15. 如图，直线 $y=\frac{3}{4}x + 3$ 与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线BC与x轴交于点C(2，0)，P是线段AB上的一个动点(与点A，B不重合)，过点P作直线PQ//x轴，交直线BC于点Q，连接OQ. 设动点P的横坐标为t.
(1)求直线BC的解析式；
(2)求四边形AOQB的面积S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(3)当四边形PAOQ是平行四边形时，求点P的坐标；
(4)在线段PQ上存在点M，使得四边形MOQB是菱形，直接写出此时点M的坐标.

解：
(1) 在直线$y=\dfrac{3}{4}x+3$中，令$x=0$，得$y=3$，因此$B(0,3)$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$，将$B(0,3)$、$C(2,0)$代入得：
$\begin{cases}b=3\\2k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\dfrac{3}{2}\\b=3\end{cases}$
所以直线$BC$的解析式为$y=-\dfrac{3}{2}x+3$。
(2) 在直线$y=\dfrac{3}{4}x+3$中，令$y=0$，得$\dfrac{3}{4}x+3=0$，解得$x=-4$，因此$A(-4,0)$。
由题意得$P(t,\dfrac{3}{4}t+3)$，因为$PQ// x$轴，所以点$Q$的纵坐标为$\dfrac{3}{4}t+3$，将其代入$y=-\dfrac{3}{2}x+3$，得：
$\dfrac{3}{4}t+3=-\dfrac{3}{2}x+3$
解得$x=-\dfrac{1}{2}t$，即$Q(-\dfrac{1}{2}t,\dfrac{3}{4}t+3)$。
四边形$AOQB$的面积$S=S_{△ AOB}+S_{△ BOQ}$：
$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}× OA× OB=\dfrac{1}{2}×4×3=6$，$S_{△ BOQ}=\dfrac{1}{2}× OB× x_Q=\dfrac{1}{2}×3×(-\dfrac{1}{2}t)=-\dfrac{3}{4}t$
因此$S=6-\dfrac{3}{4}t$。
因为$P$在线段$AB$上且与$A,B$不重合，所以自变量$t$的取值范围是$-4＜t＜0$。
(3) 因为$PQ// AO$，所以当$PQ=AO$时，四边形$PAOQ$是平行四边形。
$AO=4$，$PQ=x_Q-x_P=-\dfrac{1}{2}t - t=-\dfrac{3}{2}t$，令$-\dfrac{3}{2}t=4$，解得$t=-\dfrac{8}{3}$。
将$t=-\dfrac{8}{3}$代入$P(t,\dfrac{3}{4}t+3)$，得$y=\dfrac{3}{4}×(-\dfrac{8}{3})+3=1$，
所以点$P$的坐标为$(-\dfrac{8}{3},1)$。
(4) 点$M$的坐标为$\boldsymbol{(-1,\dfrac{3}{2})}$。