【变式3】(1)已知角α的终边过点(1,2)，求
$\frac{\sin(\frac{π}{2}+α)\sin(π+α)}{\tan(π-α)\cos(-α)}$的值；

解:(1)$\frac{\sin(\frac{π}{2}+α)\sin(π+α)}{\tan(π-α)\cos(-α)}=\frac{\cos α(-\sin α)}{(-\tan α)\cos α}=\cos α$。
因为点(1,2)在角α的终边上，
所以$\cos α=\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
所以$\frac{\sin(\frac{π}{2}+α)\sin(π+α)}{\tan(π-α)\cos(-α)}$的值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$。
(2)$\frac{\tan(90°+θ)\cos(360°-θ)}{\sin 210°}-\frac{\sin(180°-θ)}{\cos 120°}=\frac{\frac{\sin(90°+θ)}{\cos(90°+θ)}\cos θ}{\sin(180°+30°)}-\frac{\sin θ}{\cos(90°+30°)}=\frac{\frac{\cos θ}{-\sin θ}\cos θ}{-\sin 30°}-\frac{\sin θ}{-\sin 30°}=\frac{2\cos^2θ}{\sin θ}+2\sin θ=\frac{2\cos^2θ+2\sin^2θ}{\sin θ}=\frac{2}{\sin θ}$。

【典例5】求证：$\frac{2\sin(θ-\frac{3π}{2})\cos(θ+\frac{π}{2})-1}{1-2\cos^2(θ+\frac{3π}{2})} = \frac{\tan(9π+θ)+1}{\tan(π+θ)-1}$。
解题指导 利用诱导公式对等式的左右两边分别化简得到$\frac{\sinθ+\cosθ}{\sinθ-\cosθ}$，从而证明等式成立。
答案 证明：左边$=\frac{2\sin(θ+\frac{π}{2})(-\sinθ)-1}{1-2\sin^2θ} = \frac{2\cosθ(-\sinθ)-1}{\cos^2θ-\sin^2θ} = \frac{-(\sinθ+\cosθ)^2}{\cos^2θ-\sin^2θ} = \frac{\sinθ+\cosθ}{\sinθ-\cosθ}$，

故原等式成立。

证明：
先化简等式左边：
由诱导公式：
$\sin(θ-\frac{3π}{2})=\sin(θ+\frac{π}{2}-2π)=\cosθ$
$\cos(θ+\frac{π}{2})=-\sinθ$
$\cos(θ+\frac{3π}{2})=\sinθ$
代入左边得：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=\frac{2\cosθ·(-\sinθ)-1}{1-2\sin^2θ}\\&=\frac{-2\sinθ\cosθ - (\sin^2θ+\cos^2θ)}{\cos^2θ-\sin^2θ}\\&=\frac{-(\sinθ+\cosθ)^2}{(\cosθ+\sinθ)(\cosθ-\sinθ)}\\&=\frac{\sinθ+\cosθ}{\sinθ-\cosθ}\end{aligned}$
再化简等式右边：
由诱导公式：
$\tan(9π+θ)=\tanθ$，$\tan(π+θ)=\tanθ$
代入右边得：
$\begin{aligned}\mathrm{右边}&=\frac{\tanθ + 1}{\tanθ - 1}\\&=\frac{\frac{\sinθ}{\cosθ}+1}{\frac{\sinθ}{\cosθ}-1}\\&=\frac{\sinθ+\cosθ}{\sinθ-\cosθ}\end{aligned}$
可得左边=右边，故原等式成立。

【变式4】（一题多解）设$\tan(α + \frac{8π}{7})=m$，求证：

证明: 方法1: 左边 = $\frac{\sin[π+(\frac{8π}{7}+α)]+3\cos[(α+\frac{8π}{7})-3π]}{\sin[4π-(α+\frac{8π}{7})]-\cos[2π+(α+\frac{8π}{7})]}$
$=\frac{-\sin(\frac{8π}{7}+α)-3\cos(α+\frac{8π}{7})}{-\sin(α+\frac{8π}{7})-\cos(α+\frac{8π}{7})}$
$=\frac{\tan(α+\frac{8π}{7})+3}{\tan(α+\frac{8π}{7})+1}=\frac{m+3}{m+1}=$右边，所以原等式成立。
方法2:由$\tan(α+\frac{8π}{7})=m$,得$\tan(α+\frac{π}{7})=m$，
所以等式左边
$=\frac{\sin[2π+(\frac{π}{7}+α)]+3\cos[(α+\frac{π}{7})-2π]}{\sin[2π+π-(α+\frac{π}{7})]-\cos[2π+π+(α+\frac{π}{7})]}$
$=\frac{\sin(\frac{π}{7}+α)+3\cos(α+\frac{π}{7})}{\sin(α+\frac{π}{7})+\cos(α+\frac{π}{7})}=\frac{\tan(α+\frac{π}{7})+3}{\tan(α+\frac{π}{7})+1}$
$=\frac{m+3}{m+1}=$右边，所以原等式成立。