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1.有下列式子:①$-x$;②$\frac{m+n}{3}$;③$\frac{y}{x}$;④$a^2 - b^2$;⑤$-\frac{x^2 y}{4}$;⑥$\frac{x}{2} + 3y$.其中属于单项式的有,属于多项式的有,属于整式的有。(均填序号)
答案
解：
根据相关定义判断：
由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，因此属于单项式的有①⑤；
几个单项式的和叫做多项式，因此属于多项式的有②④⑥；
单项式和多项式统称为整式，因此属于整式的有①②④⑤⑥。
答案依次为：①⑤；②④⑥；①②④⑤⑥。
根据相关定义判断：
由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，因此属于单项式的有①⑤；
几个单项式的和叫做多项式，因此属于多项式的有②④⑥；
单项式和多项式统称为整式，因此属于整式的有①②④⑤⑥。
答案依次为：①⑤；②④⑥；①②④⑤⑥。
解析
【分析】
解题时首先要明确单项式、多项式、整式的定义，先排除分母含有字母的式子（这类式子不属于整式，也不可能是单项式或多项式），再按定义逐一判断每个式子：第一步先筛选出符合单项式定义（数与字母的乘积，单独的数或字母也符合）的式子；第二步筛选出符合多项式定义（几个单项式的和）的式子；第三步将所有单项式和多项式合并就是整式，最后对应填写序号即可。
【解析】
首先明确相关定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式，且分母中含有字母的代数式不属于整式。
对每个式子逐一判断：
①$-x$是$-1$与$x$的乘积，属于单项式，也属于整式；
②$\frac{m+n}{3}$可变形为$\frac{m}{3}+\frac{n}{3}$，是两个单项式的和，属于多项式，也属于整式；
③$\frac{y}{x}$的分母含有字母$x$，不属于整式，也不属于单项式、多项式；
④$a^2 - b^2$可变形为$a^2+(-b^2)$，是两个单项式的和，属于多项式，也属于整式；
⑤$-\frac{x^2 y}{4}$是$-\frac{1}{4}$与$x^2y$的乘积，属于单项式，也属于整式；
⑥$\frac{x}{2} + 3y$是两个单项式的和，属于多项式，也属于整式。
因此属于单项式的是①⑤，属于多项式的是②④⑥，属于整式的是①②④⑤⑥。
【答案】
①⑤；②④⑥；①②④⑤⑥
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；整式的定义
【点评】
本题考查代数式的分类，解题的核心是准确识记三类代数式的定义，需要注意分母含有字母的式子不属于整式，这是本题的易错点。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确单项式、多项式、整式的定义，先排除分母含有字母的式子（这类式子不属于整式，也不可能是单项式或多项式），再按定义逐一判断每个式子：第一步先筛选出符合单项式定义（数与字母的乘积，单独的数或字母也符合）的式子；第二步筛选出符合多项式定义（几个单项式的和）的式子；第三步将所有单项式和多项式合并就是整式，最后对应填写序号即可。
【解析】
首先明确相关定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式，且分母中含有字母的代数式不属于整式。
对每个式子逐一判断：
①$-x$是$-1$与$x$的乘积，属于单项式，也属于整式；
②$\frac{m+n}{3}$可变形为$\frac{m}{3}+\frac{n}{3}$，是两个单项式的和，属于多项式，也属于整式；
③$\frac{y}{x}$的分母含有字母$x$，不属于整式，也不属于单项式、多项式；
④$a^2 - b^2$可变形为$a^2+(-b^2)$，是两个单项式的和，属于多项式，也属于整式；
⑤$-\frac{x^2 y}{4}$是$-\frac{1}{4}$与$x^2y$的乘积，属于单项式，也属于整式；
⑥$\frac{x}{2} + 3y$是两个单项式的和，属于多项式，也属于整式。
因此属于单项式的是①⑤，属于多项式的是②④⑥，属于整式的是①②④⑤⑥。
【答案】
①⑤；②④⑥；①②④⑤⑥
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；整式的定义
【点评】
本题考查代数式的分类，解题的核心是准确识记三类代数式的定义，需要注意分母含有字母的式子不属于整式，这是本题的易错点。
【难度系数】
0.8
2.单项式$-\frac{π x^3 y^2}{5}$的系数是，次数是。
答案
系数为$\boldsymbol{-\dfrac{π}{5}}$，次数为$\boldsymbol{5}$。
解析
【分析】
解决本题首先要明确单项式系数和次数的定义：①单项式的系数是指单项式中的数字因数，注意圆周率π是常数，不属于字母；②单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，与系数无关。解题时先拆分单项式，区分数字部分和字母部分，分别计算即可。
【解析】
1. 求系数：将单项式$-\frac{π x^3 y^2}{5}$变形为$-\frac{π}{5} · x^3 y^2$，其中数字因数为$-\frac{π}{5}$，因此该单项式的系数是$-\frac{π}{5}$。
2. 求次数：该单项式中包含的字母为x和y，x的指数是3，y的指数是2，所有字母指数的和为$3+2=5$，因此该单项式的次数是5。
【答案】
$-\dfrac{π}{5}$；$5$
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是明确π是常数而非字母，避免出现误将π算入字母部分导致系数或次数计算错误的问题。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确单项式系数和次数的定义：①单项式的系数是指单项式中的数字因数，注意圆周率π是常数，不属于字母；②单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，与系数无关。解题时先拆分单项式，区分数字部分和字母部分，分别计算即可。
【解析】
1. 求系数：将单项式$-\frac{π x^3 y^2}{5}$变形为$-\frac{π}{5} · x^3 y^2$，其中数字因数为$-\frac{π}{5}$，因此该单项式的系数是$-\frac{π}{5}$。
2. 求次数：该单项式中包含的字母为x和y，x的指数是3，y的指数是2，所有字母指数的和为$3+2=5$，因此该单项式的次数是5。
【答案】
$-\dfrac{π}{5}$；$5$
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是明确π是常数而非字母，避免出现误将π算入字母部分导致系数或次数计算错误的问题。
【难度系数】
0.7
3. (1)在多项式$3x^2y - x^2 - 2y + 2$中，次数最高项的系数是。
(2)多项式$-3x^3y - 1 + 2xy^2 - y^3$按照$y$的降幂排列为。
(2)多项式$-3x^3y - 1 + 2xy^2 - y^3$按照$y$的降幂排列为。
答案
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{-y^3 + 2xy^2 - 3x^3y - 1}$
解析
【分析】
(1) 解决第一问需先明确多项式项的次数定义：单项式中所有字母的指数和为该单项式的次数，先逐一计算多项式中每一项的次数，找到次数最高的项后，再提取该项的数字因数即系数即可。
(2) 解决第二问需掌握按某一字母降幂排列的规则：将多项式所有项按照该字母的指数从大到小的顺序排列，注意移动项时要连同项前面的符号一起移动，不可遗漏符号。
【解析】
(1) 拆分多项式$3x^2y - x^2 - 2y + 2$的各项并计算次数：
项$3x^2y$的次数：$x$指数为2，$y$指数为1，总次数$2+1=3$；
项$-x^2$的次数为2；
项$-2y$的次数为1；
常数项2的次数为0。
次数最高的项为$3x^2y$，其系数为3。
(2) 列出多项式$-3x^3y - 1 + 2xy^2 - y^3$各项的$y$的指数：
项$-y^3$中$y$的指数为3；
项$2xy^2$中$y$的指数为2；
项$-3x^3y$中$y$的指数为1；
常数项$-1$中$y$的指数为0。
按$y$的指数从大到小排列，携带项的符号一同移动，得$-y^3 + 2xy^2 - 3x^3y - 1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{-y^3 + 2xy^2 - 3x^3y - 1}$
【知识点】
多项式的项与次数；单项式的系数；多项式的升降幂排列
【点评】
本题考查多项式的基础概念，解题核心是准确掌握相关定义，尤其注意进行升降幂排列时，要携带项前面的符号一同移动，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
(1) 解决第一问需先明确多项式项的次数定义：单项式中所有字母的指数和为该单项式的次数，先逐一计算多项式中每一项的次数，找到次数最高的项后，再提取该项的数字因数即系数即可。
(2) 解决第二问需掌握按某一字母降幂排列的规则：将多项式所有项按照该字母的指数从大到小的顺序排列，注意移动项时要连同项前面的符号一起移动，不可遗漏符号。
【解析】
(1) 拆分多项式$3x^2y - x^2 - 2y + 2$的各项并计算次数：
项$3x^2y$的次数：$x$指数为2，$y$指数为1，总次数$2+1=3$；
项$-x^2$的次数为2；
项$-2y$的次数为1；
常数项2的次数为0。
次数最高的项为$3x^2y$，其系数为3。
(2) 列出多项式$-3x^3y - 1 + 2xy^2 - y^3$各项的$y$的指数：
项$-y^3$中$y$的指数为3；
项$2xy^2$中$y$的指数为2；
项$-3x^3y$中$y$的指数为1；
常数项$-1$中$y$的指数为0。
按$y$的指数从大到小排列，携带项的符号一同移动，得$-y^3 + 2xy^2 - 3x^3y - 1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{-y^3 + 2xy^2 - 3x^3y - 1}$
【知识点】
多项式的项与次数；单项式的系数；多项式的升降幂排列
【点评】
本题考查多项式的基础概念，解题核心是准确掌握相关定义，尤其注意进行升降幂排列时，要携带项前面的符号一同移动，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
4.定义:若一个多项式有两项且两项的次数相同,则称这样的多项式为“齐次二项式”。若关于$a,b$的多项式$-2a^{m}b^{3}+na^{3}b^{2}$是“齐次二项式”,在数轴上表示$n$的点在表示$-2$的点的右侧距离5个单位长度处,则$m^{n}=$。
答案
$\boldsymbol{128}$
解析
解：
由数轴上点的位置可知，$n = -2 + 5 = 7$。
单项式$na^3b^2$的次数为$3+2=5$。
根据“齐次二项式”的定义，两项次数相同，因此第一项$-2a^mb^3$的次数满足：
$m + 3 = 5$
解得$m=2$。
所以$m^n = 2^7 = 128$。
由数轴上点的位置可知，$n = -2 + 5 = 7$。
单项式$na^3b^2$的次数为$3+2=5$。
根据“齐次二项式”的定义，两项次数相同，因此第一项$-2a^mb^3$的次数满足：
$m + 3 = 5$
解得$m=2$。
所以$m^n = 2^7 = 128$。
5.若单项式$-\frac{1}{8}a^2b^m$与单项式$-\frac{3}{7}x^3y^4$的次数相同，则$m$的值为。
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
解题时首先要回忆单项式次数的定义：单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和。接下来先计算出已知单项式$-\frac{3}{7}x^3y^4$的次数，再根据两个单项式次数相等的条件，列出关于$m$的等式，最后求解等式就能得到$m$的值。
【解析】
1. 根据单项式次数的定义，计算单项式$-\frac{3}{7}x^3y^4$的次数：
该单项式中$x$的指数是3，$y$的指数是4，因此次数为$3+4=7$。
2. 计算单项式$-\frac{1}{8}a^2b^m$的次数：
该单项式中$a$的指数是2，$b$的指数是$m$，因此次数为$2+m$。
3. 根据两个单项式次数相同列等式求解：
由题意得$2+m=7$，解得$m=7-2=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
单项式的次数；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对单项式次数定义的掌握，解题时注意不要把系数的数值计入次数，仅累加所有字母的指数即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先要回忆单项式次数的定义：单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和。接下来先计算出已知单项式$-\frac{3}{7}x^3y^4$的次数，再根据两个单项式次数相等的条件，列出关于$m$的等式，最后求解等式就能得到$m$的值。
【解析】
1. 根据单项式次数的定义，计算单项式$-\frac{3}{7}x^3y^4$的次数：
该单项式中$x$的指数是3，$y$的指数是4，因此次数为$3+4=7$。
2. 计算单项式$-\frac{1}{8}a^2b^m$的次数：
该单项式中$a$的指数是2，$b$的指数是$m$，因此次数为$2+m$。
3. 根据两个单项式次数相同列等式求解：
由题意得$2+m=7$，解得$m=7-2=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
单项式的次数；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对单项式次数定义的掌握，解题时注意不要把系数的数值计入次数，仅累加所有字母的指数即可。
【难度系数】
0.9
6.已知$(a-2)x^2+(b+1)xy -x + y -7$是关于$x,y$的多项式，若该多项式不含二次项，则$3a+8b$的值是。
答案
$\boldsymbol{-2}$
解析
【分析】
解题时首先要明确多项式中二次项的定义：在关于x、y的多项式中，所有字母的指数和为2的项就是二次项。题目说明多项式不含二次项，意味着所有二次项的系数都为0（若系数不为0，则对应的二次项存在，不符合“不含二次项”的要求）。因此我们先找出多项式中的所有二次项，令它们的系数分别为0，求出a、b的取值后，再代入$3a+8b$计算即可得到结果。
【解析】
解：多项式$(a-2)x^2+(b+1)xy -x + y -7$中的二次项为$(a-2)x^2$和$(b+1)xy$。
∵该多项式不含二次项，
∴两个二次项的系数均为0，可列方程：
$\begin{cases}a-2=0 \\ b+1=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=2 \\ b=-1\end{cases}$
将$a=2$，$b=-1$代入$3a+8b$得：
$3×2 + 8×(-1)=6-8=-2$
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
多项式的项与次数；多项式不含项的条件；代数式求值
【点评】
本题是多项式相关概念的典型应用考题，解题核心是掌握“多项式不含某类项等价于该类项的系数均为0”的规律，只要准确识别出二次项，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确多项式中二次项的定义：在关于x、y的多项式中，所有字母的指数和为2的项就是二次项。题目说明多项式不含二次项，意味着所有二次项的系数都为0（若系数不为0，则对应的二次项存在，不符合“不含二次项”的要求）。因此我们先找出多项式中的所有二次项，令它们的系数分别为0，求出a、b的取值后，再代入$3a+8b$计算即可得到结果。
【解析】
解：多项式$(a-2)x^2+(b+1)xy -x + y -7$中的二次项为$(a-2)x^2$和$(b+1)xy$。
∵该多项式不含二次项，
∴两个二次项的系数均为0，可列方程：
$\begin{cases}a-2=0 \\ b+1=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=2 \\ b=-1\end{cases}$
将$a=2$，$b=-1$代入$3a+8b$得：
$3×2 + 8×(-1)=6-8=-2$
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
多项式的项与次数；多项式不含项的条件；代数式求值
【点评】
本题是多项式相关概念的典型应用考题，解题核心是掌握“多项式不含某类项等价于该类项的系数均为0”的规律，只要准确识别出二次项，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
7. 根据多项式的有关概念填写下列表格。
多项式 | $7a+1$ | $-x^3 + y^4$ | $4y^2 - x^2 y - 2^4 + x$
次数最高的项 | | |
次数最高项的系数 | |
|
次数 | | |
几次几项式 | | |
多项式 | $7a+1$ | $-x^3 + y^4$ | $4y^2 - x^2 y - 2^4 + x$
次数最高的项 | | |
次数最高项的系数 | |
|次数 | | |
几次几项式 | | |
答案
解：
| 多项式 | $7a+1$ | $-x^3 + y^4$ | $4y^2 - x^2 y - 2^4 + x$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 次数最高的项 | $7a$ | $y^4$ | $-x^2y$ |
| 次数最高项的系数 | $7$ | $1$ | $-1$ |
| 次数 | $1$ | $4$ | $3$ |
| 几次几项式 | 一次二项式 | 四次二项式 | 三次四项式 |
| 多项式 | $7a+1$ | $-x^3 + y^4$ | $4y^2 - x^2 y - 2^4 + x$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 次数最高的项 | $7a$ | $y^4$ | $-x^2y$ |
| 次数最高项的系数 | $7$ | $1$ | $-1$ |
| 次数 | $1$ | $4$ | $3$ |
| 几次几项式 | 一次二项式 | 四次二项式 | 三次四项式 |
解析
【分析】
要完成本题，需先掌握多项式的相关核心概念：①组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项是常数项；②单项式的次数为所有字母的指数之和，单项式的数字因数是它的系数；③多项式的次数由次数最高的项的次数决定，多项式包含几个单项式就叫做几项式，二者结合就是多项式的命名（几次几项式）。解题时我们逐个分析每个多项式：先拆分出所有项，分别计算每个项的次数、系数，找到最高次项，再确定多项式的次数和命名即可，注意常数项的次数为0，计算次数时不要把常数的指数（如$2^4$里的4）算入次数。
【解析】
1. 对多项式$7a+1$：
拆分项为$7a$、$1$（常数项），$7a$的次数为1，常数项次数为0，因此次数最高的项是$7a$，其系数为7；多项式次数为1，共2项，为一次二项式。
2. 对多项式$-x^3 + y^4$：
拆分项为$-x^3$、$y^4$，$-x^3$次数为3，$y^4$次数为4，因此次数最高的项是$y^4$，其系数为1；多项式次数为4，共2项，为四次二项式。
3. 对多项式$4y^2 - x^2 y - 2^4 + x$：
拆分项为$4y^2$、$-x^2y$、$-2^4$（常数项）、$x$，各字母项的次数分别为2、$2+1=3$、1，因此次数最高的项是$-x^2y$，其系数为$-1$；多项式次数为3，共4项，为三次四项式。
【答案】
| 多项式 | $7a+1$ | $-x^3 + y^4$ | $4y^2 - x^2 y - 2^4 + x$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 次数最高的项 | $7a$ | $y^4$ | $-x^2y$ |
| 次数最高项的系数 | $7$ | $1$ | $-1$ |
| 次数 | $1$ | $4$ | $3$ |
| 几次几项式 | 一次二项式 | 四次二项式 | 三次四项式 |
【知识点】
多项式的项与次数；单项式的系数与次数；多项式的命名
【点评】
本题是多项式概念的基础考察题，解题时要注意：计算项的次数时仅统计字母的指数和，不要将常数的指数算入（如$2^4$是常数项，次数为0），同时注意系数要带符号，不要遗漏负号。
【难度系数】
0.85
要完成本题，需先掌握多项式的相关核心概念：①组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项是常数项；②单项式的次数为所有字母的指数之和，单项式的数字因数是它的系数；③多项式的次数由次数最高的项的次数决定，多项式包含几个单项式就叫做几项式，二者结合就是多项式的命名（几次几项式）。解题时我们逐个分析每个多项式：先拆分出所有项，分别计算每个项的次数、系数，找到最高次项，再确定多项式的次数和命名即可，注意常数项的次数为0，计算次数时不要把常数的指数（如$2^4$里的4）算入次数。
【解析】
1. 对多项式$7a+1$：
拆分项为$7a$、$1$（常数项），$7a$的次数为1，常数项次数为0，因此次数最高的项是$7a$，其系数为7；多项式次数为1，共2项，为一次二项式。
2. 对多项式$-x^3 + y^4$：
拆分项为$-x^3$、$y^4$，$-x^3$次数为3，$y^4$次数为4，因此次数最高的项是$y^4$，其系数为1；多项式次数为4，共2项，为四次二项式。
3. 对多项式$4y^2 - x^2 y - 2^4 + x$：
拆分项为$4y^2$、$-x^2y$、$-2^4$（常数项）、$x$，各字母项的次数分别为2、$2+1=3$、1，因此次数最高的项是$-x^2y$，其系数为$-1$；多项式次数为3，共4项，为三次四项式。
【答案】
| 多项式 | $7a+1$ | $-x^3 + y^4$ | $4y^2 - x^2 y - 2^4 + x$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 次数最高的项 | $7a$ | $y^4$ | $-x^2y$ |
| 次数最高项的系数 | $7$ | $1$ | $-1$ |
| 次数 | $1$ | $4$ | $3$ |
| 几次几项式 | 一次二项式 | 四次二项式 | 三次四项式 |
【知识点】
多项式的项与次数；单项式的系数与次数；多项式的命名
【点评】
本题是多项式概念的基础考察题，解题时要注意：计算项的次数时仅统计字母的指数和，不要将常数的指数算入（如$2^4$是常数项，次数为0），同时注意系数要带符号，不要遗漏负号。
【难度系数】
0.85
8. 提升题 某超市在国庆期间对商品实行优惠活动，规定如下：
(1)若顾客在该超市一次性购物$x$（$x≥500$）元，实际付款$y$元，请用含$x$的代数式表示$y$。
(2)某顾客两次购物的商品总金额共820元，其中第一次购物的商品金额为$a$（$200＜a＜300$）元，用含$a$的代数式表示该顾客两次购物的实际付款总额。
(1)若顾客在该超市一次性购物$x$（$x≥500$）元，实际付款$y$元，请用含$x$的代数式表示$y$。
(2)某顾客两次购物的商品总金额共820元，其中第一次购物的商品金额为$a$（$200＜a＜300$）元，用含$a$的代数式表示该顾客两次购物的实际付款总额。
答案
解：
(1) 根据优惠规则，500元以内部分应付金额为$500×0.9$元，超出500元的部分为$(x-500)$元，应付金额为$0.8(x-500)$元。
$\begin{aligned}y&=500×0.9 + 0.8(x-500)\\&=450 + 0.8x - 400\\&=0.8x + 50\end{aligned}$
即$y=0.8x+50\ (x≥500)$。
(2) 由$200＜a＜300$可知，第一次购物享受九折优惠，第一次实际付款为$0.9a$元。
第二次购物的商品总金额为$820-a$元，由$200＜a＜300$可得$520＜820-a＜620$，满足500元及以上的优惠条件，代入(1)的结论，第二次实际付款为$0.8(820-a)+50$元。
两次购物实际付款总额为：
$\begin{aligned}&0.9a + 0.8(820-a) + 50\\=&0.9a + 656 - 0.8a + 50\\=&0.1a + 706\end{aligned}$
综上，(1) $\boldsymbol{y=0.8x+50\ (x≥500)}$；(2) 两次购物实际付款总额为$\boldsymbol{(0.1a+706)}$元。
(1) 根据优惠规则，500元以内部分应付金额为$500×0.9$元，超出500元的部分为$(x-500)$元，应付金额为$0.8(x-500)$元。
$\begin{aligned}y&=500×0.9 + 0.8(x-500)\\&=450 + 0.8x - 400\\&=0.8x + 50\end{aligned}$
即$y=0.8x+50\ (x≥500)$。
(2) 由$200＜a＜300$可知，第一次购物享受九折优惠，第一次实际付款为$0.9a$元。
第二次购物的商品总金额为$820-a$元，由$200＜a＜300$可得$520＜820-a＜620$，满足500元及以上的优惠条件，代入(1)的结论，第二次实际付款为$0.8(820-a)+50$元。
两次购物实际付款总额为：
$\begin{aligned}&0.9a + 0.8(820-a) + 50\\=&0.9a + 656 - 0.8a + 50\\=&0.1a + 706\end{aligned}$
综上，(1) $\boldsymbol{y=0.8x+50\ (x≥500)}$；(2) 两次购物实际付款总额为$\boldsymbol{(0.1a+706)}$元。
解析
【分析】
(1) 当购物金额$x≥500$元时，优惠需分两部分计算：先计算500元部分按九折的应付金额，再计算超出500元的$(x-500)$部分按八折的应付金额，两部分相加即可得到实际付款$y$的代数式。
(2) 首先根据第一次购物金额$a$的范围$200＜a＜300$，判断第一次享受九折优惠，算出第一次实际付款；再算出第二次购物金额为$(820-a)$，先判断该金额大于500，可直接用第(1)问的结论算出第二次实际付款，最后将两次实际付款相加，化简代数式即可得到结果。
【解析】
(1) 根据优惠规则，500元以内部分的实际付款为$500×0.9$元，超出500元的部分为$(x-500)$元，这部分实际付款为$0.8(x-500)$元。
因此总实际付款：
$\begin{aligned}y&=500×0.9 + 0.8(x-500)\\&=450 + 0.8x - 400\\&=0.8x + 50\end{aligned}$
即$y=0.8x+50\ (x≥500)$。
(2) 已知$200＜a＜300$，第一次购物金额符合200元至500元（不含500元）的优惠区间，享受九折优惠，因此第一次实际付款为$0.9a$元。
第二次购物的商品金额为$(820-a)$元，由$200＜a＜300$可推出$820-300 ＜ 820-a ＜ 820-200$，即$520 ＜ 820-a ＜ 620$，符合500元及以上的优惠条件，代入(1)的结论，第二次实际付款为$0.8(820-a)+50$元。
两次购物实际付款总额为：
$\begin{aligned}&0.9a + 0.8(820-a) + 50\\=&0.9a + 656 - 0.8a + 50\\=&0.1a + 706\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=0.8x+50\ (x≥500)}$
(2) 两次购物实际付款总额为$\boldsymbol{(0.1a+706)}$元
【知识点】
列代数式；分段计费问题；整式加减运算
【点评】
本题是生活中常见的优惠计费类应用题，解题核心是读懂不同购物金额对应的优惠规则，准确判断金额所属的优惠区间，再根据规则列式计算，计算时需注意整式化简的正确性。
【难度系数】
0.7
(1) 当购物金额$x≥500$元时，优惠需分两部分计算：先计算500元部分按九折的应付金额，再计算超出500元的$(x-500)$部分按八折的应付金额，两部分相加即可得到实际付款$y$的代数式。
(2) 首先根据第一次购物金额$a$的范围$200＜a＜300$，判断第一次享受九折优惠，算出第一次实际付款；再算出第二次购物金额为$(820-a)$，先判断该金额大于500，可直接用第(1)问的结论算出第二次实际付款，最后将两次实际付款相加，化简代数式即可得到结果。
【解析】
(1) 根据优惠规则，500元以内部分的实际付款为$500×0.9$元，超出500元的部分为$(x-500)$元，这部分实际付款为$0.8(x-500)$元。
因此总实际付款：
$\begin{aligned}y&=500×0.9 + 0.8(x-500)\\&=450 + 0.8x - 400\\&=0.8x + 50\end{aligned}$
即$y=0.8x+50\ (x≥500)$。
(2) 已知$200＜a＜300$，第一次购物金额符合200元至500元（不含500元）的优惠区间，享受九折优惠，因此第一次实际付款为$0.9a$元。
第二次购物的商品金额为$(820-a)$元，由$200＜a＜300$可推出$820-300 ＜ 820-a ＜ 820-200$，即$520 ＜ 820-a ＜ 620$，符合500元及以上的优惠条件，代入(1)的结论，第二次实际付款为$0.8(820-a)+50$元。
两次购物实际付款总额为：
$\begin{aligned}&0.9a + 0.8(820-a) + 50\\=&0.9a + 656 - 0.8a + 50\\=&0.1a + 706\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=0.8x+50\ (x≥500)}$
(2) 两次购物实际付款总额为$\boldsymbol{(0.1a+706)}$元
【知识点】
列代数式；分段计费问题；整式加减运算
【点评】
本题是生活中常见的优惠计费类应用题，解题核心是读懂不同购物金额对应的优惠规则，准确判断金额所属的优惠区间，再根据规则列式计算，计算时需注意整式化简的正确性。
【难度系数】
0.7
