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(1)有一座山的横截面是三角形，三个内角中，有两个角度数相等，第三个角的度数是这两个角的度数之和，这个三角形是()。
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆两个核心知识：一是任意三角形的内角和都是180°；二是三角形按角分类的标准。结合题目给出的条件：有两个角度数相等，第三个角是这两个角的度数之和，我们可以把两个相等的角各看作1份，那么第三个角的份数就是1+1=2份，三个角的总份数就是4份，对应内角和180°，先求出1份的度数，再算出最大角的度数，就能判断三角形的类型。
【解析】
我们把两个相等的角的度数各看作1份：
1. 计算第三个角的份数：$1+1=2$份
2. 计算三个角的总份数：$1+1+2=4$份
3. 计算1份对应的度数：$180°÷4=45°$
4. 计算最大的第三个角的度数：$45°×2=90°$
有一个角是直角的三角形是直角三角形，所以选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和；三角形的分类
【点评】
本题重点考查对三角形内角和定理的应用，以及三角形按角分类的判断方法，只要理清三个角之间的数量关系，结合内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆两个核心知识：一是任意三角形的内角和都是180°；二是三角形按角分类的标准。结合题目给出的条件：有两个角度数相等，第三个角是这两个角的度数之和，我们可以把两个相等的角各看作1份，那么第三个角的份数就是1+1=2份，三个角的总份数就是4份，对应内角和180°，先求出1份的度数，再算出最大角的度数，就能判断三角形的类型。
【解析】
我们把两个相等的角的度数各看作1份：
1. 计算第三个角的份数：$1+1=2$份
2. 计算三个角的总份数：$1+1+2=4$份
3. 计算1份对应的度数：$180°÷4=45°$
4. 计算最大的第三个角的度数：$45°×2=90°$
有一个角是直角的三角形是直角三角形，所以选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和；三角形的分类
【点评】
本题重点考查对三角形内角和定理的应用，以及三角形按角分类的判断方法，只要理清三个角之间的数量关系，结合内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(2)一个三角形,其中有一个角是$65°$,另外两个角不可能是()。
A.$80°$和$35°$
B.$70°$和$55°$
C.$40°$和$75°$
A.$80°$和$35°$
B.$70°$和$55°$
C.$40°$和$75°$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要牢记三角形的内角和是180°。已知三角形其中一个角是65°，那么另外两个角的度数之和一定是180°减去65°的差。我们只需要分别计算每个选项中两个角的和，对比是否等于这个差值，不符合的就是正确选项。
【解析】
根据三角形内角和为180°，可算出另外两个角的度数之和应为：
180° - 65° = 115°
逐一计算选项中两个角的和：
A选项：80° + 35° = 115°，符合要求；
B选项：70° + 55° = 125°，不等于115°，不符合要求；
C选项：40° + 75° = 115°，符合要求。
因此另外两个角不可能是B选项的度数。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用类题目，解题关键是先求出未知两个角的度数总和，再逐一验证选项，只要掌握三角形内角和为180°的规律就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要牢记三角形的内角和是180°。已知三角形其中一个角是65°，那么另外两个角的度数之和一定是180°减去65°的差。我们只需要分别计算每个选项中两个角的和，对比是否等于这个差值，不符合的就是正确选项。
【解析】
根据三角形内角和为180°，可算出另外两个角的度数之和应为：
180° - 65° = 115°
逐一计算选项中两个角的和：
A选项：80° + 35° = 115°，符合要求；
B选项：70° + 55° = 125°，不等于115°，不符合要求；
C选项：40° + 75° = 115°，符合要求。
因此另外两个角不可能是B选项的度数。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用类题目，解题关键是先求出未知两个角的度数总和，再逐一验证选项，只要掌握三角形内角和为180°的规律就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
(3)一个等腰钝角三角形,它的一个底角的度数不可能是()。
A.$25°$
B.$38°$
C.$45°$
A.$25°$
B.$38°$
C.$45°$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以结合三角形的相关性质推导底角的取值范围：首先回忆三个核心知识点，一是任意三角形内角和都是180°，二是等腰三角形的两个底角度数相等，三是钝角三角形有且只有一个角是钝角（大于90°且小于180°）。因为是等腰钝角三角形，所以钝角只能是顶角（如果底角是钝角，两个底角加起来就会超过180°，不符合内角和要求），由此先算出两个底角的和的上限，再算出单个底角的上限，最后对比选项就能找到不可能的度数。
【解析】
1. 整理已知性质：等腰三角形两个底角相等，三角形内角和为180°，钝角的度数大于90°、小于180°。
2. 推导底角和的范围：等腰钝角三角形的顶角是钝角，所以顶角＞90°，那么两个底角的和=180°-顶角＜180°-90°=90°。
3. 推导单个底角的范围：因为两个底角度数相等，所以单个底角的度数＜90°÷2=45°。
4. 对比选项判断：25°、38°都小于45°，符合底角的取值要求；如果底角是45°，两个底角和为90°，顶角=180°-90°=90°，此时是等腰直角三角形，不属于钝角三角形，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和；等腰三角形特征；钝角三角形定义
【点评】
这道题需要结合三角形的多种性质综合推导，关键是先确定钝角的位置为顶角，再通过内角和计算出底角的取值范围，易错点是容易忽略钝角要严格大于90°，误把45°当成符合要求的数值。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以结合三角形的相关性质推导底角的取值范围：首先回忆三个核心知识点，一是任意三角形内角和都是180°，二是等腰三角形的两个底角度数相等，三是钝角三角形有且只有一个角是钝角（大于90°且小于180°）。因为是等腰钝角三角形，所以钝角只能是顶角（如果底角是钝角，两个底角加起来就会超过180°，不符合内角和要求），由此先算出两个底角的和的上限，再算出单个底角的上限，最后对比选项就能找到不可能的度数。
【解析】
1. 整理已知性质：等腰三角形两个底角相等，三角形内角和为180°，钝角的度数大于90°、小于180°。
2. 推导底角和的范围：等腰钝角三角形的顶角是钝角，所以顶角＞90°，那么两个底角的和=180°-顶角＜180°-90°=90°。
3. 推导单个底角的范围：因为两个底角度数相等，所以单个底角的度数＜90°÷2=45°。
4. 对比选项判断：25°、38°都小于45°，符合底角的取值要求；如果底角是45°，两个底角和为90°，顶角=180°-90°=90°，此时是等腰直角三角形，不属于钝角三角形，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和；等腰三角形特征；钝角三角形定义
【点评】
这道题需要结合三角形的多种性质综合推导，关键是先确定钝角的位置为顶角，再通过内角和计算出底角的取值范围，易错点是容易忽略钝角要严格大于90°，误把45°当成符合要求的数值。
【难度系数】
0.7
(4)下面()不能说明三角形的内角和是180度。
A.[图]
B.
C.[图]
A.[图]
B.
C.[图]
答案
C
解析
【分析】
要判断哪个操作不能说明三角形内角和是180°，首先明确验证三角形内角和的核心思路：把三角形的3个内角拼合在一起，看能不能组成1个180°的平角。我们逐个分析选项：
①A选项是把三角形的三个内角撕下来拼到一起，若拼成平角就可以证明内角和为180°；
②B选项是把三角形的三个内角折叠后拼合，同样是凑内角判断是否能组成平角；
③C选项只是把大三角形剪成两个小三角形，没有对内角进行拼合验证，无法得到三个内角的和。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
1. 选项A：将三角形的三个内角撕下后，顶点重合拼接，三个角刚好组成一个平角（平角为180°），可以说明三角形内角和是180°；
2. 选项B：将三角形的三个内角通过折叠的方式拼合，三个角刚好组成平角，可以说明三角形内角和是180°；
3. 选项C：仅将三角形沿高剪成两个小三角形，没有将三角形的三个内角拼接或折叠凑成平角，无法证明内角和为180°。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和、平角的特征、图形剪拼
【点评】
本题考查三角形内角和的验证方法，核心是通过剪、拼、折等操作将三个内角转化为平角来验证，掌握常见的验证方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断哪个操作不能说明三角形内角和是180°，首先明确验证三角形内角和的核心思路：把三角形的3个内角拼合在一起，看能不能组成1个180°的平角。我们逐个分析选项：
①A选项是把三角形的三个内角撕下来拼到一起，若拼成平角就可以证明内角和为180°；
②B选项是把三角形的三个内角折叠后拼合，同样是凑内角判断是否能组成平角；
③C选项只是把大三角形剪成两个小三角形，没有对内角进行拼合验证，无法得到三个内角的和。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
1. 选项A：将三角形的三个内角撕下后，顶点重合拼接，三个角刚好组成一个平角（平角为180°），可以说明三角形内角和是180°；
2. 选项B：将三角形的三个内角通过折叠的方式拼合，三个角刚好组成平角，可以说明三角形内角和是180°；
3. 选项C：仅将三角形沿高剪成两个小三角形，没有将三角形的三个内角拼接或折叠凑成平角，无法证明内角和为180°。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和、平角的特征、图形剪拼
【点评】
本题考查三角形内角和的验证方法，核心是通过剪、拼、折等操作将三个内角转化为平角来验证，掌握常见的验证方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6.推理是我们学习数学经常用到的方法。如下图，把三角形ABC的边BC延长到点D，请你运用所学知识试着推理出：$∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 4$。
答案
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
∠1 + ∠2 = 180° - ∠3
∠3 + ∠4 = 180°
∠4 = 180° - ∠3
所以∠1 + ∠2 = ∠4
答：推理可得∠1+∠2=∠4。
∠1 + ∠2 = 180° - ∠3
∠3 + ∠4 = 180°
∠4 = 180° - ∠3
所以∠1 + ∠2 = ∠4
答：推理可得∠1+∠2=∠4。
解析
【分析】
解题时我们可以结合已学知识逐步推导：首先回忆三角形内角和为180°，因此三角形ABC的三个内角∠1、∠2、∠3相加和为180°，即可将∠1+∠2转化为180°减∠3的形式。再观察图形，边BC延长到D后，∠3和∠4在同一条直线上，二者组成平角，平角度数也是180°，因此∠4也可以写成180°减∠3的形式。由于∠1+∠2和∠4都等于同一个式子，即可推出二者相等。
【解析】
根据三角形内角和为180°可得：
$∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°$
变形得：$∠1 + ∠2 = 180° - ∠3$
又因为BC延长至D，$∠3$和$∠4$组成平角，平角为180°，因此：
$∠3 + ∠4 = 180°$
变形得：$∠4 = 180° - ∠3$
所以$∠1 + ∠2 = ∠4$
【答案】
$∠1+∠2=∠4$
【知识点】
三角形内角和；平角的特征
【点评】
本题是几何基础推导题，考查对三角形内角和、平角特征的掌握，能有效锻炼逻辑推理能力，帮助理解三角形中角的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以结合已学知识逐步推导：首先回忆三角形内角和为180°，因此三角形ABC的三个内角∠1、∠2、∠3相加和为180°，即可将∠1+∠2转化为180°减∠3的形式。再观察图形，边BC延长到D后，∠3和∠4在同一条直线上，二者组成平角，平角度数也是180°，因此∠4也可以写成180°减∠3的形式。由于∠1+∠2和∠4都等于同一个式子，即可推出二者相等。
【解析】
根据三角形内角和为180°可得：
$∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°$
变形得：$∠1 + ∠2 = 180° - ∠3$
又因为BC延长至D，$∠3$和$∠4$组成平角，平角为180°，因此：
$∠3 + ∠4 = 180°$
变形得：$∠4 = 180° - ∠3$
所以$∠1 + ∠2 = ∠4$
【答案】
$∠1+∠2=∠4$
【知识点】
三角形内角和；平角的特征
【点评】
本题是几何基础推导题，考查对三角形内角和、平角特征的掌握，能有效锻炼逻辑推理能力，帮助理解三角形中角的数量关系。
【难度系数】
0.7
7. 帕斯卡与“三角形内角和”的故事。
帕斯卡是法国著名的数学家。他在十几岁时就发现:平面上任何一个三角形的内角和都是$180°$。那么他是怎么证明的呢?
平面上任意一个直角三角形都可以看作把长方形剪开得到的,每一个长方形的内角和是$360°$（由4个直角组成）,它恰好包含了两个直角三角形的6个内角,所以一个直角三角形的内角和是$360° ÷ 2 = 180°$。在此基础上,他证明了任意锐角三角形的内角和是$180°$。
如上图所示,在锐角三角形内作一条高,会分割出两个不同的直角三角形。因为直角三角形的内角和是$180°$,所以除直角外的两个锐角的和为$180° - 90° = 90°$,即$∠1 + ∠4 = 90°$, $∠2 + ∠3 = 90°$;而$∠1$、$∠2$、$∠3$、$∠4$恰好组成了原来大锐角三角形的3个内角,即可得出任意锐角三角形的内角和为$90° + 90° = 180°$。
你看明白了吗? 怎么证明钝角三角形的内角和也是$180°$呢? 赶紧找个钝角三角形试一试吧。
帕斯卡是法国著名的数学家。他在十几岁时就发现:平面上任何一个三角形的内角和都是$180°$。那么他是怎么证明的呢?
平面上任意一个直角三角形都可以看作把长方形剪开得到的,每一个长方形的内角和是$360°$（由4个直角组成）,它恰好包含了两个直角三角形的6个内角,所以一个直角三角形的内角和是$360° ÷ 2 = 180°$。在此基础上,他证明了任意锐角三角形的内角和是$180°$。
如上图所示,在锐角三角形内作一条高,会分割出两个不同的直角三角形。因为直角三角形的内角和是$180°$,所以除直角外的两个锐角的和为$180° - 90° = 90°$,即$∠1 + ∠4 = 90°$, $∠2 + ∠3 = 90°$;而$∠1$、$∠2$、$∠3$、$∠4$恰好组成了原来大锐角三角形的3个内角,即可得出任意锐角三角形的内角和为$90° + 90° = 180°$。
你看明白了吗? 怎么证明钝角三角形的内角和也是$180°$呢? 赶紧找个钝角三角形试一试吧。
答案
在钝角三角形中，从钝角的顶点向它的对边作高，将钝角三角形分割成两个直角三角形。
$180° - 90° = 90°$
$90° + 90° = 180°$
答：钝角三角形的内角和是$180°$。
$180° - 90° = 90°$
$90° + 90° = 180°$
答：钝角三角形的内角和是$180°$。
解析
【分析】
我们已经知道直角三角形的内角和是180°，要证明钝角三角形的内角和，可以用转化的思路，把钝角三角形转化为已经学过的直角三角形来推导。首先在钝角三角形中作高，把它分割成2个直角三角形，每个直角三角形去掉直角后剩下的两个锐角之和是90°，这两个直角三角形的所有非直角内角刚好组成原来钝角三角形的三个内角，把这两部分的和相加就能得出钝角三角形的内角和。
【解析】
在钝角三角形中，从钝角的顶点向它的对边作高，将钝角三角形分割成两个直角三角形。
每个直角三角形的内角和是180°，因此每个直角三角形中两个锐角的和为：
$180° - 90° = 90°$
两个直角三角形的锐角之和刚好等于原钝角三角形的三个内角之和，因此钝角三角形的内角和为：
$90° + 90° = 180°$
【答案】
钝角三角形的内角和是$180°$。
【知识点】
三角形内角和、三角形的高、直角三角形性质
【点评】
本题通过迁移已有的锐角三角形内角和的证明方法，引导学生将未知的钝角三角形内角和问题转化为已掌握的直角三角形相关知识解决，能有效锻炼学生的逻辑推理能力和知识迁移能力，帮助学生体会转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
我们已经知道直角三角形的内角和是180°，要证明钝角三角形的内角和，可以用转化的思路，把钝角三角形转化为已经学过的直角三角形来推导。首先在钝角三角形中作高，把它分割成2个直角三角形，每个直角三角形去掉直角后剩下的两个锐角之和是90°，这两个直角三角形的所有非直角内角刚好组成原来钝角三角形的三个内角，把这两部分的和相加就能得出钝角三角形的内角和。
【解析】
在钝角三角形中，从钝角的顶点向它的对边作高，将钝角三角形分割成两个直角三角形。
每个直角三角形的内角和是180°，因此每个直角三角形中两个锐角的和为：
$180° - 90° = 90°$
两个直角三角形的锐角之和刚好等于原钝角三角形的三个内角之和，因此钝角三角形的内角和为：
$90° + 90° = 180°$
【答案】
钝角三角形的内角和是$180°$。
【知识点】
三角形内角和、三角形的高、直角三角形性质
【点评】
本题通过迁移已有的锐角三角形内角和的证明方法，引导学生将未知的钝角三角形内角和问题转化为已掌握的直角三角形相关知识解决，能有效锻炼学生的逻辑推理能力和知识迁移能力，帮助学生体会转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
