问题导引
请同学们欣赏图片：
你知道这个美丽的图案是怎样画出来的吗？它依据的是什么数学知识呢？
知识梳理
运用勾股定理解决问题的关键是构造，想办法找出各边的长度或各边之间的数量关系，再运用勾股定理求解.
典例剖析

直角三角形

例题 如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE的度数为().

（例题图）
A.30° B.45°
C.60° D.75°
答案:B
【解析】如图,连结AD、BE.

根据勾股定理,得$AD^2=1^2+3^2=10$,$CD^2=1^2+3^2=10$,$AC^2=2^2+4^2=20$,$BC^2=2^2+2^2=8$,$CE^2=1^2+1^2=2$,$BE^2=3^2+1^2=10$,
∴ $AD=CD$,$AD^2+CD^2=AC^2$,$BC^2+CE^2=BE^2$.
∴ $∠ADC=90°$,$∠BCE=90°$.
∴ $∠CAD=∠ACD=45°$.
∴ $∠BCA+∠DCE = ∠BCE−∠ACD =90°−45°=45°$.
故选B.
方法点拨 本题考查勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识,熟练掌握网格问题的计算方法是关键.连结AD、BE,构建等腰直角三角形和直角三角形,利用勾股定理和逆定理得$∠ADC=90°$,$∠BCE=90°$,$∠ACD=45°$,最后根据图中各角的关系可得结论.

解：连接AD、BE。
设每个小正方形网格的边长为1，根据勾股定理可得：
$AD^2=1^2+3^2=10$，$CD^2=1^2+3^2=10$，$AC^2=2^2+4^2=20$，
$BC^2=2^2+2^2=8$，$CE^2=1^2+1^2=2$，$BE^2=3^2+1^2=10$。
∴ $AD=CD$，$AD^2+CD^2=AC^2$，$BC^2+CE^2=BE^2$。
由勾股定理的逆定理得：
$∠ADC=90°$，$∠BCE=90°$。
又∵ $AD=CD$，
∴ $△ ADC$是等腰直角三角形，
∴ $∠ACD=45°$。
∴ $∠BCA+∠DCE = ∠BCE - ∠ACD = 90° - 45° = 45°$。
故选：B。

如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主题图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的,其中$OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_7A_8 = 1$,图中三角形的面积分别记为$S_1,S_2,\dots,S_7$,则$S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 + \dots + S_7^2 = (\quad)$.


A.28
B.36
C.7
D.9

C