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【典例1】(1)(多选)下列选项中,能表示函数$y=f(x)$的图象的是 ()
(2)(多选)下列从集合$A$到集合$B$的对应关系中,$y$是$x$的函数的是 ()
A.$A=B=\mathbb{R}$,对应关系$f:x→y=x^2-2x+1$
B.$A=B=\mathbb{N}$,对应关系$f:x→y=\frac{x}{2}$
C.$A=[0,+∞),B=\mathbb{R}$,对应关系$f:x→y^2=x$
D.$A=\mathbb{R},B=\{1\}$,对应关系$f:x→y=1$
解题指导(1)根据从$x$到$y$,可以“一对一”“多对一”,不能“一对多”,逐个进行分析.
(2)判断集合$A$中的每一个元素在集合$B$中是否都有唯一的元素与之对应即可.
解析(1)对于A,多个$x$对应一个$y$,故A能表示函数的图象;对于B,在$y$轴的左侧或右侧,一个$x$对应多个$y$,故B不能表示函数的图象;对于C,一个$x$对应一个$y$,故C能表示函数的图象;D是不连续的点函数的图象.
(2)因为$y=x^2-2x+1=(x-1)^2≥0$,所以对于A中任何一个元素,在集合$B$中都有相对应的一个元素,即$y$是$x$的函数,故A正确;因为$1\in A$,但$\frac{1}{2}∉ B$,(在集合$B$中没有与之对应的值)所以$y$不是$x$的函数,故B错误;当$x=4$时,由$y^2=4$,解得$y=\pm2$,对应值不唯一,即$y$不是$x$的函数,故C错误;对于集合$A$中任何一个元素,在集合$B$中都有唯一元素1与之对应,即$y$是$x$的函数,故D正确.
D正确.
答案 (1)ACD (2)AD
(2)(多选)下列从集合$A$到集合$B$的对应关系中,$y$是$x$的函数的是 ()
A.$A=B=\mathbb{R}$,对应关系$f:x→y=x^2-2x+1$
B.$A=B=\mathbb{N}$,对应关系$f:x→y=\frac{x}{2}$
C.$A=[0,+∞),B=\mathbb{R}$,对应关系$f:x→y^2=x$
D.$A=\mathbb{R},B=\{1\}$,对应关系$f:x→y=1$
解题指导(1)根据从$x$到$y$,可以“一对一”“多对一”,不能“一对多”,逐个进行分析.
(2)判断集合$A$中的每一个元素在集合$B$中是否都有唯一的元素与之对应即可.
解析(1)对于A,多个$x$对应一个$y$,故A能表示函数的图象;对于B,在$y$轴的左侧或右侧,一个$x$对应多个$y$,故B不能表示函数的图象;对于C,一个$x$对应一个$y$,故C能表示函数的图象;D是不连续的点函数的图象.
(2)因为$y=x^2-2x+1=(x-1)^2≥0$,所以对于A中任何一个元素,在集合$B$中都有相对应的一个元素,即$y$是$x$的函数,故A正确;因为$1\in A$,但$\frac{1}{2}∉ B$,(在集合$B$中没有与之对应的值)所以$y$不是$x$的函数,故B错误;当$x=4$时,由$y^2=4$,解得$y=\pm2$,对应值不唯一,即$y$不是$x$的函数,故C错误;对于集合$A$中任何一个元素,在集合$B$中都有唯一元素1与之对应,即$y$是$x$的函数,故D正确.
D正确.
答案 (1)ACD (2)AD
答案
(1) $\boldsymbol{ACD}$；(2) $\boldsymbol{AD}$
解析
解：
(1) 根据函数的定义：定义域内任意一个x，都有唯一确定的y与之对应，逐一分析：
选项A：任意x都对应唯一的y，符合函数定义；
选项B：存在一个x对应两个不同的y，属于“一对多”，不符合函数定义；
选项C：任意x都对应唯一的y，符合函数定义；
选项D：所有点的横坐标对应的纵坐标都唯一，符合函数定义。
因此能表示函数$y=f(x)$的图象的是ACD。
(2) 逐一判断从集合A到集合B的对应关系：
选项A：对任意$x\in A=\mathbb{R}$，$y=x^2-2x+1=(x-1)^2\in\mathbb{R}$，有唯一确定的y与之对应，y是x的函数；
选项B：当$x=1\in A=\mathbb{N}$时，$y=\frac{1}{2}∉ B=\mathbb{N}$，A中的元素1在B中没有对应元素，y不是x的函数；
选项C：当$x=4\in A$时，由$y^2=4$得$y=\pm2$，一个x对应两个不同的y，对应值不唯一，y不是x的函数；
选项D：对任意$x\in A=\mathbb{R}$，都有唯一确定的$y=1\in B$，y是x的函数。
因此y是x的函数的是AD。
最终
(1) 根据函数的定义：定义域内任意一个x，都有唯一确定的y与之对应，逐一分析：
选项A：任意x都对应唯一的y，符合函数定义；
选项B：存在一个x对应两个不同的y，属于“一对多”，不符合函数定义；
选项C：任意x都对应唯一的y，符合函数定义；
选项D：所有点的横坐标对应的纵坐标都唯一，符合函数定义。
因此能表示函数$y=f(x)$的图象的是ACD。
(2) 逐一判断从集合A到集合B的对应关系：
选项A：对任意$x\in A=\mathbb{R}$，$y=x^2-2x+1=(x-1)^2\in\mathbb{R}$，有唯一确定的y与之对应，y是x的函数；
选项B：当$x=1\in A=\mathbb{N}$时，$y=\frac{1}{2}∉ B=\mathbb{N}$，A中的元素1在B中没有对应元素，y不是x的函数；
选项C：当$x=4\in A$时，由$y^2=4$得$y=\pm2$，一个x对应两个不同的y，对应值不唯一，y不是x的函数；
选项D：对任意$x\in A=\mathbb{R}$，都有唯一确定的$y=1\in B$，y是x的函数。
因此y是x的函数的是AD。
最终
【变式1】（多选）设集合$P=\{x|0≤ x≤4\},Q=\{y|-2≤ y≤2\}$,则下列曲线能表示从集合$P$到集合$Q$的函数关系的是（
BD
）答案
BD 对于选项A和选项C,集合P中有的数(如x=2)在集合Q中对应两个值,不唯一,不符合函数的定义,所以选项A和选项C错误;
对于选项B和选项D,集合P和集合Q均为数集,且集合P中的每一个数在集合Q中都有唯一的数与它对应,符合函数的定义,所以选项B和选项D正确.
对于选项B和选项D,集合P和集合Q均为数集,且集合P中的每一个数在集合Q中都有唯一的数与它对应,符合函数的定义,所以选项B和选项D正确.
【典例2】试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式 $y=10(1+x)^2$ 来描述.
解题指导 由对应关系 $10(1+x)^2$ 中的 $(1+x)^2$ 想到构建以 $x$ 为增长率的相关问题情境.
答案 解:某地“菊花展”的观赏人数逐年增加,
据相关部门统计,2025年大约有10万人次参观游览.设观赏人数的年平均增长率为$x$,2年后的观赏人数为$y$万人次,则 $y=10(1+x)^2$,其中 $x$ 的取值范围是$\{x|0＜x＜1\}$,$y$ 的取值范围是$\{y|10＜y＜40\}$,且每一个增长率 $x$ 都对应唯一确定的观赏人数 $10(1+x)^2$.(答案不唯一)
方法总结
根据函数解析式构建问题情境,要赋予每个变量具体的实际意义,根据解析式及各变量的关系,设计出所求的实际问题,最后注意检验.
解题指导 由对应关系 $10(1+x)^2$ 中的 $(1+x)^2$ 想到构建以 $x$ 为增长率的相关问题情境.
答案 解:某地“菊花展”的观赏人数逐年增加,
据相关部门统计,2025年大约有10万人次参观游览.设观赏人数的年平均增长率为$x$,2年后的观赏人数为$y$万人次,则 $y=10(1+x)^2$,其中 $x$ 的取值范围是$\{x|0＜x＜1\}$,$y$ 的取值范围是$\{y|10＜y＜40\}$,且每一个增长率 $x$ 都对应唯一确定的观赏人数 $10(1+x)^2$.(答案不唯一)
方法总结
根据函数解析式构建问题情境,要赋予每个变量具体的实际意义,根据解析式及各变量的关系,设计出所求的实际问题,最后注意检验.
答案
解：某地“菊花展”的观赏人数逐年增加，据相关部门统计，2025年大约有10万人次参观游览。
设观赏人数的年平均增长率为$x$，2年后的观赏人数为$y$万人次，
则可得$y=10(1+x)^2$，
其中$x$的取值范围是$\{x∣ 0＜x＜1\}$，$y$的取值范围是$\{y∣ 10＜y＜40\}$，且每一个增长率$x$都对应唯一确定的观赏人数$10(1+x)^2$，符合该解析式的变量关系。
（答案不唯一，合理即可）
设观赏人数的年平均增长率为$x$，2年后的观赏人数为$y$万人次，
则可得$y=10(1+x)^2$，
其中$x$的取值范围是$\{x∣ 0＜x＜1\}$，$y$的取值范围是$\{y∣ 10＜y＜40\}$，且每一个增长率$x$都对应唯一确定的观赏人数$10(1+x)^2$，符合该解析式的变量关系。
（答案不唯一，合理即可）
