1.有下列式子:①$-x$;②$\frac{m+n}{3}$;③$\frac{y}{x}$;④$a^2 - b^2$;⑤$-\frac{x^2 y}{4}$;⑥$\frac{x}{2} + 3y$.其中属于单项式的有,属于多项式的有,属于整式的有。(均填序号)

解：
根据相关定义判断：
由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，因此属于单项式的有①⑤；
几个单项式的和叫做多项式，因此属于多项式的有②④⑥；
单项式和多项式统称为整式，因此属于整式的有①②④⑤⑥。
答案依次为：①⑤；②④⑥；①②④⑤⑥。

2.单项式$-\frac{π x^3 y^2}{5}$的系数是，次数是。

系数为$\boldsymbol{-\dfrac{π}{5}}$，次数为$\boldsymbol{5}$。

解：
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，因此单项式$-\frac{π x^3 y^2}{5}$的系数是$-\frac{π}{5}$；
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，计算得$3+2=5$，因此该单项式的次数是$5$。
最终

3. (1)在多项式$3x^2y - x^2 - 2y + 2$中，次数最高项的系数是。
(2)多项式$-3x^3y - 1 + 2xy^2 - y^3$按照$y$的降幂排列为。

(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{-y^3 + 2xy^2 - 3x^3y - 1}$

解：
(1) 多项式$3x^2y - x^2 - 2y + 2$中，各项的次数分别为：$3x^2y$的次数是$2+1=3$，$-x^2$的次数是2，$-2y$的次数是1，常数项2的次数是0，因此次数最高项为$3x^2y$，它的系数是3。
(2) 多项式$-3x^3y - 1 + 2xy^2 - y^3$中各项关于y的次数依次为1、0、2、3，按照y的降幂排列，将各项按y的次数从高到低排列，结果为$-y^3 + 2xy^2 - 3x^3y - 1$。
最终

4.定义:若一个多项式有两项且两项的次数相同,则称这样的多项式为“齐次二项式”。若关于$a,b$的多项式$-2a^{m}b^{3}+na^{3}b^{2}$是“齐次二项式”,在数轴上表示$n$的点在表示$-2$的点的右侧距离5个单位长度处,则$m^{n}=$。

$\boldsymbol{128}$

解：
由数轴上点的位置可知，$n = -2 + 5 = 7$。
单项式$na^3b^2$的次数为$3+2=5$。
根据“齐次二项式”的定义，两项次数相同，因此第一项$-2a^mb^3$的次数满足：
$m + 3 = 5$
解得$m=2$。
所以$m^n = 2^7 = 128$。

5.若单项式$-\frac{1}{8}a^2b^m$与单项式$-\frac{3}{7}x^3y^4$的次数相同，则$m$的值为。

$\boldsymbol{5}$

解：
单项式$-\frac{3}{7}x^3y^4$的次数为：$3+4=7$
单项式$-\frac{1}{8}a^2b^m$的次数为：$2+m$
由两个单项式次数相同，得：
$2+m=7$
解得$m=5$

6.已知$(a-2)x^2+(b+1)xy -x + y -7$是关于$x,y$的多项式，若该多项式不含二次项，则$3a+8b$的值是。

$\boldsymbol{-2}$

解：
因为该多项式不含二次项，所以所有二次项的系数均为0，可得：
$a-2=0$，$b+1=0$
解得$a=2$，$b=-1$
将$a=2$，$b=-1$代入$3a+8b$：
$3a+8b=3×2 + 8×(-1)=6-8=-2$

7. 根据多项式的有关概念填写下列表格。
多项式 | $7a+1$ | $-x^3 + y^4$ | $4y^2 - x^2 y - 2^4 + x$
次数最高的项 | | |
次数最高项的系数 | | |
次数 | | |
几次几项式 | | |

解：
| 多项式 | $7a+1$ | $-x^3 + y^4$ | $4y^2 - x^2 y - 2^4 + x$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 次数最高的项 | $7a$ | $y^4$ | $-x^2y$ |
| 次数最高项的系数 | $7$ | $1$ | $-1$ |
| 次数 | $1$ | $4$ | $3$ |
| 几次几项式 | 一次二项式 | 四次二项式 | 三次四项式 |

8. 提升题 某超市在国庆期间对商品实行优惠活动，规定如下：

(1)若顾客在该超市一次性购物$x$（$x≥500$）元，实际付款$y$元，请用含$x$的代数式表示$y$。
(2)某顾客两次购物的商品总金额共820元，其中第一次购物的商品金额为$a$（$200＜a＜300$）元，用含$a$的代数式表示该顾客两次购物的实际付款总额。

解：
(1) 根据优惠规则，500元以内部分应付金额为$500×0.9$元，超出500元的部分为$(x-500)$元，应付金额为$0.8(x-500)$元。
$\begin{aligned}y&=500×0.9 + 0.8(x-500)\\&=450 + 0.8x - 400\\&=0.8x + 50\end{aligned}$
即$y=0.8x+50\ (x≥500)$。
(2) 由$200＜a＜300$可知，第一次购物享受九折优惠，第一次实际付款为$0.9a$元。
第二次购物的商品总金额为$820-a$元，由$200＜a＜300$可得$520＜820-a＜620$，满足500元及以上的优惠条件，代入(1)的结论，第二次实际付款为$0.8(820-a)+50$元。
两次购物实际付款总额为：
$\begin{aligned}&0.9a + 0.8(820-a) + 50\\=&0.9a + 656 - 0.8a + 50\\=&0.1a + 706\end{aligned}$
综上，(1) $\boldsymbol{y=0.8x+50\ (x≥500)}$；(2) 两次购物实际付款总额为$\boldsymbol{(0.1a+706)}$元。