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【变式2】(1)试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式$y=\frac{4x - x^2}{2}$描述；
(2)求第(1)问中的函数的最大值，并解释其实际意义。
(2)求第(1)问中的函数的最大值，并解释其实际意义。
答案
解:答案不唯一,如(1)由y=(4x-x²)/2 = 1/2 ·x·(4-x)可构建如下情境:已知Rt△ABC的两直角边之和为4,设两直角边分别为AB=x,AC=4-x,三角形的面积为y,则y=1/2 AB·AC=1/2 ·x·(4-x)=(4x-x²)/2,其中0＜x＜4.
(2)因为y=(4x-x²)/2 = -1/2 (x-2)² +2,0＜x＜4,
所以当x=2时,y取得最大值,y_max=2,此时AB=AC=2,即当该直角三角形的两直角边相等时,三角形的面积取得最大值,最大值为2.
(2)因为y=(4x-x²)/2 = -1/2 (x-2)² +2,0＜x＜4,
所以当x=2时,y取得最大值,y_max=2,此时AB=AC=2,即当该直角三角形的两直角边相等时,三角形的面积取得最大值,最大值为2.
1.下列图象中,不能作为函数图象的是（
B
）答案
1.B 由题中图象可知,选项A,C,D均符合函数的定义,选项B出现一个x对应多个y的情况,不符合函数的定义.
2.(教材改编题)(多选)下列能够表示从集合$A=\{-2,0,1\}$到集合$B=\{-1,0,1,2,4\}$的函数关系的是（
A.$y=-x$
B.$y=|x|$
C.$y=-2x$
D.$y=x^2$
ABD
）A.$y=-x$
B.$y=|x|$
C.$y=-2x$
D.$y=x^2$
答案
2.ABD 在y=-x中,当x=-2,0,1时,对应的函数值分别为2,0,-1,都属于集合B,故A正确;在y=|x|中,当x=-2,0,1时,对应的函数值分别为2,0,1,都属于集合B,故B正确;在y=-2x中,当x=-2,0,1时,对应的函数值分别为4,0,-2,与集合B不对应,故C错误;在y=x²中,当x=-2,0,1时,对应的函数值分别为4,0,1,都属于集合B,故D正确.
3.已知函数$f(x)=ax^3 + x -8$，且$f(-2)=10$，则$f(2)=$（
A.－10
B.26
C.－26
D.18
C
）A.－10
B.26
C.－26
D.18
答案
3.C 因为函数f(x)=ax³+x-8,且f(-2)=10,
所以-8a-2-8=10,即8a=-20,
所以f(2)=8a-6=-26.
所以-8a-2-8=10,即8a=-20,
所以f(2)=8a-6=-26.
4.若函数$y=f(x)$的图象如图所示，则函数$f(x)$的值域为
{y|1≤y≤5}
。答案
4.{y|1≤y≤5}
5.已知函数$f(x)=\dfrac{2x+1}{x}$，若$f(m)=-m$，则$m=$
-1
。答案
5.-1 依题意,得(2m+1)/m = -m,
即m²+2m+1=0,解得m₁=m₂=-1.
即m²+2m+1=0,解得m₁=m₂=-1.
6.(多选)已知$f(x)=2x^2+2$，则下列结论正确的是（
A.若$f(a)=10$，则$a=\pm2$
B.若$g(x)=\frac{1}{x+2}$，则$g(f(2))=\frac{1}{6}$
C.函数$f(x)$的图象与$x$轴有两个交点
D.点$(3,20)$在函数$f(x)$的图象上
AD
）A.若$f(a)=10$，则$a=\pm2$
B.若$g(x)=\frac{1}{x+2}$，则$g(f(2))=\frac{1}{6}$
C.函数$f(x)$的图象与$x$轴有两个交点
D.点$(3,20)$在函数$f(x)$的图象上
答案
6.AD 由f(x)=2x²+2,得f(a)=2a²+2=10,解得a=±2,故选项A正确;
由f(x)=2x²+2,得f(2)=2×4+2=10,
所以g(f(2))=1/(10+2)=1/12,故选项B错误;
因为f(x)=2x²+2≥2,所以函数f(x)的图象与x轴没有交点,故选项C错误;
因为f(x)=2x²+2,所以f(3)=2×9+2=20,所以点(3,20)在函数f(x)的图象上,故选项D正确.
由f(x)=2x²+2,得f(2)=2×4+2=10,
所以g(f(2))=1/(10+2)=1/12,故选项B错误;
因为f(x)=2x²+2≥2,所以函数f(x)的图象与x轴没有交点,故选项C错误;
因为f(x)=2x²+2,所以f(3)=2×9+2=20,所以点(3,20)在函数f(x)的图象上,故选项D正确.
7.已知函数$f(x)=\dfrac{x+2}{x+1}.$
(1)求$f(2)+f(\dfrac{1}{2})$的值；
(2)判断$f(x)+f(\dfrac{1}{x})$的值是否为定值，并求出$f(1)+f(2)+f(3)+\dots +f(2027)+f(\dfrac{1}{2})+f(\dfrac{1}{3})+\dots +f(\dfrac{1}{2027})$的值.
答案 P20
(1)求$f(2)+f(\dfrac{1}{2})$的值；
(2)判断$f(x)+f(\dfrac{1}{x})$的值是否为定值，并求出$f(1)+f(2)+f(3)+\dots +f(2027)+f(\dfrac{1}{2})+f(\dfrac{1}{3})+\dots +f(\dfrac{1}{2027})$的值.
答案 P20
答案
7.解:(1)因为函数f(x)=(x+2)/(x+1),所以f(2)=(2+2)/(2+1)=4/3,
f(1/2)=(1/2 + 2)/(1/2 + 1)=5/3,所以f(2)+f(1/2)=3.
(2)f(x)+f(1/x)的值是定值.
依题意,得f(x)+f(1/x)=(x+2)/(x+1) + (1/x + 2)/(1/x + 1) = (x+2)/(x+1) + (1+2x)/(1+x) = (3+3x)/(1+x)=3,所以f(x)+f(1/x)的值是定值,且定值为3.
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2027)+f(1/2)+f(1/3)+…+f(1/2027)
=f(1)+[f(2)+f(1/2)]+[f(3)+f(1/3)]+…+[f(2027)+f(1/2027)]
= 3/2 + 3×2026
=6079 1/2.
f(1/2)=(1/2 + 2)/(1/2 + 1)=5/3,所以f(2)+f(1/2)=3.
(2)f(x)+f(1/x)的值是定值.
依题意,得f(x)+f(1/x)=(x+2)/(x+1) + (1/x + 2)/(1/x + 1) = (x+2)/(x+1) + (1+2x)/(1+x) = (3+3x)/(1+x)=3,所以f(x)+f(1/x)的值是定值,且定值为3.
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2027)+f(1/2)+f(1/3)+…+f(1/2027)
=f(1)+[f(2)+f(1/2)]+[f(3)+f(1/3)]+…+[f(2027)+f(1/2027)]
= 3/2 + 3×2026
=6079 1/2.
