1. (2026·南京期末)已知,OC是过点O的一条射线,OD,OE分别平分∠AOC,∠BOC.
(1)如图①,如果射线OC在∠AOB的内部,∠AOB=80°,则∠DOE=°.
(2)如图②,如果射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转,∠AOB=x°,则∠DOE=°.
(3)如果射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转,∠AOB=x°,请借助图③探究∠DOE的度数.

1. (1)40 解析:因为 OD,OE 分别平分∠AOC,∠BOC,所以
∠COD=∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC, ∠COE=∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC,
所以 ∠DOE = ∠COD + ∠COE = $\frac{1}{2}$∠AOC + $\frac{1}{2}$∠BOC =
$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×80°=40°.
(2) $(\frac{x}{2})$ 解析:因为 OD,OE 分别平分∠AOC,∠BOC,
所以∠COD=∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠COE=∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC,
所以 ∠DOE = ∠COD + ∠COE = $\frac{1}{2}$∠AOC + $\frac{1}{2}$∠BOC =
$\frac{1}{2}$∠AOB,所以∠DOE= $(\frac{x}{2})°$.
(3)分三种情况：
①如图①,因为 OD,OE 分别平分∠AOC,∠BOC,所以
∠COD=∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC, ∠COE=∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC,
所以 ∠DOE = ∠COD - ∠COE = $\frac{1}{2}$∠AOC - $\frac{1}{2}$∠BOC =
$\frac{1}{2}$∠AOB,所以∠DOE= $(\frac{x}{2})°$;
②如图②,因为 OD,OE 分别平分∠AOC,∠BOC,所以
∠COD=∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC, ∠COE=∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC,
所以 ∠DOE = ∠COD + ∠COE = $\frac{1}{2}$∠AOC + $\frac{1}{2}$∠BOC =
$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$(360°-∠AOB),所以∠DOE=$\frac{1}{2}$×
(360°-x°)= $(\frac{360-x}{2})°$;
③如图③,因为 OD,OE 分别平分∠AOC,∠BOC,所以
∠COD=∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC, ∠COE=∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC,
所以 ∠DOE = ∠COE - ∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOC - $\frac{1}{2}$∠AOC =
$\frac{1}{2}$(∠BOC-∠AOC)=$\frac{1}{2}$∠AOB= $(\frac{x}{2})°$.
综上所述,∠DOE 的度数为 $(\frac{x}{2})°$ 或 $(\frac{360-x}{2})°$.

2. (2025·潍坊期末)将一副三角板按如图①所示摆放,点A,C,O在直线MN上,现将三角板进行下面的操作.
操作一:保持三角板AOB位置不动,将三角板COD绕点O顺时针旋转(如图②,图③),当三角板COD的边OD第一次与直线MN重合时旋转停止.
思考并回答下列问题:
(1)当$∠ MOC=$°时,OC是$∠ MOB$的一条三等分线.
(2)如图②,当OC,OD位于直线OB的两侧时,$∠ DOB$与$∠ MOC$的数量关系是.
(3)如图③,当OC,OD位于直线OB的同侧时,(2)中结论是否仍然成立?若成立,请说明理由;若不成立,请写出正确的结论,并说明理由.
操作二:在三角板COD绕点O开始顺时针旋转的同时,另一个三角板AOB也绕点O顺时针旋转,当三角板COD的边OC第一次与直线MN重合时,两三角板同时停止旋转.
(4)若在旋转过程中,$∠ MOC$始终是$∠ MOA$的2倍,请直接写出$∠ DOB$与$∠ MOC$的数量关系.

2. (1)15 或 30 解析:如图①,当∠MOC=$\frac{1}{3}$∠MOB 时,则
∠MOC=$\frac{1}{3}$×45°=15°;
如图②,当∠BOC=$\frac{1}{3}$∠MOB 时,则∠BOC=$\frac{1}{3}$×45°=15°,
此时∠MOC=∠MOB-∠BOC=45°-15°=30°.故答案为 15 或 30.
(2) ∠DOB - ∠MOC = 45° 解析:设 ∠MOC = α, 所以
∠BOC = ∠MOB - ∠MOC = 45°-α. 因为 ∠COD = 90°, 所以
∠DOB = ∠COD - ∠BOC = 90°-(45°-α)=45°+α, 所以
∠DOB - ∠MOC = 45°+α-α=45°.
(3) 成立. 理由如下: 如图③, 因为 ∠MOB = 45°, 所以
∠MOC = ∠MOB + ∠BOC = 45° + ∠BOC, 所以 ∠BOC =
∠MOC-45°. 因为 ∠DOC = 90°, 所以 ∠DOB = ∠DOC + ∠BOC =
90°+∠BOC, 所以 ∠DOB = 90°+∠MOC-45°, 所以
∠DOB - ∠MOC = 45°.
(4) 2∠DOB - ∠MOC = 90°. 解析:①如图④, 当 OC,OD 位
于直线 OB 的两侧时, 因为 ∠MOC = 2∠MOA, 所以 ∠MOA =
∠AOC=$\frac{1}{2}$∠MOC. 因为 ∠AOB = 45°, 所以 ∠BOC = ∠AOB -
∠AOC = 45° - ∠AOC. 因为 ∠DOC = 90°, 所以 ∠DOB =
∠DOC - ∠BOC = 90°-(45°-∠AOC)=45°+∠AOC=45°+
$\frac{1}{2}$∠MOC, 所以 2∠DOB - ∠MOC = 90°.
②如图⑤, 当 OC,OD 位于直线 OB 的
同侧时, 因为 ∠MOC = 2∠MOA, 所以
∠MOA = ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠MOC. 因为
∠AOB = 45°, 所以 ∠BOC = ∠AOC -
∠AOB = ∠AOC - 45°. 因为 ∠DOC =
90°, 所以 ∠DOB = ∠DOC + ∠BOC =
90°+(∠AOC - 45°)=45°+∠AOC=45°+$\frac{1}{2}$∠MOC, 所以
2∠DOB - ∠MOC = 90°. 综上,2∠DOB - ∠MOC = 90°.