8.已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，$PE⊥CD$，$PF⊥BC$，垂足分别为 E，F，连接 AP，EF。
(1)求证:$AP=EF;$
(2)若$∠BAP=60°$，$PD=\sqrt{2}$，求 EF 的长。

8.(1)证明:如图,连接 PC。
因为四边形 ABCD 是正方形，
所以$∠BAD = 90°, AB = AD$,可得$∠ABD=45°$。
同理,$∠CBD=45°$,
所以$∠ABP=∠CBP$。
因为$PE⊥CD,PF⊥BC$,
所以四边形 PFCE 是矩形，
所以$EF=PC$。
在$△ ABP$和$△ CBP$中，
$\begin{cases}AB=CB,\\∠ABP=∠CBP,\\BP=BP,\end{cases}$
所以$△ ABP ≌ △ CBP(\mathrm{SAS})$,
所以$AP=CP$。
因为$EF=CP$,所以$AP=EF$。
(2)解:由(1)知$△ ABP ≌ △ CBP$,
所以$∠BAP=∠BCP=60°$,
所以$∠PCE=30°$。
因为四边形 ABCD 是正方形，
所以$∠BCD=90°, BC=DC$,
所以$∠PDE=45°$。
因为$PE⊥CD$,所以$DE=PE$。
因为$PD=\sqrt{2}$,所以$PE=1$,
所以$CP=2PE=2$。
因为由(1)知$EF=CP$,所以$EF=2$。

9. 如图,在平行四边形ABCD中,延长DA到点E,延长BC到点F,使得AE=CF,连接EF,分别交AB,CD于点M,N,连接DM,BN。
(1)求证:$△ AEM ≌ △ CFN$;
(2)求证:四边形BMDN是平行四边形。

9.证明:(1)因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以$AB// CD,AD// BC$,
所以$∠EAM=∠ABC=∠FCN$,
$∠E=∠F$。
又因为$AE=CF$,
在$△ AEM$和$△ CFN$中，
$\begin{cases}∠EAM=∠FCN,\\AE=CF,\\∠E=∠F,\end{cases}$
所以$△ AEM ≌ △ CFN(\mathrm{ASA})$。
(2)因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以$AB// CD,AB=CD$。
又因为$△ AEM ≌ △ CFN$,
所以$AM=CN$,
所以$AB-AM=CD-CN$,
所以$BM=DN$,
所以四边形 BMDN 是平行四边形。