1. 若关于$x$的分式方程$\frac{x+3}{1-x}=\frac{m}{x-1}$无解，则$m$的值为()

A.4
B.-4
C.-3
D.3

B

先确定分式方程的最简公分母为$x-1$，给方程两边同时乘$x-1$去分母，得：$-(x+3)=m$，整理得整式方程的解为$x=-m-3$。
分式方程无解说明该解是原方程的增根，令分母$x-1=0$，得增根为$x=1$。
将$x=1$代入$x=-m-3$，得$1=-m-3$，解得$m=-4$。

2. 若方程$\frac{6}{(x+1)(x-1)} - \frac{m}{x-1} = 1$有增根，则它的增根是()

A.0
B.-1
C.1
D.-1或1

C

分式方程的最简公分母为$(x+1)(x-1)$，令$(x+1)(x-1)=0$，可得可能的增根为$x=1$或$x=-1$。
将原方程两边同乘$(x+1)(x-1)$去分母，得到整式方程：$6 - m(x+1) = x^2 -1$。
把$x=-1$代入该整式方程，左边为6，右边为0，等式不成立，因此$x=-1$不是原方程的增根；
把$x=1$代入该整式方程，得$6-2m=0$，解得$m=3$，此时原方程存在增根$x=1$。
因此该方程的增根是1。

3. 若关于$x$的分式方程$\frac{a-1}{x^2 -4} - \frac{2}{x+2}=0$的解是负数，则$a$的取值范围是()

A.$a＜-3$
B.$a＜3$
C.$a＜-3$且$a≠-7$
D.$a＜3$且$a≠1$

C

给分式方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$去分母，得$a-1 - 2(x-2)=0$，化简后解得$x=\frac{a+3}{2}$。
由方程的解是负数，可得$\frac{a+3}{2}＜0$，解得$a＜-3$。
根据分式有意义的条件，分母不能为0，即$x≠\pm2$，代入$x=\frac{a+3}{2}$得$\frac{a+3}{2}≠2$且$\frac{a+3}{2}≠-2$，解得$a≠1$且$a≠-7$，其中$a≠1$已被$a＜-3$包含，因此$a$的取值范围是$a＜-3$且$a≠-7$。

4. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x+5≤1-x,\\2x-a＜3x\end{cases}$无解，且关于$y$的分式方程$\frac{a}{y-3}+\frac{y-4}{3-y}=2$的解为正整数，则所有满足条件的整数$a$的值之和为( )

A.$-12$
B.$-11$
C.$-10$
D.$-9$

D

先解不等式组：
1. 解$x+5 ≤ 1-x$，得$x ≤ -2$；
2. 解$2x -a ＜ 3x$，得$x ＞ -a$。
因为不等式组无解，所以$-a ≥ -2$，即$a ≤ 2$。
再解分式方程：
将方程$\frac{a}{y-3}+\frac{y-4}{3-y}=2$变形为$\frac{a}{y-3}-\frac{y-4}{y-3}=2$，两边同乘$y-3$（$y≠3$）得：
$a-(y-4)=2(y-3)$，整理得$3y=a+10$，即$y=\frac{a+10}{3}$。
由分式方程的解为正整数，得：
$y＞0$，即$\frac{a+10}{3}＞0$，得$a＞-10$；
$y≠3$（避免分母为0），即$\frac{a+10}{3}≠3$，得$a≠-1$；
$y$为正整数，故$a+10$是3的正整数倍。
结合$a≤2$且$a＞-10$，满足条件的整数$a$为$-7,-4,2$，它们的和为$-7+(-4)+2=-9$。

5. 对于实数 $a,b$，定义一种新运算“$\otimes$”：$a\otimes b=\dfrac{4}{a^2 - b}$。这里等式右边是实数运算。例如，$1\otimes (-2)=\dfrac{4}{1^2 - (-2)}=\dfrac{4}{3}$，则方程 $x\otimes 4=\dfrac{x+1}{x+2}-1$ 解的情况是()

A.$x=-10$
B.$x=-2$
C.$x=2$
D.无解

D

根据新运算定义，将方程$x\otimes 4=\dfrac{x+1}{x+2}-1$转化为：
$\frac{4}{x^2 - 4}=\frac{x+1}{x+2}-1$
利用平方差公式变形得$\frac{4}{(x+2)(x-2)}=\frac{x+1}{x+2}-1$，两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$去分母：
$4=(x+1)(x-2)-(x+2)(x-2)$
展开并化简右侧：
$4=x^2 -x -2 -x^2 +4$
$4=-x+2$
解得$x=-2$。
检验：将$x=-2$代入公分母$(x+2)(x-2)$，得结果为0，因此$x=-2$是增根，原分式方程无解。

6. 在争创国家卫生文明城市的活动中,某市组织志愿者队伍对某工地重达100吨的建筑垃圾进行清除.开工后,附近居民主动加入劳动,使清除行动的速度比原计划提高了25%,提前1小时完成了清除任务.设志愿者队伍原计划每小时清除x吨垃圾,则可列方程为()

A.$\frac{100}{x}=\frac{100}{(1+25\%)x}+1$
B.$\frac{100}{x}=\frac{100}{(1+25\%)x}-1$
C.$\frac{100}{x}=\frac{100}{(1-25\%)x}+1$
D.$\frac{100}{x}=\frac{100}{(1-25\%)x}-1$

A

原计划每小时清除x吨垃圾，则原计划完成任务的时间为$\frac{100}{x}$小时；实际清除速度比原计划提高25%，因此实际速度为$(1+25\%)x$吨/小时，实际完成任务的时间为$\frac{100}{(1+25\%)x}$小时。根据“提前1小时完成任务”，可得原计划用时 = 实际用时 + 1，据此列出方程：$\frac{100}{x}=\frac{100}{(1+25\%)x}+1$。