疑难点拨
若一条弦把圆分成$1:5$两部分,则这条弦所对的圆周角的度数是.
点拨 思考不全会漏解,一条弦所对的圆周角有两个,分别在这条弦的两侧.

$30°$或$150°$

【分析】首先，弦把圆分成1:5两部分，需先计算出这两段弧的度数；其次，根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，且一条弦所对的圆周角有两个，分别位于弦的两侧（对应不同的弧），因此要分两种情况计算，避免漏解。
【解析】1. 计算两段弧的度数：整个圆周为360°，弦分圆的弧的度数比为1:5，总份数为1+5=6，每份弧的度数为360°÷6=60°，故两段弧的度数分别为60°（劣弧）和5×60°=300°（优弧）。2. 计算圆周角：根据圆周角定理，圆周角的度数等于所对弧度数的一半，因此弦所对的对应劣弧的圆周角为60°÷2=30°，对应优弧的圆周角为300°÷2=150°。
【答案】30°或150°
【知识点】圆周角定理，弧的度数计算
【点评】本题考查圆周角定理的应用，关键在于明确一条弦所对的圆周角有两个，需全面考虑两种情况，避免因思考不全面导致漏解，属于基础易错题。
【难度系数】0.5

1. $∠ APB$是圆周角的为 ()

1. D

【分析】要判断∠APB是否为圆周角，需依据圆周角的定义：圆周角的顶点在圆上，且角的两边都与圆相交。据此逐一分析选项：选项A顶点P在圆外，不满足“顶点在圆上”；选项B顶点P在圆内，不满足顶点在圆上；选项C中边PB未与圆相交，不满足“两边都与圆相交”；选项D顶点P在圆上，两边PA、PB均与圆相交，符合圆周角定义。
【解析】根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角是圆周角。对各选项逐一判断：
1. 选项A：∠APB的顶点P在圆外，不符合圆周角定义，排除；
2. 选项B：∠APB的顶点P在圆内，不符合圆周角定义，排除；
3. 选项C：∠APB的边PB未与圆相交，不满足“两边都与圆相交”，排除；
4. 选项D：∠APB的顶点P在圆上，两边PA、PB都与圆相交，符合圆周角定义，当选。
【答案】D
【知识点】圆周角的定义
【点评】本题考查圆周角的基础定义，核心是掌握圆周角的两个判断条件，属于概念类基础题，难度较低。
【难度系数】0.7

2. 如图,$AB$是$\odot O$的弦,$OC⊥ AB$交$\odot O$于点$C$,$D$是$\odot O$上一点,连接$BD$、$CD$.若$∠ D=28°$,则$∠ OAB$的度数为.

2. $34°$

【分析】
要解决本题，需结合垂径定理、圆周角定理和直角三角形的性质推导角度：首先利用垂径定理得到OC平分弧AB，进而得到对应圆心角的关系；再通过圆周角定理求出圆心角的度数；最后在直角三角形中利用两锐角互余计算∠OAB的度数。
【解析】
设OC与AB的交点为点E。
1. 因为OC⊥AB，且OC过圆心O，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的弧，可得弧AC = 弧BC，因此对应的圆心角∠AOC = ∠BOC。
2. 已知∠D是圆周角，它所对的弧是弧BC，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠BOC = 2∠D = 2×28° = 56°，所以∠AOC = 56°。
3. 在Rt△OAE中，∠OEA = 90°，根据直角三角形两锐角互余，∠OAB + ∠AOC = 90°，因此∠OAB = 90° - 56° = 34°。
【答案】
34°
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、直角三角形性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，核心考查垂径定理和圆周角定理的应用，需熟练掌握定理内容，结合直角三角形的角度关系即可求解。
【难度系数】
0.5

3. 如图,$A$、$B$、$C$是$\odot O$上三点,$∠ AOC=∠ B$,则$∠ B=$.

3. $120°$

【分析】
要解决本题，需利用圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的两倍。首先明确∠AOC是圆心角，对应劣弧AC；∠B（即∠ABC）是圆周角，对应优弧AC，因此优弧AC的度数等于2∠B，而整个圆周为360°，故劣弧AC的度数（即∠AOC）与优弧AC的度数之和为360°。结合题目给出的∠AOC=∠B的条件，可建立方程求解∠B的度数。
【解析】
设∠B的度数为$ x $，由题意得∠AOC = $ x $。
根据圆周角定理，∠B所对的优弧AC的度数为$ 2x $；
因为整个圆周的度数为360°，所以劣弧AC的度数 + 优弧AC的度数 = 360°，即：
$ x + 2x = 360° $
解方程得：$ 3x = 360° $，$ x = 120° $，因此∠B = 120°。
【答案】
120°
【知识点】
圆周角定理，圆心角与圆周角的关系
【点评】
本题考查圆周角定理的应用，核心是明确圆心角和圆周角所对应的弧，结合题目条件建立方程求解，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.5

4. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,位于$AB$两侧的点$C$、$D$均在$\odot O$上,$∠ BOC=30°$,则$∠ ADC=$°.

4. 75

【分析】
要计算∠ADC的度数，需利用圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。首先根据AB是直径，得出∠AOC与∠BOC是邻补角，求出弧AC对应的圆心角∠AOC，再依据圆周角定理计算∠ADC。
【解析】
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°（平角的定义）。
又
∵ ∠BOC = 30°，
∴ ∠AOC = 180° - 30° = 150°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠ADC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，
∴ ∠ADC = ½∠AOC = ½×150° = 75°。
【答案】
75
【知识点】
圆周角定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题，关键在于确定圆周角对应的圆心角，利用邻补角关系求出圆心角后直接应用定理即可，难度较低，属于圆章节的基础题型。
【难度系数】
0.7

5. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上,使点$C$在半圆上.点$A$、$B$的读数分别为$85°$、$31°$,则$∠ ACB$的度数是.

5. $27°$

【分析】要计算∠ACB的度数，需结合量角器的读数确定对应圆心角的度数，再利用圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）求解。首先，量角器上A、B两点的读数差即为弧AB对应的圆心角的度数，再将该度数除以2，即可得到∠ACB的度数。
【解析】设量角器的圆心为O，由量角器读数可知，弧AB对应的圆心角∠AOB = 85° - 31° = 54°。根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此∠ACB = ½∠AOB = ½×54° = 27°。
【答案】27°
【知识点】圆周角定理、量角器的使用
【点评】本题结合量角器考查圆周角定理的应用，核心是理解量角器读数与圆心角的关系，以及圆周角与圆心角的数量关系，属于基础几何应用题目，难度不大。
【难度系数】0.6

6. 如图,$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形,若$∠ OBC=28°$,则$∠ A=$.

6. $62°$

【分析】
要解决该问题，需先利用圆的半径相等构造等腰三角形，求出圆心角的度数，再结合圆周角定理计算圆周角∠A。具体思路：1. 连接OC，由OB=OC得△OBC为等腰三角形，结合已知∠OBC=28°算出圆心角∠BOC；2. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，由∠BOC求出∠A。
【解析】
连接OC，
∵OB、OC是⊙O的半径，
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形，
∴∠OCB=∠OBC=28°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=180°−28°−28°=124°，
又
∵∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠A=1/2∠BOC=1/2×124°=62°。
【答案】
62°
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质
【点评】
本题结合等腰三角形性质与圆周角定理求解，属于圆的基础题型，关键是明确同弧对应的圆周角与圆心角的关系，需熟练掌握相关几何性质。
【难度系数】
0.6

7. 如图,$BC$是$\odot O$的弦,连接$OB$、$OC$,$∠ A$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角,则$∠ A$与$∠ OBC$的度数和是.

7. $90°$

【分析】
要解决这个问题，需结合圆周角定理、等腰三角形的性质和三角形内角和定理推导。首先，∠A是弧BC所对的圆周角，对应的圆心角是∠BOC，根据圆周角定理可得到两者的数量关系；再由OB=OC可知△OBC是等腰三角形，底角∠OBC=∠OCB；最后利用三角形内角和定理，即可求出∠A与∠OBC的度数和。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因为∠A是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，所以$∠ BOC = 2∠ A$。
2. 因为OB、OC都是$\odot O$的半径，所以$OB=OC$，即$△ OBC$是等腰三角形，因此$∠ OBC = ∠ OCB$。
3. 在$△ OBC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BOC + ∠ OBC + ∠ OCB = 180°$
将$∠ BOC=2∠ A$，$∠ OCB=∠ OBC$代入上式，得：
$2∠ A + 2∠ OBC = 180°$
两边同时除以2，化简得：$∠ A + ∠ OBC = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础题型，主要考查圆周角定理、等腰三角形性质和三角形内角和的综合应用，解题关键是利用圆周角定理建立圆心角与圆周角的关系，再结合等腰三角形和内角和定理推导，难度较低，属于学生应掌握的基础题。
【难度系数】
0.7