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7.在平面直角坐标系中，$x$轴上的点到点$A(-1,1)$和点$B(2,3)$的距离之和的最小值是________.
答案
7. 5
解析
【分析】
看到“x轴上的点到两个定点的距离之和最小”的问题，可判断为典型的将军饮马最短路径问题。首先观察点A、B都在x轴上方，属于直线同侧的两个点，解题思路为：先作其中一个点关于x轴的对称点，利用轴对称性质把同侧两点的距离和转化为异侧两点的距离和，再根据“两点之间线段最短”，可知最短距离就是对称点到另一个定点的线段长度，最后用勾股定理计算这段线段的长度即可。
【解析】
1. 作点$A(-1,1)$关于$x$轴的对称点$A'$，根据关于$x$轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得$A'$的坐标为$(-1,-1)$。
2. 根据轴对称的性质，$x$轴上任意一点$P$都满足$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB$。
3. 根据两点之间线段最短，当$A'$、$P$、$B$三点共线时，$PA'+PB$取得最小值，最小值为线段$A'B$的长度。
4. 计算$A'B$的长度：$A'$与$B$的横坐标差为$2-(-1)=3$，纵坐标差为$3-(-1)=4$，由勾股定理可得$A'B=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
【答案】
$5$
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理应用
【点评】
本题是最短路径模型在平面直角坐标系中的综合应用，解题核心是通过轴对称将同侧两点的距离和转化为异侧两点的线段长度，结合两点之间线段最短确定最小值，再利用勾股定理计算即可，考查学生对几何模型的识别能力和坐标运算能力。
【难度系数】
0.7
看到“x轴上的点到两个定点的距离之和最小”的问题，可判断为典型的将军饮马最短路径问题。首先观察点A、B都在x轴上方，属于直线同侧的两个点，解题思路为：先作其中一个点关于x轴的对称点，利用轴对称性质把同侧两点的距离和转化为异侧两点的距离和，再根据“两点之间线段最短”，可知最短距离就是对称点到另一个定点的线段长度，最后用勾股定理计算这段线段的长度即可。
【解析】
1. 作点$A(-1,1)$关于$x$轴的对称点$A'$，根据关于$x$轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得$A'$的坐标为$(-1,-1)$。
2. 根据轴对称的性质，$x$轴上任意一点$P$都满足$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB$。
3. 根据两点之间线段最短，当$A'$、$P$、$B$三点共线时，$PA'+PB$取得最小值，最小值为线段$A'B$的长度。
4. 计算$A'B$的长度：$A'$与$B$的横坐标差为$2-(-1)=3$，纵坐标差为$3-(-1)=4$，由勾股定理可得$A'B=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
【答案】
$5$
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理应用
【点评】
本题是最短路径模型在平面直角坐标系中的综合应用，解题核心是通过轴对称将同侧两点的距离和转化为异侧两点的线段长度，结合两点之间线段最短确定最小值，再利用勾股定理计算即可，考查学生对几何模型的识别能力和坐标运算能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在平面直角坐标系中,点$A(-3,4)$,将线段$OA$绕点$A$逆时针旋转$90°$至$AA'$,则点$A'$的坐标是________.
答案
8. (1,7)
解析
【分析】
要解决旋转后点的坐标问题，我们可以通过构造全等直角三角形的方法求解：首先过点A作x轴的垂线，再过点A'作该垂线的垂线，利用旋转90°得到的角的互余关系证明两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，结合点A的坐标即可计算出A'的横、纵坐标。
【解析】
1. 过点$A$作$AB⊥ x$轴于点$B$，过点$A'$作$A'C⊥ AB$，交$BA$的延长线于点$C$，可得$∠ ABO=∠ C=90°$。
2. 已知点$A(-3,4)$，因此$OB=3$，$AB=4$。
3. 因为线段$OA$绕点$A$逆时针旋转$90°$得到$AA'$，所以$OA=AA'$，$∠ OAA'=90°$，可得$∠ OAB+∠ A'AC=90°$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$∠ OAB+∠ AOB=90°$，因此$∠ A'AC=∠ AOB$。
5. 在$△ AOB$和$△ A'AC$中：
$\begin{cases}∠ ABO=∠ C\\∠ AOB=∠ A'AC\\OA=AA'\end{cases}$
所以$△ AOB≌△ A'AC(\mathrm{AAS})$。
6. 由全等性质可得$AC=OB=3$，$A'C=AB=4$。
7. 计算$A'$坐标：横坐标为$-3+4=1$，纵坐标为$4+3=7$，即$A'(1,7)$。
【答案】
$(1,7)$
【知识点】
坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题重点考查旋转性质的应用，通过构造全等三角形将旋转的边的对应关系转化为坐标的平移关系，是解决平面直角坐标系中旋转类坐标问题的常用方法，需熟练掌握此类辅助线的构造技巧。
【难度系数】
0.6
要解决旋转后点的坐标问题，我们可以通过构造全等直角三角形的方法求解：首先过点A作x轴的垂线，再过点A'作该垂线的垂线，利用旋转90°得到的角的互余关系证明两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，结合点A的坐标即可计算出A'的横、纵坐标。
【解析】
1. 过点$A$作$AB⊥ x$轴于点$B$，过点$A'$作$A'C⊥ AB$，交$BA$的延长线于点$C$，可得$∠ ABO=∠ C=90°$。
2. 已知点$A(-3,4)$，因此$OB=3$，$AB=4$。
3. 因为线段$OA$绕点$A$逆时针旋转$90°$得到$AA'$，所以$OA=AA'$，$∠ OAA'=90°$，可得$∠ OAB+∠ A'AC=90°$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$∠ OAB+∠ AOB=90°$，因此$∠ A'AC=∠ AOB$。
5. 在$△ AOB$和$△ A'AC$中：
$\begin{cases}∠ ABO=∠ C\\∠ AOB=∠ A'AC\\OA=AA'\end{cases}$
所以$△ AOB≌△ A'AC(\mathrm{AAS})$。
6. 由全等性质可得$AC=OB=3$，$A'C=AB=4$。
7. 计算$A'$坐标：横坐标为$-3+4=1$，纵坐标为$4+3=7$，即$A'(1,7)$。
【答案】
$(1,7)$
【知识点】
坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题重点考查旋转性质的应用，通过构造全等三角形将旋转的边的对应关系转化为坐标的平移关系，是解决平面直角坐标系中旋转类坐标问题的常用方法，需熟练掌握此类辅助线的构造技巧。
【难度系数】
0.6
9.(2025·扬州二模)如图,在平面直角坐标系中,$A,B,A',B'$均为格点,将线段$AB$绕着某点旋转一个角度可以得到线段$A'B'$($A$与$A'$,$B$与$B'$是对应点),则旋转中心的坐标为
(3,1)
.答案
9. (3,1)
解析
【分析】
要确定旋转中心，需结合旋转的性质思考：旋转中心到任意一组对应点的距离都相等，因此旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点。解题步骤为：首先确定A、B、A'、B'四个格点的坐标，再分别找到线段AA'、BB'的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求旋转中心，最后写出交点坐标即可。
【解析】
根据旋转的性质可知，旋转中心到对应点的距离相等，因此旋转中心是线段AA'与线段BB'的垂直平分线的交点。
步骤1：读取各点坐标：由网格可得$A(-2,0)$，$B(2,4)$，$A'(2,6)$，$B'(6,2)$。
步骤2：验证点到对应点的距离：
点$(3,1)$到A的距离为$\sqrt{(3+2)^2+(1-0)^2}=\sqrt{26}$，到$A'$的距离为$\sqrt{(3-2)^2+(1-6)^2}=\sqrt{26}$，因此该点在$AA'$的垂直平分线上；
点$(3,1)$到B的距离为$\sqrt{(3-2)^2+(1-4)^2}=\sqrt{10}$，到$B'$的距离为$\sqrt{(3-6)^2+(1-2)^2}=\sqrt{10}$，因此该点也在$BB'$的垂直平分线上。
所以两条垂直平分线的交点为$(3,1)$，即旋转中心的坐标是$(3,1)$。
【答案】
$\boxed{(3,1)}$
【知识点】
旋转的性质；垂直平分线的性质；坐标与图形变化
【点评】
本题核心是利用旋转的性质确定旋转中心的位置，解题的关键是牢记旋转中心到两组对应点的距离相等，结合网格特征可快速定位交点，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
要确定旋转中心，需结合旋转的性质思考：旋转中心到任意一组对应点的距离都相等，因此旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点。解题步骤为：首先确定A、B、A'、B'四个格点的坐标，再分别找到线段AA'、BB'的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求旋转中心，最后写出交点坐标即可。
【解析】
根据旋转的性质可知，旋转中心到对应点的距离相等，因此旋转中心是线段AA'与线段BB'的垂直平分线的交点。
步骤1：读取各点坐标：由网格可得$A(-2,0)$，$B(2,4)$，$A'(2,6)$，$B'(6,2)$。
步骤2：验证点到对应点的距离：
点$(3,1)$到A的距离为$\sqrt{(3+2)^2+(1-0)^2}=\sqrt{26}$，到$A'$的距离为$\sqrt{(3-2)^2+(1-6)^2}=\sqrt{26}$，因此该点在$AA'$的垂直平分线上；
点$(3,1)$到B的距离为$\sqrt{(3-2)^2+(1-4)^2}=\sqrt{10}$，到$B'$的距离为$\sqrt{(3-6)^2+(1-2)^2}=\sqrt{10}$，因此该点也在$BB'$的垂直平分线上。
所以两条垂直平分线的交点为$(3,1)$，即旋转中心的坐标是$(3,1)$。
【答案】
$\boxed{(3,1)}$
【知识点】
旋转的性质；垂直平分线的性质；坐标与图形变化
【点评】
本题核心是利用旋转的性质确定旋转中心的位置，解题的关键是牢记旋转中心到两组对应点的距离相等，结合网格特征可快速定位交点，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$\mathrm{Rt}△ OCB$的斜边在$y$轴上，$OC=\sqrt{3}$，直角顶点$C$在第二象限，将$\mathrm{Rt}△ OCB$绕原点顺时针旋转$120°$后得到$△ OC'B'$，则点$B$的对应点$B'$的坐标是$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
10. $(\sqrt{3},-1)$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用直角三角形中30°角的性质和勾股定理求出斜边OB的长度；第二步，根据旋转的性质可知旋转后OB'的长度和OB相等，且旋转角为120°，由此确定OB'在平面直角坐标系中的位置；第三步，过B'作x轴的垂线，再次利用直角三角形的边角关系求出B'的横、纵坐标，注意坐标的符号即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△OCB$中，$∠ C=90°$，$∠ COB=30°$，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$OB=2BC$。
设$BC=x$，则$OB=2x$，由勾股定理得：
$OC^2+BC^2=OB^2$
代入$OC=\sqrt{3}$，得：
$(\sqrt{3})^2 + x^2=(2x)^2$
$3+x^2=4x^2$
解得$x=1$（边长为正，舍去负解），因此$OB=2×1=2$。
根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度不变，故$OB'=OB=2$，旋转角$∠ BOB'=120°$（顺时针）。
原$OB$在$y$轴正半轴，顺时针旋转$120°$后，$OB'$落在第四象限，与$x$轴正方向的夹角为$30°$。
过$B'$作$B'D⊥ x$轴于点$D$，在$\mathrm{Rt}△OB'D$中：
$OD=OB'·\cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
$B'D=OB'·\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$，
因为$B'$在第四象限，纵坐标为负，故$B'$的坐标为$(\sqrt{3},-1)$。
【答案】
$(\sqrt{3},-1)$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题将旋转的性质与直角三角形的相关计算结合考查，解题的关键是抓住旋转前后线段长度不变的特点，准确判断旋转后点所在的象限，结合直角三角形的边角关系计算坐标，注重基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先利用直角三角形中30°角的性质和勾股定理求出斜边OB的长度；第二步，根据旋转的性质可知旋转后OB'的长度和OB相等，且旋转角为120°，由此确定OB'在平面直角坐标系中的位置；第三步，过B'作x轴的垂线，再次利用直角三角形的边角关系求出B'的横、纵坐标，注意坐标的符号即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△OCB$中，$∠ C=90°$，$∠ COB=30°$，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$OB=2BC$。
设$BC=x$，则$OB=2x$，由勾股定理得：
$OC^2+BC^2=OB^2$
代入$OC=\sqrt{3}$，得：
$(\sqrt{3})^2 + x^2=(2x)^2$
$3+x^2=4x^2$
解得$x=1$（边长为正，舍去负解），因此$OB=2×1=2$。
根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度不变，故$OB'=OB=2$，旋转角$∠ BOB'=120°$（顺时针）。
原$OB$在$y$轴正半轴，顺时针旋转$120°$后，$OB'$落在第四象限，与$x$轴正方向的夹角为$30°$。
过$B'$作$B'D⊥ x$轴于点$D$，在$\mathrm{Rt}△OB'D$中：
$OD=OB'·\cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
$B'D=OB'·\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$，
因为$B'$在第四象限，纵坐标为负，故$B'$的坐标为$(\sqrt{3},-1)$。
【答案】
$(\sqrt{3},-1)$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题将旋转的性质与直角三角形的相关计算结合考查，解题的关键是抓住旋转前后线段长度不变的特点，准确判断旋转后点所在的象限，结合直角三角形的边角关系计算坐标，注重基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.7
11.如图,在平面直角坐标系中,$Rt△ ABC$的顶点$A$在$x$轴上,顶点$B$在$y$轴上,$∠ ACB=90°$,$OB// AC$,点$C$的坐标为$(4,8)$,点$D$和点$C$关于$AB$成轴对称,且$AD$交$y$轴于点$E$,则点$E$的坐标为$\underline{\hspace{3cm}}$.
答案
11. (0,3)
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步先根据平行关系和直角特征确定A、B两点坐标：由OB//AC且OB为y轴（竖直方向）、∠ACB=90°，可推出AC竖直、BC水平，结合C点坐标及A在x轴、B在y轴的特点，直接得到A、B坐标；第二步利用轴对称和平行线性质推导线段相等：由轴对称可得∠BAD=∠BAC，再结合平行线内错角相等推出∠BAD=∠OBA，进而得到AE=BE；第三步设E点纵坐标为未知数，在直角三角形AOE中用勾股定理列方程求解即可得到E点坐标。
【解析】
1. 确定A、B点坐标：
∵ ∠ACB=90°，OB//AC，OB沿y轴竖直方向
∴ AC为竖直方向，BC为水平方向
已知C(4,8)，A在x轴、B在y轴
∴ A点横坐标与C相同，纵坐标为0，即$A(4,0)$；B点纵坐标与C相同，横坐标为0，即$B(0,8)$，可得$OA=4$，$OB=8$。
2. 推导线段相等关系：
∵ 点D和点C关于AB轴对称
∴ ∠BAD=∠BAC
∵ OB//AC
∴ ∠OBA=∠BAC（两直线平行，内错角相等）
∴ ∠BAD=∠OBA
∴ $AE=BE$（等角对等边）
3. 列方程求解：
设E点纵坐标为$x$，即$OE=x$，则$BE=OB-OE=8-x$，故$AE=8-x$。
在$Rt△AOE$中，由勾股定理得：
$OA^2+OE^2=AE^2$
代入数值：$4^2+x^2=(8-x)^2$
展开化简：$16+x^2=64-16x+x^2$，消去$x^2$得$16x=48$，解得$x=3$。
∵ E在y轴上，横坐标为0，
∴ E坐标为$(0,3)$。
【答案】
$(0,3)$
【知识点】
坐标与图形性质，轴对称的性质，勾股定理
【点评】
本题将平面直角坐标系、轴对称、平行线性质、勾股定理结合考查，解题的核心是通过角的等量关系转化得到线段相等，进而构造直角三角形列方程求解，是坐标与几何结合的典型常考题。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：第一步先根据平行关系和直角特征确定A、B两点坐标：由OB//AC且OB为y轴（竖直方向）、∠ACB=90°，可推出AC竖直、BC水平，结合C点坐标及A在x轴、B在y轴的特点，直接得到A、B坐标；第二步利用轴对称和平行线性质推导线段相等：由轴对称可得∠BAD=∠BAC，再结合平行线内错角相等推出∠BAD=∠OBA，进而得到AE=BE；第三步设E点纵坐标为未知数，在直角三角形AOE中用勾股定理列方程求解即可得到E点坐标。
【解析】
1. 确定A、B点坐标：
∵ ∠ACB=90°，OB//AC，OB沿y轴竖直方向
∴ AC为竖直方向，BC为水平方向
已知C(4,8)，A在x轴、B在y轴
∴ A点横坐标与C相同，纵坐标为0，即$A(4,0)$；B点纵坐标与C相同，横坐标为0，即$B(0,8)$，可得$OA=4$，$OB=8$。
2. 推导线段相等关系：
∵ 点D和点C关于AB轴对称
∴ ∠BAD=∠BAC
∵ OB//AC
∴ ∠OBA=∠BAC（两直线平行，内错角相等）
∴ ∠BAD=∠OBA
∴ $AE=BE$（等角对等边）
3. 列方程求解：
设E点纵坐标为$x$，即$OE=x$，则$BE=OB-OE=8-x$，故$AE=8-x$。
在$Rt△AOE$中，由勾股定理得：
$OA^2+OE^2=AE^2$
代入数值：$4^2+x^2=(8-x)^2$
展开化简：$16+x^2=64-16x+x^2$，消去$x^2$得$16x=48$，解得$x=3$。
∵ E在y轴上，横坐标为0，
∴ E坐标为$(0,3)$。
【答案】
$(0,3)$
【知识点】
坐标与图形性质，轴对称的性质，勾股定理
【点评】
本题将平面直角坐标系、轴对称、平行线性质、勾股定理结合考查，解题的核心是通过角的等量关系转化得到线段相等，进而构造直角三角形列方程求解，是坐标与几何结合的典型常考题。
【难度系数】
0.6
12.(2025·江宁区一模)如图,有一系列正方形,则点$O_{2024}$的坐标为________.
答案
12. $(2^{1013}-2,2^{1012})$
解析
【分析】
要解决本题，先从简单的前几个正方形中心的坐标入手，计算出$O_1$、$O_2$、$O_3$、$O_4$的坐标，观察偶数序号的点的坐标变化规律，再将$n=2024$代入对应规律即可求出结果。
【解析】
首先计算前几个正方形中心的坐标：
1. 第1个正方形顶点为$(0,0)$、$(2,0)$、$(2,2)$、$(0,2)$，中心$O_1$的坐标为$(1,1)$；
2. 第2个正方形顶点为$(0,2)$、$(2,4)$、$(4,2)$、$(2,0)$，中心$O_2$的坐标为$(2,2)$；
3. 第3个正方形中心$O_3$的坐标为$(5,2)$；
4. 第4个正方形中心$O_4$的坐标为$(6,4)$；
观察偶数序号的点的坐标规律：
当$n$为偶数，即$n=2k$（$k$为正整数）时，横坐标为$2^{k+1}-2$，纵坐标为$2^k$。
因为$2024=2×1012$，即$k=1012$，代入规律得：
横坐标：$2^{1012+1}-2=2^{1013}-2$，纵坐标：$2^{1012}$。
【答案】
$(2^{1013}-2,2^{1012})$
【知识点】
坐标找规律；正方形的性质
【点评】
本题属于规律探究题，需要先通过计算特殊点的坐标归纳出通用规律，再代入对应项数求解，重点考查归纳推理能力和对坐标变化的敏感度。
【难度系数】
0.4
要解决本题，先从简单的前几个正方形中心的坐标入手，计算出$O_1$、$O_2$、$O_3$、$O_4$的坐标，观察偶数序号的点的坐标变化规律，再将$n=2024$代入对应规律即可求出结果。
【解析】
首先计算前几个正方形中心的坐标：
1. 第1个正方形顶点为$(0,0)$、$(2,0)$、$(2,2)$、$(0,2)$，中心$O_1$的坐标为$(1,1)$；
2. 第2个正方形顶点为$(0,2)$、$(2,4)$、$(4,2)$、$(2,0)$，中心$O_2$的坐标为$(2,2)$；
3. 第3个正方形中心$O_3$的坐标为$(5,2)$；
4. 第4个正方形中心$O_4$的坐标为$(6,4)$；
观察偶数序号的点的坐标规律：
当$n$为偶数，即$n=2k$（$k$为正整数）时，横坐标为$2^{k+1}-2$，纵坐标为$2^k$。
因为$2024=2×1012$，即$k=1012$，代入规律得：
横坐标：$2^{1012+1}-2=2^{1013}-2$，纵坐标：$2^{1012}$。
【答案】
$(2^{1013}-2,2^{1012})$
【知识点】
坐标找规律；正方形的性质
【点评】
本题属于规律探究题，需要先通过计算特殊点的坐标归纳出通用规律，再代入对应项数求解，重点考查归纳推理能力和对坐标变化的敏感度。
【难度系数】
0.4
13.(2025·海门区期中)如图,一个动点在第一象限及x轴,y轴上运动,在第1秒钟,它从原点运动到(1,0),然后接着按图中箭头所示方向运动,即$(0,0)→(1,0)→(1,1)→(0,1)→…$,且每秒移动一个单位长度,那么第2046秒时动点所在位置的坐标是
(45,21)
.答案
13. (45,21)
解析
【分析】
首先总结动点的运动规律：①动点到达坐标$(n,n)$时，所用总时间为$n(n+1)$秒；②当$n$为偶数时，到达$(n,n)$后动点向下运动，运动$n$秒后到达$(n,0)$，随后向右运动；当$n$为奇数时，到达$(n,n)$后动点向左运动，运动$n$秒后到达$(0,n)$，随后向上运动。接下来找到接近2046秒的相邻$n(n+1)$的值，确定2046秒对应的运动阶段，再推算坐标即可。
【解析】
1. 计算相邻节点的时间：
当$n=44$时，到达$(44,44)$的总时间为$44×45=1980$秒；
2. 分析$n=44$后的运动：
44是偶数，因此到达$(44,44)$后动点向下运动，横坐标保持44不变，纵坐标每秒减1，向下运动44秒后，即$1980+44=2024$秒时，动点到达$(44,0)$；
3. 推算2046秒的坐标：
2024秒后动点向右运动，1秒后即2025秒到达$(45,0)$，随后开始向上运动，横坐标保持45不变，纵坐标每秒加1；
2046秒与2025秒的时间差为$2046-2025=21$秒，因此纵坐标为$0+21=21$，横坐标为45。
【答案】
$(45,21)$
【知识点】
平面直角坐标系找规律，坐标与图形运动
【点评】
本题是平面直角坐标系中的规律探究题，核心是总结出动点到达$(n,n)$的时间规律和后续运动方向规律，再结合目标时间逐步推导位置，考查归纳总结和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
首先总结动点的运动规律：①动点到达坐标$(n,n)$时，所用总时间为$n(n+1)$秒；②当$n$为偶数时，到达$(n,n)$后动点向下运动，运动$n$秒后到达$(n,0)$，随后向右运动；当$n$为奇数时，到达$(n,n)$后动点向左运动，运动$n$秒后到达$(0,n)$，随后向上运动。接下来找到接近2046秒的相邻$n(n+1)$的值，确定2046秒对应的运动阶段，再推算坐标即可。
【解析】
1. 计算相邻节点的时间：
当$n=44$时，到达$(44,44)$的总时间为$44×45=1980$秒；
2. 分析$n=44$后的运动：
44是偶数，因此到达$(44,44)$后动点向下运动，横坐标保持44不变，纵坐标每秒减1，向下运动44秒后，即$1980+44=2024$秒时，动点到达$(44,0)$；
3. 推算2046秒的坐标：
2024秒后动点向右运动，1秒后即2025秒到达$(45,0)$，随后开始向上运动，横坐标保持45不变，纵坐标每秒加1；
2046秒与2025秒的时间差为$2046-2025=21$秒，因此纵坐标为$0+21=21$，横坐标为45。
【答案】
$(45,21)$
【知识点】
平面直角坐标系找规律，坐标与图形运动
【点评】
本题是平面直角坐标系中的规律探究题，核心是总结出动点到达$(n,n)$的时间规律和后续运动方向规律，再结合目标时间逐步推导位置，考查归纳总结和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
14.(2025·江宁区月考)如图,将边长为1的正三角形AOP沿x轴正方向作无滑动的连续翻转,点P依次落在点$P_1,P_2,P_3,\dots,P_{2024}$的位置,则点$P_{2024}$的坐标为
(2023,0)
.答案
14. (2023,0)
解析
【分析】
要解决本题，需先探究正三角形无滑动翻转时点P落点的坐标规律：首先边长为1的正三角形，每次翻转沿x轴移动的距离为边长1，我们先列举前几个落点的坐标，观察发现翻转每3次为一个周期，每个周期内前两次落点重合且在x轴上，第三次落点在x轴上方，每经过一个周期横坐标增加3。接下来计算2024除以3的余数，判断$P_{2024}$在周期中的位置，再对应规律计算坐标即可。
【解析】
已知正三角形AOP的边长为1，沿x轴正方向无滑动连续翻转：
1. 列举前几个落点的坐标：
第一次翻转后，点P落在$P_1$处，坐标为$(1, 0)$；
第二次翻转后，点P落在$P_2$处，与$P_1$重合，坐标为$(1, 0)$；
第三次翻转后，点P落在$P_3$处，坐标为$(2.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$；
第四次翻转后，点P落在$P_4$处，坐标为$(4, 0)$；
第五次翻转后，点P落在$P_5$处，与$P_4$重合，坐标为$(4, 0)$；
……
2. 总结规律：每3次翻转为1个循环周期，若n除以3的余数为1或2时，点$P_n$在x轴上，纵坐标为0，横坐标为$3k+1$（k为整数，是$(n-1)$除以3向下取整的结果）；若余数为0时，点$P_n$在x轴上方。
3. 计算$P_{2024}$对应的坐标：
$2024÷3=674······2$，余数为2，符合余数为1或2的情况，纵坐标为0；
横坐标$=3×674 +1=2022+1=2023$。
【答案】
$(2023,0)$
【知识点】
坐标与图形变化，图形的翻转，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题核心是通过列举前几个点的坐标找到翻转的周期规律，再结合余数判断目标点的位置，需要注意翻转过程中存在落点重合的情况，避免总结规律时出现错误。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需先探究正三角形无滑动翻转时点P落点的坐标规律：首先边长为1的正三角形，每次翻转沿x轴移动的距离为边长1，我们先列举前几个落点的坐标，观察发现翻转每3次为一个周期，每个周期内前两次落点重合且在x轴上，第三次落点在x轴上方，每经过一个周期横坐标增加3。接下来计算2024除以3的余数，判断$P_{2024}$在周期中的位置，再对应规律计算坐标即可。
【解析】
已知正三角形AOP的边长为1，沿x轴正方向无滑动连续翻转：
1. 列举前几个落点的坐标：
第一次翻转后，点P落在$P_1$处，坐标为$(1, 0)$；
第二次翻转后，点P落在$P_2$处，与$P_1$重合，坐标为$(1, 0)$；
第三次翻转后，点P落在$P_3$处，坐标为$(2.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$；
第四次翻转后，点P落在$P_4$处，坐标为$(4, 0)$；
第五次翻转后，点P落在$P_5$处，与$P_4$重合，坐标为$(4, 0)$；
……
2. 总结规律：每3次翻转为1个循环周期，若n除以3的余数为1或2时，点$P_n$在x轴上，纵坐标为0，横坐标为$3k+1$（k为整数，是$(n-1)$除以3向下取整的结果）；若余数为0时，点$P_n$在x轴上方。
3. 计算$P_{2024}$对应的坐标：
$2024÷3=674······2$，余数为2，符合余数为1或2的情况，纵坐标为0；
横坐标$=3×674 +1=2022+1=2023$。
【答案】
$(2023,0)$
【知识点】
坐标与图形变化，图形的翻转，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题核心是通过列举前几个点的坐标找到翻转的周期规律，再结合余数判断目标点的位置，需要注意翻转过程中存在落点重合的情况，避免总结规律时出现错误。
【难度系数】
0.6
15.在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,对于点 $ P(x,y) $,我们把点 $ P'(-y+1,x+1) $ 叫作点 $ P $ 的伴随点.
已知点 $ A_1 $ 的伴随点为 $ A_2 $,点 $ A_2 $ 的伴随点为 $ A_3 $,点 $ A_3 $ 的伴随点为 $ A_4,··· $,这样依次得到点 $ A_1 $, $ A_2,A_3,···,A_n $.若点 $ A_1 $ 的坐标为 $ (2,4) $,则点 $ A_{2025} $ 的坐标为 ______.
已知点 $ A_1 $ 的伴随点为 $ A_2 $,点 $ A_2 $ 的伴随点为 $ A_3 $,点 $ A_3 $ 的伴随点为 $ A_4,··· $,这样依次得到点 $ A_1 $, $ A_2,A_3,···,A_n $.若点 $ A_1 $ 的坐标为 $ (2,4) $,则点 $ A_{2025} $ 的坐标为 ______.
答案
15. (2,4)
解析
【分析】
首先明确“伴随点”的定义：点$P(x,y)$的伴随点为$P'(-y+1,x+1)$。对于这类依次变换得到的点列问题，首先可以先计算前几个点的坐标，观察是否存在循环周期，找到周期后用总序号除以周期，根据余数就能确定对应点的坐标。
【解析】
已知$A_1$的坐标为$(2,4)$，按照伴随点的定义依次计算：
1. 求$A_2$：将$A_1(2,4)$代入伴随点公式，横坐标为$-4+1=-3$，纵坐标为$2+1=3$，得$A_2(-3,3)$；
2. 求$A_3$：将$A_2(-3,3)$代入公式，横坐标为$-3+1=-2$，纵坐标为$-3+1=-2$，得$A_3(-2,-2)$；
3. 求$A_4$：将$A_3(-2,-2)$代入公式，横坐标为$-(-2)+1=3$，纵坐标为$-2+1=-1$，得$A_4(3,-1)$；
4. 求$A_5$：将$A_4(3,-1)$代入公式，横坐标为$-(-1)+1=2$，纵坐标为$3+1=4$，得$A_5(2,4)$，与$A_1$坐标完全相同。
由此可知点列的循环周期为4，每4个点为一个循环组重复出现。
计算$2025÷4=506······1$，余数为1，说明$A_{2025}$的坐标和循环组中第1个点$A_1$的坐标相同。
【答案】
$(2,4)$
【知识点】
新定义运算；坐标规律探索；周期问题
【点评】
本题是新定义类的规律探究题，解题关键是准确理解伴随点的运算规则，通过计算前几个点的坐标归纳出循环周期，再结合余数确定所求点的位置，侧重考查对新定义的理解能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
首先明确“伴随点”的定义：点$P(x,y)$的伴随点为$P'(-y+1,x+1)$。对于这类依次变换得到的点列问题，首先可以先计算前几个点的坐标，观察是否存在循环周期，找到周期后用总序号除以周期，根据余数就能确定对应点的坐标。
【解析】
已知$A_1$的坐标为$(2,4)$，按照伴随点的定义依次计算：
1. 求$A_2$：将$A_1(2,4)$代入伴随点公式，横坐标为$-4+1=-3$，纵坐标为$2+1=3$，得$A_2(-3,3)$；
2. 求$A_3$：将$A_2(-3,3)$代入公式，横坐标为$-3+1=-2$，纵坐标为$-3+1=-2$，得$A_3(-2,-2)$；
3. 求$A_4$：将$A_3(-2,-2)$代入公式，横坐标为$-(-2)+1=3$，纵坐标为$-2+1=-1$，得$A_4(3,-1)$；
4. 求$A_5$：将$A_4(3,-1)$代入公式，横坐标为$-(-1)+1=2$，纵坐标为$3+1=4$，得$A_5(2,4)$，与$A_1$坐标完全相同。
由此可知点列的循环周期为4，每4个点为一个循环组重复出现。
计算$2025÷4=506······1$，余数为1，说明$A_{2025}$的坐标和循环组中第1个点$A_1$的坐标相同。
【答案】
$(2,4)$
【知识点】
新定义运算；坐标规律探索；周期问题
【点评】
本题是新定义类的规律探究题，解题关键是准确理解伴随点的运算规则，通过计算前几个点的坐标归纳出循环周期，再结合余数确定所求点的位置，侧重考查对新定义的理解能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
