5. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$O$是$△ ABC$内一点，且$OB = OC$. 求证$AO ⊥ BC$.

证明 由 AB=AC,OB=OC,得AO 垂直平分 BC,从而 AO⊥BC.

6.如图,直线$l$,$m$相交于点$O$,$P$为这两直线外一点,且$OP=2.8$.若点$P$关于直线$l$,$m$对称的点分别是点$P_1$,$P_2$,则点$P_1$,$P_2$之间的距离可能是().


A.0
B.5
C.6
D.7

6.B 解析 如图,连接 OP₁,OP₂,P₁P₂,PP₁,PP₂.
∵点 P 关于直线 l,m 的对称点分别是点 P₁,P₂，
∴直线 l 垂直平分 PP₁,直线 m 垂直平分 PP₂，
∴OP₁=OP=OP₂=2.8.
根据三角形三边关系定理可知OP₁−OP₂＜P₁P₂,P₁P₂＜OP₁+OP₂，即0＜P₁P₂＜5.6,故选 B.

7. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BE平分∠ABC,交AC于点E,AM⊥BC于点M,交BE于点G,AD平分∠MAC,交BC于点D,交BE于点F.求证:线段BF垂直平分线段AD.

7. 证明 在△ABC 中,
∵∠BAC=90°,
∴∠ABC+∠C=90°.
∵AM⊥BC,
∴∠AMB=90°,
∴∠ABC+∠BAM=90°,
∴∠C=∠BAM.
∵BE 平分∠ABC,AD 平分∠MAC，
∴∠ABF=∠DBF,∠MAD=∠CAD，
∴∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD.
∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠BAD = ∠ADB. 在△ABF 和△DBF 中,
$\begin{cases}∠BAF=∠BDF, \\∠ABF=∠DBF, \\BF=BF,\end{cases}$
∴△ABF≌△DBF(AAS)，
∴AF=DF,∠AFB=∠DFB.
又
∵∠AFB+∠DFB=180°，
∴∠DFB=90°,
∴BF⊥AD，
∴线段 BF 垂直平分线段 AD.