1. 勾股定理：.
2. 利用勾股定理求直角三角形边长的一般步骤：、、、.
3. 勾股定理的证明主要是通过并结合的关系完成的.

1. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
2. 找、分、代、求
3. 拼图法 面积

例1 在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的对边分别是$a$、$b$、$c$.
(1)已知$a=b=1$,求$c$的值.
(2)已知$c=13,b=12$,求$a$的值.
(3)已知$a:b=3:4,c=10$,求$b$的值.
答案:(1)$\because ∠ C=90°,a=b=1$,
根据勾股定理,得$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.
(2)$\because ∠ C=90°,c=13,b=12$,
根据勾股定理,得$a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$.
(3)$\because a:b=3:4$,
$\therefore$ 设$a=3x,b=4x(x＞0)$.
又$\because ∠ C=90°,c=10$,
根据勾股定理,得$(3x)^2+(4x)^2=10^2$,
解得$x^2=4$.
$\therefore x=2$.
$\therefore b=4×2=8$.
方法点拨 先分清待求的第三边是直角边还是斜边,然后合理选择勾股定理或勾股定理的变形求解.若求斜边,则直接用勾股定理;若求直角边,则用勾股定理的变形.

解：
(1) $\because ∠ C=90°,a=b=1$,
根据勾股定理，得$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
(2) $\because ∠ C=90°,c=13,b=12$,
根据勾股定理，得$a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
(3) $\because a:b=3:4$,
$\therefore$ 设$a=3x,b=4x(x＞0)$。
又$\because ∠ C=90°,c=10$,
根据勾股定理，得$(3x)^2+(4x)^2=10^2$,
整理得$25x^2=100$，解得$x^2=4$。
$\because x＞0$,
$\therefore x=2$,
$\therefore b=4x=4×2=8$。

例2 4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b,斜边为c.现把它们适当拼合,可以得到如图所示的图形,其中四边形ABCD、四边形AEFG、四边形CHFI均为正方形,请利用这个图形验证勾股定理.

(例2题图)
答案:图形的总面积可以表示为$c^2 + 2× \frac{1}{2}ab = c^2 + ab$,
也可以表示为$a^2 + b^2 + 2× \frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + ab$,
$\therefore \quad c^2 + ab = a^2 + b^2 + ab$.
$\therefore \quad a^2 + b^2 = c^2$.
方法点拨 拼图法是探究勾股定理的有效方法,一般应遵循以下步骤:拼出图形→找出
图形面积的不同表达式→根据面积关系列等式→恒等变形→验证勾股定理.

解：
从第一种角度计算图形的总面积：
总面积 = 正方形ABCD的面积 + 2个全等直角三角形的面积
即总面积$= c^2 + 2×\frac{1}{2}ab = c^2 + ab$。
从第二种角度计算图形的总面积：
总面积 = 正方形AEFG的面积 + 正方形CHFI的面积 + 2个全等直角三角形的面积
即总面积$= a^2 + b^2 + 2×\frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + ab$。
由于两种方式表示的是同一个图形的总面积，因此可得：
$c^2 + ab = a^2 + b^2 + ab$
等式两边同时减去$ab$，得：
$a^2 + b^2 = c^2$
由此验证了勾股定理。