1. 填一填。
(1) $24÷4 = 6$，4 是 24 的()，24 是 4 的()，6 是 24 的()，24 是 6 的()。

因数
倍数
因数
倍数

【分析】
首先回忆因数和倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么除数和商就是被除数的因数，被除数就是除数和商的倍数，且因数和倍数是相互依存的。
对于式子$24÷4 = 6$，因为计算结果没有余数，商是整数，所以先看除数4和被除数24的关系：4能整除24，所以4是24的因数，24是4的倍数；再看商6和被除数24的关系：6能整除24，所以6是24的因数，24是6的倍数。
【解析】
根据因数和倍数的定义：
在整数除法$a÷b=c$（$a$、$b$、$c$均为非0整数）中，$b$和$c$是$a$的因数，$a$是$b$和$c$的倍数。
在$24÷4 = 6$中，4是除数，6是商，24是被除数，满足整除关系，因此：
4是24的因数，24是4的倍数，6是24的因数，24是6的倍数。
【答案】
因数；倍数；因数；倍数
【知识点】
因数和倍数的定义
【点评】
本题考查因数和倍数的基本概念，关键要理解因数与倍数是相互依存的关系，不能单独说某个数是因数或倍数，需结合具体的除法算式判断。
【难度系数】
0.9

(2) 36 的因数有()，100 以内 36 的倍数有()。

​ 1，2，3，4，6，9，12，18，36​
​ 36，72​

【分析】
要解决这道题，我们需要分两部分有序思考：
1. 找36的因数：因数是能整除该数的数，我们从1开始，一对一对地查找，用36依次除以1、2、3……，若商为整数且无余数，那么除数和商都是36的因数，直到除数与商重复时停止，这样能避免遗漏或重复。
2. 找100以内36的倍数：倍数是该数与非零自然数的乘积，我们用36依次乘1、2、3……，只要乘积≤100就是符合要求的倍数，当乘积超过100时停止计算。
【解析】
步骤1：查找36的因数
$36÷1=36$，因此1和36是36的因数；
$36÷2=18$，因此2和18是36的因数；
$36÷3=12$，因此3和12是36的因数；
$36÷4=9$，因此4和9是36的因数；
$36÷6=6$，因此6是36的因数；
将所有因数按从小到大排列为：1，2，3，4，6，9，12，18，36。
步骤2：查找100以内36的倍数
$36×1=36$，36≤100，属于100以内36的倍数；
$36×2=72$，72≤100，属于100以内36的倍数；
$36×3=108$，108＞100，不符合要求，停止计算；
因此100以内36的倍数是36，72。
【答案】
1，2，3，4，6，9，12，18，36；36，72
【知识点】
因数的找法、倍数的找法
【点评】
本题考查因数与倍数的基础查找方法，核心是掌握有序查找的技巧，避免因数遗漏重复、倍数超出范围的问题，是巩固因数与倍数概念的基础题型。
【难度系数】
0.8

2. 在是因数和倍数关系的卡片下面画“√”，反之则画“×”。
2.4 和 0.833 和 331 和 1264 和 162 和 396 和 1.2
()()()()()()

×
√
√
√
×
×

【分析】
首先要明确因数和倍数的核心概念：因数与倍数的关系仅在非0自然数（正整数）范围内成立，即当整数a除以整数b（b≠0），商为整数且没有余数时，a是b的倍数，b是a的因数。接下来我们按这个标准逐个分析每组数：
1. 2.4和0.8：两个数都是小数，不符合整数范围要求，不存在因数和倍数关系；
2. 33和33：33÷33=1，商是整数且无余数，且均为非0整数，满足因数和倍数关系；
3. 1和12：12÷1=12，商是整数且无余数，均为非0整数，1是12的因数，12是1的倍数；
4. 64和16：64÷16=4，商是整数且无余数，均为非0整数，16是64的因数，64是16的倍数；
5. 2和39：39÷2=19.5，商不是整数，有余数，不满足条件；
6. 6和1.2：1.2是小数，不符合整数范围要求，不存在因数和倍数关系。
【解析】
依据因数和倍数的定义（仅在非0自然数范围内，若$a÷ b=c$，其中$a$、$b$、$c$均为整数且$b≠0$，则$a$是$b$的倍数，$b$是$a$的因数），逐一判断：
1. 2.4和0.8：均为小数，不满足整数范围，画“×”；
2. $33÷33=1$，商为整数且无余数，满足条件，画“√”；
3. $12÷1=12$，商为整数且无余数，满足条件，画“√”；
4. $64÷16=4$，商为整数且无余数，满足条件，画“√”；
5. $39÷2=19.5$，商不是整数，不满足条件，画“×”；
6. 1.2是小数，不满足整数范围，画“×”。
【答案】
×
√
√
√
×
×
【知识点】
因数和倍数的定义
【点评】
本题重点考查因数和倍数的概念本质，解题关键是牢记因数与倍数关系的两个前提：一是参与运算的数必须是非0自然数，二是除法运算的商为整数且无余数。学生容易因忽略“整数范围”这一前提而出错，需特别注意。
【难度系数】
0.7

3. 判一判。(对的画“√”，错的画“×”)
(1) 1.5 的 6 倍是 9，9 是 1.5 的倍数，1.5 是 9 的因数。 ………………… ()
(2) $4×5 = 20$，4 和 5 是因数，20 是倍数。 ……………………………… ()
(3) 42 是 6 的倍数，6 是 42 的因数。 ……………………………………… ()
(4) 如果 $m÷n = 6$，那么 n 和 6 是 m 的因数，m 是 n 和 6 的倍数。 ………… ()

×
×
√
×

【分析】
要判断这几道题的对错，关键是掌握因数和倍数的核心定义：因数和倍数是在非0整数范围内讨论的，且必须明确表述“谁是谁的因数”“谁是谁的倍数”，二者是相互依存的关系，不能孤立地说某个数是因数或倍数。我们逐个分析：
1. 第(1)题：1.5是小数，不符合因数和倍数定义的整数范围要求，所以说法错误。
2. 第(2)题：单独说“4和5是因数，20是倍数”是错误的，必须明确指出4和5是20的因数，20是4和5的倍数，因数和倍数不能脱离彼此单独存在。
3. 第(3)题：42和6都是非0整数，42÷6=7，满足倍数和因数的关系，表述正确。
4. 第(4)题：题目没有说明m和n是非0整数，如果m、n是小数，就不能用因数和倍数的关系来描述，所以说法错误。
【解析】
(1) 因数和倍数的研究范围是非0整数，1.5是小数，因此不能说9是1.5的倍数，1.5是9的因数，故打“×”。
(2) 因数和倍数是相互依存的关系，必须表述为“4和5是20的因数，20是4和5的倍数”，不能单独说某个数是因数或倍数，故打“×”。
(3) 因为42÷6=7，42和6都是非0整数，符合倍数和因数的定义，所以42是6的倍数，6是42的因数，故打“√”。
(4) 题目未明确m、n为非0整数，若m、n是小数（如m=1.2，n=0.2），则不存在因数和倍数的关系，故打“×”。
【答案】
×；×；√；×
【知识点】
因数与倍数的定义
【点评】
本题核心考查因数和倍数的概念本质，需要牢记其适用范围为非0整数，且二者是相互依存的关系，避免出现概念混淆或表述不严谨的错误。
【难度系数】
0.6

4. 选一选。
(1)《西游记》中，唐僧师徒四人经历了“九九八十一难”。81 的因数有()个。
A.4
B.5
C.6
D.9

B

【分析】
要确定81的因数个数，可通过两种思路推导：
1. 列举法：从1开始，一对一对找出能整除81的数，避免遗漏。1和81是一对，3和27是一对，9和9是一对（重复的数只算一次）；
2. 质因数分解法：先将81分解为质因数的幂次形式，81=3⁴，根据因数个数计算公式，单一质因数幂次的数，因数个数为指数加1，即4+1=5。两种方法均可得出因数个数，再对应选项选择。
【解析】
步骤1：列举81的所有因数：
因为1×81=81，3×27=81，9×9=81，所以81的因数为1、3、9、27、81，共5个；
步骤2：对照选项，选项B的数值为5，与计算结果一致。
【答案】
B
【知识点】
因数的认识、因数个数计算
【点评】
本题考查因数的基础知识点，重点在于掌握找因数的方法，列举法直观易操作，质因数分解法更高效，熟练掌握可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8

(2) 如果 A 是 B 的倍数(A，B 为非零自然数)，A 比 70 大但比 100 小，那么 A，B 可能分别是()。

A.80 和 4
B.90 和 4.5
C.120 和 6
D.100 和 5

A

【分析】
解题时需紧扣题目给出的三个关键条件：①A、B为非零自然数；②A是B的倍数（即A÷B的商为整数）；③A的取值范围是70＜A＜100。我们可以通过逐一排查选项，先根据自然数的定义和A的范围排除不符合的选项，再验证剩余选项是否满足倍数关系。首先排除含非自然数的选项，再排除A不在70-100之间的选项，最后验证倍数关系即可得出答案。
【解析】
1. 根据“A、B为非零自然数”的条件，选项B中B=4.5是小数，不属于自然数，因此排除选项B；
2. 根据“A比70大但比100小”的条件，选项C中A=120＞100，选项D中A=100不满足“比100小”，因此排除选项C和D；
3. 验证选项A：80÷4=20，商为整数，说明80是4的倍数，且80在70到100之间，A、B均为非零自然数，完全符合所有条件。
【答案】
A
【知识点】
倍数的意义、自然数的定义
【点评】
本题重点考查对倍数概念和自然数定义的掌握，解题核心是结合多个限制条件逐一排除错误选项，培养学生严谨审题、细致分析的能力，避免因忽略某一条件而选错答案。
【难度系数】
0.8

5. 【提优挑战】体育课上，30 名学生站成一行，按老师口令从左往右报数：1，2，3，4，5，…，30，老师让所报的数是 2 的倍数的学生去跑步，余下的学生中所报的数是 3 的倍数的去打羽毛球，其余的人去跳绳。跑步的有多少人？打羽毛球的有多少人？

跑步的人数：30÷2=15（人）
余下的学生中，3的倍数有3,9,15,21,27，共5人。
答：跑步的有15人，打羽毛球的有5人。

【分析】
要解决这个问题，我们可以分两步逐步分析：首先确定跑步的人数，即找出1到30中是2的倍数的数的数量；然后确定打羽毛球的人数，需先排除2的倍数的学生，在余下的奇数学生里筛选出是3的倍数的数的数量。
第一步，由于每2个连续自然数中就有1个2的倍数，直接用总人数除以2就能快速得到跑步的人数。
第二步，先明确余下的学生报数为奇数，再从这些奇数里找出能被3整除的数，统计其个数即可。
【解析】
1. 计算跑步的人数：
在1~30中，2的倍数的数量为 $30÷2=15$（人），即跑步的有15人。
2. 计算打羽毛球的人数：
余下的学生报数为奇数，分别是1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29。
从这些奇数中筛选出3的倍数：3、9、15、21、27，共5人，即打羽毛球的有5人。
【答案】
跑步的有15人，打羽毛球的有5人。
【知识点】
2的倍数特征、3的倍数特征、奇数的概念
【点评】
本题考查对倍数和奇数概念的理解与实际应用，需要分两次进行范围筛选计算，锻炼了学生分步分析问题、解决问题的能力，解题关键是清晰区分两次筛选的不同范围，避免混淆。
【难度系数】
0.7