1. 下列方程中,无论a取何值时,总是关于x的一元二次方程的是()

A.$(2a-1)(x^2+3)=2x^2-2$
B.$ax^2-2x-9=0$
C.$ax^2+x=x^2-1$
D.$(a^2+1)x^2=1$

1.D

【分析】
要解决这道题，首先明确一元二次方程的判定核心条件：①是整式方程；②只含有一个未知数x；③未知数x的最高次数为2；④二次项系数不为0。本题要求无论a取何值都为关于x的一元二次方程，因此只需逐一验证每个选项的二次项系数是否恒不为0，若存在a的取值使二次项系数为0，则该选项不符合要求。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），我们对每个选项逐一分析：
1. 选项A：先将方程整理为一般形式
左边展开得$(2a-1)x^2 + 3(2a-1)$，移项合并同类项得：
$(2a-1-2)x^2 + 6a - 3 + 2 = 0$，即$(2a-3)x^2 + 6a -1 = 0$
当$2a-3=0$即$a=\frac{3}{2}$时，二次项系数为0，方程不是一元二次方程，故A错误。
2. 选项B：方程为$ax^2-2x-9=0$
当$a=0$时，方程变为$-2x-9=0$，是一元一次方程，故B错误。
3. 选项C：将方程移项合并同类项得
$(a-1)x^2 + x + 1 = 0$
当$a=1$时，二次项系数为0，方程变为$x+1=0$，是一元一次方程，故C错误。
4. 选项D：方程为$(a^2+1)x^2=1$
根据平方的非负性，$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1$，即二次项系数恒大于0，永远不为0，无论a取何值，该方程都是关于x的一元二次方程，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的判定
2. 平方的非负性
【点评】
本题重点考查一元二次方程的定义，解题的关键是牢记二次项系数不为0这一隐含条件，避免忽略a的特殊取值导致判断错误，结合代数式的取值范围即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8

2.已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是()

A.$3x + 1 = 0$
B.$x^2 + 3 = 0$
C.$3x^2 + 6x = 1$
D.$3x^2 + 1 = 0$

2.D

【分析】
解题前首先要明确一元二次方程的定义及一般形式：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$c$为常数项。解题时先判断各选项是否为一元二次方程，再将方程化为一般形式，核对二次项系数和常数项是否符合题干要求即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），题干要求二次项系数$a=3$，常数项$c=1$，逐一分析选项：
选项A：$3x+1=0$中未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求，排除；
选项B：$x^2+3=0$的二次项系数为1，常数项为3，不符合题干要求，排除；
选项C：将$3x^2+6x=1$移项化为一般形式为$3x^2+6x-1=0$，常数项为-1，不符合要求，排除；
选项D：$3x^2+1=0$的二次项系数为3，常数项为1，完全符合题干要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对一元二次方程相关概念的理解，解题时需注意要先将方程化为一般形式后再判断各项系数，避免直接读取原式的常数项造成错误。
【难度系数】
0.9

3.已知方程$x^2 -6x +4 = □$，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成$(x-p)^2=7$的形式，则印刷不清楚的数字是（）

A.6
B.9
C.2
D.$-2$

3.C

【分析】
这道题可以通过设未知数字为参数，利用配方法对一元二次方程变形，再将变形后的结果与题目给出的配方形式对照，建立关于参数的方程求解即可。解题时先回忆配方法的操作步骤：移项，将含未知数的项放等号左边，常数项放右边；再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，最后对比等式右边的常数即可求出未知数字。
【解析】
设印刷不清楚的数字为$a$，则原方程为：
$x^2 -6x +4 = a$
移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 -6x = a - 4$
给方程左右两边同时加上一次项系数$-6$一半的平方，即$(\frac{-6}{2})^2=9$，得：
$x^2 -6x +9 = a - 4 + 9$
左边写成完全平方式：
$(x-3)^2 = a + 5$
已知该方程可配方成$(x-p)^2=7$的形式，因此等式右边的常数相等，即：
$a + 5 = 7$
解得$a=2$，即印刷不清楚的数字是2。
【答案】
C
【知识点】
1.配方法解一元二次方程 2.等式的基本性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，通过变形后对比对应项建立方程求解，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8

4.已知关于$x$的方程$x^2+bx+a=0$有一个根是$-a(a≠0)$，则$a-b$的值为()

A.－1
B.0
C.1
D.2

4.A 点拨:将$x=-a$代入方程得$a^2-ba+a=0$,即$a(a-b+1)=0.∵a≠0,∴a-b+1=0$,则$a-b=-1.$

【分析】
本题要求代数式a-b的值，已知方程的一个根为-a，可根据一元二次方程根的定义解题：首先把根x=-a代入原方程得到含a、b的等式，再对等式变形，结合a≠0的条件化简，就能直接求出a-b的取值。
【解析】
解：
∵x=-a是方程$x^2+bx+a=0$的根，
∴将x=-a代入方程，等式成立：
$(-a)^2 + b·(-a) + a = 0$
整理得：$a^2 - ab + a = 0$
提取公因式a可得：$a(a - b + 1) = 0$
∵$a≠0$，
∴等式两边同时除以a，得：$a - b + 1 = 0$
移项后得：$a - b = -1$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，解题关键是理解方程根的定义，将已知根代入方程转化为整式化简问题，计算难度低，掌握根的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8