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【例】证明：全等三角形对应角的平分线相等.我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤：
（1）首先，要弄清命题的条件和结论，那么这个命题的条件是
（2）其次，要结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形.如图
所示，线段AD是△ABC的角平分线，请用尺规作图，作出中△A'B'C'的角平分线A'D'交B'C'于点D'.（保留作图痕迹，不写作法）
（3）最后，结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证，并进行证明.
已知：如图，
求证：
证明：
【点拨】根据几何命题的证明步骤先找出已知和求证再画出图形，最后给出证明.
（1）首先，要弄清命题的条件和结论，那么这个命题的条件是
三角形全等
；结论是对应角的平分线相等
.（2）其次，要结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形.如图
所示，线段AD是△ABC的角平分线，请用尺规作图，作出中△A'B'C'的角平分线A'D'交B'C'于点D'.（保留作图痕迹，不写作法）（3）最后，结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证，并进行证明.
已知：如图，
△ABC
≌△A'B'C'
，线段AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线.求证：
AD=A'D'
.证明：
∵△ABC≌△A'B'C'，∴AB=A'B'，∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'，∵线段AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线，∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C'，∴∠BAD=∠B'A'D'，∴△ABD≌△A'B'D'，∴AD=A'D'
.【点拨】根据几何命题的证明步骤先找出已知和求证再画出图形，最后给出证明.
答案
（1）三角形全等；对应角的平分线相等。
（2）
（3）已知：△ABC，△A'B'C'，AD=A'D'。
证明：
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB=A'B'，∠B=∠B'，∠A=∠A'．
∵线段AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C'，
∴∠BAD=∠B'A'D'，
∴△ABD≌△A'B'D'，
∴AD=A'D'。
解析
【分析】
解决本题需遵循文字命题的常规证明步骤思考：①拆分命题结构：将命题改写为“如果两个三角形全等，那么它们对应角的角平分线相等”，即可直接分离出条件和结论；②尺规作角平分线：按照角平分线的尺规作图方法，作出∠B'A'C'的角平分线与B'C'交于D'即可；③书写已知、求证并证明：已知对应命题的条件，即两个三角形全等、AD和A'D'是对应角的角平分线，求证对应命题的结论即AD=A'D'；证明时先利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等，再结合角平分线定义推导一组小角相等，证明角平分线所在的小三角形全等，即可得到角平分线相等的结论。
【解析】
（1）命题由条件和结论两部分组成，拆分“全等三角形对应角的平分线相等”可得：条件为两个三角形全等，结论为这两个三角形对应角的平分线相等。
（2）按照角平分线的尺规作图规范，作出∠B'A'C'的角平分线A'D'，作图痕迹符合要求即可。
（3）结合图形填写并证明：
已知：△ABC≌△A'B'C'，线段AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线。
求证：AD=A'D'。
证明：
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB=A'B'，∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'，
∵线段AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C'，
∴∠BAD=∠B'A'D'，
在△ABD和△A'B'D'中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠B'\\AB=A'B'\\∠BAD=∠B'A'D'\end{array} $
∴△ABD≌△A'B'D'（ASA），
∴AD=A'D'。
【答案】
（1）两个三角形全等；对应角的平分线相等
（2）
（3）△ABC，△A'B'C'；AD=A'D'
证明：
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB=A'B'，∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'．
∵线段AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C'，
∴∠BAD=∠B'A'D'，
∴△ABD≌△A'B'D'，
∴AD=A'D'。
【知识点】
全等三角形的性质，全等三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查了文字命题的证明流程，既涉及命题结构拆分、尺规作角平分线的基础技能，又考查了全等三角形性质与判定的综合应用，解题时需注意逻辑严谨，步骤书写规范。
【难度系数】
0.7
解决本题需遵循文字命题的常规证明步骤思考：①拆分命题结构：将命题改写为“如果两个三角形全等，那么它们对应角的角平分线相等”，即可直接分离出条件和结论；②尺规作角平分线：按照角平分线的尺规作图方法，作出∠B'A'C'的角平分线与B'C'交于D'即可；③书写已知、求证并证明：已知对应命题的条件，即两个三角形全等、AD和A'D'是对应角的角平分线，求证对应命题的结论即AD=A'D'；证明时先利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等，再结合角平分线定义推导一组小角相等，证明角平分线所在的小三角形全等，即可得到角平分线相等的结论。
【解析】
（1）命题由条件和结论两部分组成，拆分“全等三角形对应角的平分线相等”可得：条件为两个三角形全等，结论为这两个三角形对应角的平分线相等。
（2）按照角平分线的尺规作图规范，作出∠B'A'C'的角平分线A'D'，作图痕迹符合要求即可。
（3）结合图形填写并证明：
已知：△ABC≌△A'B'C'，线段AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线。
求证：AD=A'D'。
证明：
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB=A'B'，∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'，
∵线段AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C'，
∴∠BAD=∠B'A'D'，
在△ABD和△A'B'D'中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠B'\\AB=A'B'\\∠BAD=∠B'A'D'\end{array} $
∴△ABD≌△A'B'D'（ASA），
∴AD=A'D'。
【答案】
（1）两个三角形全等；对应角的平分线相等
（2）
（3）△ABC，△A'B'C'；AD=A'D'
证明：
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB=A'B'，∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'．
∵线段AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C'，
∴∠BAD=∠B'A'D'，
∴△ABD≌△A'B'D'，
∴AD=A'D'。
【知识点】
全等三角形的性质，全等三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查了文字命题的证明流程，既涉及命题结构拆分、尺规作角平分线的基础技能，又考查了全等三角形性质与判定的综合应用，解题时需注意逻辑严谨，步骤书写规范。
【难度系数】
0.7
1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BE$平分$∠ ABC$，$DE ⊥ AB$于点$D$. 若$AC=5\ \mathrm{cm}$，则$AE+DE=$（
A.$2\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$4\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$
D
）A.$2\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$4\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先梳理题目已知条件：BE是∠ABC的角平分线，∠ACB=90°说明EC垂直于BC，同时DE垂直于AB，满足角平分线性质的使用前提。我们可以先利用角平分线的性质得到DE与CE的等量关系，再将AE+DE转化为AE+CE，而AE+CE恰好是已知长度的AC，即可直接得出结果。
【解析】
解：
∵BE平分∠ABC，∠ACB=90°（即EC⊥BC），DE⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE=CE$。
∴$AE+DE=AE+CE=AC$，
又已知$AC=5\ \mathrm{cm}$，
∴$AE+DE=5\ \mathrm{cm}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，线段和差计算
【点评】
本题属于角平分线性质的基础应用类题目，解题核心是通过角平分线的性质完成线段的等量代换，将未知的线段和转化为已知长度的线段即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理题目已知条件：BE是∠ABC的角平分线，∠ACB=90°说明EC垂直于BC，同时DE垂直于AB，满足角平分线性质的使用前提。我们可以先利用角平分线的性质得到DE与CE的等量关系，再将AE+DE转化为AE+CE，而AE+CE恰好是已知长度的AC，即可直接得出结果。
【解析】
解：
∵BE平分∠ABC，∠ACB=90°（即EC⊥BC），DE⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE=CE$。
∴$AE+DE=AE+CE=AC$，
又已知$AC=5\ \mathrm{cm}$，
∴$AE+DE=5\ \mathrm{cm}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，线段和差计算
【点评】
本题属于角平分线性质的基础应用类题目，解题核心是通过角平分线的性质完成线段的等量代换，将未知的线段和转化为已知长度的线段即可求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是（
A.24
B.28
C.30
D.42
C
）A.24
B.28
C.30
D.42
答案
2. C
解析
【分析】
已知BD平分∠ABC，∠BCD=90°，结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可以过D作AB边上的高，这条高的长度等于CD的长度。再将四边形ABCD的面积拆分为△ABD和△BCD的面积之和，分别计算两个三角形的面积后相加即可得到结果。
【解析】
过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E。
∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得：DE = CD = 4。
分别计算两个三角形的面积：
$S_{△ BCD} = \frac{1}{2} × BC × CD = \frac{1}{2} × 9 × 4 = 18$
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$
则四边形ABCD的面积为：
$S_{四边形ABCD} = S_{△ BCD} + S_{△ ABD} = 18 + 12 = 30$
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用角平分线的性质作辅助线，将不规则四边形的面积转化为两个规则三角形的面积之和求解，解题时要熟练掌握角平分线的性质，灵活运用割补法计算不规则图形的面积。
【难度系数】
0.7
已知BD平分∠ABC，∠BCD=90°，结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可以过D作AB边上的高，这条高的长度等于CD的长度。再将四边形ABCD的面积拆分为△ABD和△BCD的面积之和，分别计算两个三角形的面积后相加即可得到结果。
【解析】
过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E。
∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得：DE = CD = 4。
分别计算两个三角形的面积：
$S_{△ BCD} = \frac{1}{2} × BC × CD = \frac{1}{2} × 9 × 4 = 18$
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$
则四边形ABCD的面积为：
$S_{四边形ABCD} = S_{△ BCD} + S_{△ ABD} = 18 + 12 = 30$
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用角平分线的性质作辅助线，将不规则四边形的面积转化为两个规则三角形的面积之和求解，解题时要熟练掌握角平分线的性质，灵活运用割补法计算不规则图形的面积。
【难度系数】
0.7
