{3}{5}-\frac{4}{15}=\frac{9 - 4}{15}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$。
再算$\frac{7}{9}-\frac{1}{3}$，$9$和$3$的最小公倍数是$9$，$\frac{1}{3}=\frac{1×3}{3×3}=\frac{3}{9}$。
所以$\frac{7}{9}-(\frac{3}{5}-\frac{4}{15})=\frac{7 - 3}{9}=\frac{4}{9}$。
3. 计算$1-(\frac{3}{8}+\frac{1}{6})$：
解：先算括号里的，$8$和$6$的最小公倍数是$24$，$\frac{3}{8}=\frac{3×3}{8×3}=\frac{9}{24}$，$\frac{1}{6}=\frac{1×4}{6×4}=\frac{4}{24}$。
则$\frac{3}{8}+\frac{1}{6}=\frac{9 + 4}{24}=\frac{13}{24}$。
所以$1-(\frac{3}{8}+\frac{1}{6})=\frac{24-13}{24}=\frac{11}{24}$。
4. 计算$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}+\frac{5}{6}$：
解：先通分，$3$、$4$、$6$的最小公倍数是$12$，$\frac{2}{3}=\frac{2×4}{3×4}=\frac{8}{12}$，$\frac{1}{4}=\frac{1×3}{4×3}=\frac{3}{12}$，$\frac{5}{6}=\frac{5×2}{6×2}=\frac{10}{12}$。
则$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}+\frac{5}{6}=\frac{8 + 3+10}{12}=\frac{21}{12}=\frac{7}{4}$。
5. 计算$\frac{1}{9}+\frac{5}{9}-\frac{2}{7}$：
解：先算$\frac{1}{9}+\frac{5}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
再算$\frac{2}{3}-\frac{2}{7}$，$3$和$7$的最小公倍数是$21$，$\frac{2}{3}=\frac{2×7}{3×7}=\frac{14}{21}$，$\frac{2}{7}=\frac{2×3}{7×3}=\frac{6}{21}$。
所以$\frac{1}{9}+\frac{5}{9}-\frac{2}{7}=\frac{14 - 6}{21}=\frac{8}{21}$。
6. 计算$\frac{11}{12}-(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})$：
解：先算括号里的，$6$和$8$的最小公倍数是$24$，$\frac{1}{6}=\frac{1×4}{6×4}=\frac{4}{24}$，$\frac{1}{8}=\frac{1×3}{8×3}=\frac{3}{24}$。
则$\frac{1}{6}-\frac{1}{8}=\frac{4 - 3}{24}=\frac{1}{24}$。
再算$\frac{11}{12}-\frac{1}{24}$，$12$和$24$的最小公倍数是$24$，$\frac{11}{12}=\frac{11×2}{12×2}=\frac{22}{24}$。
所以$\frac{11}{12}-(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})=\frac{22 - 1}{24}=\frac{7}{8}$。
综上，答案依次为$\frac{5}{24}$；$\frac{4}{9}$；$\frac{11}{24}$；$\frac{7}{4}$；$\frac{8}{21}$；$\frac{7}{8}$。

$2. $一箱糖果重$ 8 $千克，水果糖占$ \frac{1}{6} ，$奶糖占$ \frac{3}{10} ，$花生糖占$ \frac{1}{5} ，$剩下的是其他糖果。　　
$（1）$水果糖、奶糖和花生糖一共占这箱糖果的几分之几$？$　　
$（2）$其他糖果占这箱糖果的几分之几$？$　　

$(1)$计算水果糖、奶糖和花生糖一共占这箱糖果的几分之几
解：求水果糖、奶糖和花生糖一共占这箱糖果的几分之几，就是将这三种糖所占的比例相加。
先对$\frac{1}{6}+\frac{3}{10}+\frac{1}{5}$进行通分，$6$、$10$、$5$的最小公倍数是$30$。
$\frac{1}{6}=\frac{1×5}{6×5}=\frac{5}{30}$；$\frac{3}{10}=\frac{3×3}{10×3}=\frac{9}{30}$；$\frac{1}{5}=\frac{1×6}{5×6}=\frac{6}{30}$。
则$\frac{1}{6}+\frac{3}{10}+\frac{1}{5}=\frac{5}{30}+\frac{9}{30}+\frac{6}{30}=\frac{5 + 9 + 6}{30}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$。
$(2)$计算其他糖果占这箱糖果的几分之几
解：把这箱糖果看作单位“$1$”，用单位“$1$”减去水果糖、奶糖和花生糖所占的比例，就可得到其他糖果所占比例。
即$1-\frac{2}{3}=\frac{3}{3}-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$；$(2)$$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$。

$3. $亮亮看一本书，第一天看了全书的$ \frac{1}{4} ，$比第二天少看了全书的$ \frac{1}{7} 。$两天一共看了全书的几分之几$？$　　

解：
1. 首先求第二天看的比例：
已知第一天看了全书的$\frac{1}{4}$，第一天比第二天少看了全书的$\frac{1}{7}$，那么第二天看的比例为$\frac{1}{4}+\frac{1}{7}$。
根据分数加法法则$a + b=\frac{a× d + b× c}{c× d}$（这里$a=\frac{1}{4}$，$b = \frac{1}{7}$，$c = 4$，$d = 7$），$\frac{1}{4}+\frac{1}{7}=\frac{1×7+1×4}{4×7}=\frac{7 + 4}{28}=\frac{11}{28}$。
2. 然后求两天一共看的比例：
第一天看的比例是$\frac{1}{4}=\frac{1×7}{4×7}=\frac{7}{28}$，第二天看的比例是$\frac{11}{28}$。
两天一共看的比例为$\frac{1}{4}+(\frac{1}{4}+\frac{1}{7})$，即$\frac{7}{28}+\frac{11}{28}$。
根据同分母分数加法法则$\frac{m}{n}+\frac{p}{n}=\frac{m + p}{n}$（这里$m = 7$，$p = 11$，$n = 28$），$\frac{7}{28}+\frac{11}{28}=\frac{7 + 11}{28}=\frac{18}{28}=\frac{9}{14}$。
所以两天一共看了全书的$\frac{9}{14}$。

$4. ($生活应用$)$某食堂原计划七月份用大米$ \frac{11}{10} $吨，实际上半月用大米$ \frac{4}{5} $吨，下半月用大米$ \frac{11}{20} $吨。实际比原计划多用多少吨大米$？$　　

解：
首先计算实际用米量：
实际用米量为上半月用米量加上下半月用米量，即$\frac{4}{5} + \frac{11}{20}$
$=\frac{16}{20} + \frac{11}{20}$
$=\frac{27}{20}$（吨）
然后计算实际比原计划多用的米量：
$\frac{27}{20}-\frac{11}{10}$
$=\frac{27}{20}-\frac{22}{20}$
$=\frac{5}{20}$
$=\frac{1}{4}$（吨）
答：实际比原计划多用$\frac{1}{4}$吨大米。

$5. ($南京江宁区$)$小明的爸爸参加了$ 2024 $年南京秦淮河半程马拉松比赛，他先用$ 50 $分钟跑了全程的$ \frac{4}{9} ，$接着又用$ 1 $小时跑了全程的一半，最后又跑$ 15 $分钟后跑完了全程。小明的爸爸最后$ 15 $分钟跑了全程的几分之几$？$　　

解：
1. 首先统一单位：
因为$1$小时$ = 60$分钟，全程看作单位“$1$”。
已知前两部分跑的路程占比，第一部分跑了全程的$\frac{4}{9}$，第二部分跑了全程的$\frac{1}{2}$。
2. 然后根据分数减法的意义计算最后$15$分钟跑的路程占比：
用单位“$1$”依次减去前两部分跑的占比，即$1-\frac{4}{9}-\frac{1}{2}$。
先通分，$1=\frac{18}{18}$，$\frac{4}{9}=\frac{4×2}{9×2}=\frac{8}{18}$，$\frac{1}{2}=\frac{1×9}{2×9}=\frac{9}{18}$。
则$1 - \frac{4}{9}-\frac{1}{2}=\frac{18}{18}-\frac{8}{18}-\frac{9}{18}$。
根据同分母分数减法法则$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}-\frac{d}{c}=\frac{a - b - d}{c}(c≠0)$，这里$a = 18$，$b = 8$，$d = 9$，$c = 18$，所以$\frac{18}{18}-\frac{8}{18}-\frac{9}{18}=\frac{18-(8 + 9)}{18}$。
先算括号里$8 + 9=17$，再算$18-17 = 1$，即$\frac{1}{18}$。
所以小明的爸爸最后$15$分钟跑了全程的$\frac{1}{18}$。

$6. ($生活体验$)$一根竹竿长$ \frac{9}{4} $米，先把竹竿的一端垂直插入$ \frac{5}{3} $米深的水池中，在水面与竹竿交界处做记号$ a ，$再把另一端垂直插入水池中，在水面与竹竿交界处做记号$ b 。$$ a $与$ b $之间的距离是多少米$？$　　

6. $\frac{5}{3}+\frac{5}{3}-\frac{9}{4}=\frac{13}{12}$（米） 解析：估一估，可知$\frac{5}{3}+\frac{5}{3}$大于$\frac{9}{4}$，因此比$\frac{9}{4}$米多出的部分就是两者重叠的部分，是$a$与$b$之间的距离。