1.(重庆)反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$的图象一定经过的点是()

A.(2,6)
B.(-4,-3)
C.(-3,-4)
D.(6,-2)

1.D 点拨:A错,$\because 2×6=12≠-12$,$\therefore$此点不在该反比例函数图象上;B错,$\because (-4)×(-3)=12≠-12$,$\therefore$此点不在该反比例函数图象上;C错,$\because (-3)×(-4)=12≠-12$,$\therefore$此点不在该反比例函数图象上;D正确,$\because 6×(-2)=-12$,$\therefore$此点在该反比例函数图象上,故选 D.

【分析】
要判断一个点是否在反比例函数图象上，可结合反比例函数的性质推导解题方法：反比例函数表达式为$y=\dfrac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$），变形可得$xy=k$，即函数图象上所有点的横坐标与纵坐标的乘积都等于比例系数k。本题中反比例函数的$k=-12$，因此只需逐一计算各选项中点的横、纵坐标的乘积，若乘积等于-12，则该点在函数图象上，反之则不在。
【解析】
已知反比例函数为$y=-\dfrac{12}{x}$，可得比例系数$k=-12$，因此函数图象上任意点的横、纵坐标乘积为-12，对各选项逐一验证：
A选项：点$(2,6)$的横纵坐标乘积为$2×6=12≠-12$，该点不在函数图象上，错误；
B选项：点$(-4,-3)$的横纵坐标乘积为$(-4)×(-3)=12≠-12$，该点不在函数图象上，错误；
C选项：点$(-3,-4)$的横纵坐标乘积为$(-3)×(-4)=12≠-12$，该点不在函数图象上，错误；
D选项：点$(6,-2)$的横纵坐标乘积为$6×(-2)=-12$，符合要求，该点在函数图象上，正确。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数的概念
2.反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数图象上点的坐标性质，解题时无需代入函数逐一代入计算，直接验证横纵坐标的乘积是否等于比例系数k即可快速得出结果，解题技巧性较强。
【难度系数】
0.9

2.(山东)如图27－10,在平面直角坐标系$xOy$中,$A,C$两点在坐标轴上,四边形$OABC$是面积为4的正方形.若函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$B$,则满足$y≥2$的$x$的取值范围为()

A.$0＜x≤2$
B.$x≥2$
C.$0＜x≤4$
D.$x≥4$

2.A 点拨:$\because$ 四边形 $OABC$ 是面积为 4 的正方形, $\therefore$ 设点 $B$ 的坐标为 $(b,b). \therefore b^2=4$,解得 $b=2$(负值舍去). $\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(2,2). \because$ 函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象经过点 $B, \therefore$ 满足 $y≥2$ 的 $x$ 的取值范围为 $0＜x≤2$(易错:忽略图象在第一象限$(x＞0)$这一限制条件). 故选 A.

【分析】
解题首先利用正方形的性质：正方形邻边相等，可知点B的横、纵坐标相等，再结合正方形面积为4可求出点B的坐标；接着将点B坐标代入反比例函数解析式求出k值，确定函数解析式；最后列不等式求解y≥2时x的取值范围，注意反比例函数在第一象限x＞0的隐含限制。
【解析】
解：
∵四边形OABC是面积为4的正方形，
∴$OA=AB$，且$S_{正方形OABC}=OA· AB=4$，
解得$OA=AB=2$，即点B的坐标为$(2,2)$。
将$B(2,2)$代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得$2=\frac{k}{2}$，解得$k=4$，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
当$y≥2$时，可得$\frac{4}{x}≥2$，
∵$x＞0$，不等式两边同时乘x，不等号方向不变，得$4≥2x$，解得$x≤2$，
结合$x＞0$的取值范围，得$0＜x≤2$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，反比例函数解析式确定，反比例函数与不等式
【点评】
本题综合考查正方形和反比例函数的相关知识，难度较低，解题关键是先通过正方形的性质求出点B的坐标，确定反比例函数解析式，求解不等式时要注意x＞0的限制条件，避免出错。
【难度系数】
0.7

3.(四川成都)某蓄电池的电压为定值.使用此电源时,用电器的电流$I$(A)与电阻$R$(Ω)之间的函数关系为$I=\frac{36}{R}$,则电流$I$的值随电阻$R$值的增大而(填“增大”或“减小”).

3. 减小 点拨:由 $I=\frac{36}{R}$, 知 $I$ 是关于 $R$ 的反比例函数. $\because 36＞0, \therefore$ 电流 $I$ 的值随电阻 $R$ 值的增大而减小.

【分析】
本题考查反比例函数的性质应用，解题思路如下：第一步先识别给定的函数类型，$I=\frac{36}{R}$符合反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的形式；第二步确定比例系数$k$的正负，这里$k=36＞0$；第三步结合反比例函数的单调性规律，以及电阻$R$为正数的实际意义，就能判断$I$随$R$的变化趋势。
【解析】
已知电流$I$与电阻$R$的函数关系为$I=\frac{36}{R}$，该函数属于反比例函数，其中比例系数$k=36＞0$。
结合实际意义，电阻$R$的取值恒大于0，根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，在自变量取值为正的范围内，函数值随自变量的增大而减小，因此电流$I$的值随电阻$R$值的增大而减小。
【答案】
减小
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的性质
【点评】
本题结合物理电学的实际场景考查反比例函数的基础性质，属于基础题型，解题时除了掌握函数性质，还要注意结合实际意义确认自变量的取值范围，避免出现逻辑漏洞。
【难度系数】
0.9

4.(江苏苏州)如图27－11,一次函数$y=2x+4$的图象与$x$轴,$y$轴分别交于$A,B$两点,与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象交于点$C$,过点$B$作$x$轴的平行线与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象交于点$D$,连接$CD$.
(1)求$A,B$两点的坐标.
(2)若$△ BCD$是以$BD$为底边的等腰三角形,求$k$的值.

图27－11

4. 解:(1)令 $y=0$, 则 $2x+4=0$.
解得 $x=-2$.
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(-2,0)$.
令 $x=0$, 则 $y=4$.
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(0,4)$.
(2)解法一:如答图,过点 $C$ 作 $CE⊥ BD$,垂足为 $E$(巧作辅助线:作垂线,由等腰三角形“三线合一”的性质证明 $BE=DE$).
$\because CB=CD, CE⊥ BD, \therefore BE=DE$.
根据题意,得点 $D$ 的坐标为 $(\frac{1}{4}k,4)$,
$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(\frac{1}{8}k,8)$(提醒:点 $C$ 与点 $D$ 横、纵坐标之积均为 $k$).
$\because$ 点 $C$ 在一次函数 $y=2x+4$ 的图象上,
$\therefore \frac{1}{4}k+4=8$.
$\therefore k=16$.

解法二:如答图,过点 $C$ 作 $CE⊥ BD$,垂足为 $E$,
$\because CB=CD, CE⊥ BD, \therefore BE=DE$.
设 $BE=DE=a$, 则点 $C$ 的坐标为 $(a,2a+4)$, 点 $D$ 的坐标为 $(2a,4)$(提醒:引入参数 $a$, 表示 $C,D$ 坐标, 由 $C,D$ 点都在反比例函数图象上求解).
$\because$ 点 $C,D$ 都在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$ 的图象上,
$\therefore a(2a+4)=2a×4$.
解得 $a=2$, 或 $a=0$(舍去).
$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(2,8). \therefore k=16$.

【分析】
(1) 求一次函数与坐标轴的交点是基础题型：与x轴交点令y=0求解x的值，与y轴交点令x=0求解y的值，即可得到A、B两点坐标。
(2) 已知△BCD是以BD为底边的等腰三角形，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过C作CE⊥BD，得到E为BD中点。再结合BD平行于x轴的特征，推导C、D两点的坐标关系，最后利用C、D均在反比例函数图象上、C在一次函数图象上的条件，列方程求解k的值，可选择直接推导坐标或设参数两种方法求解。
【解析】
(1) 求A、B两点坐标：
对于一次函数$y=2x+4$，
令$y=0$，则$2x+4=0$，解得$x=-2$，$\therefore$点A的坐标为$(-2,0)$；
令$x=0$，则$y=2×0+4=4$，$\therefore$点B的坐标为$(0,4)$。
(2) 解法一：
如答图，过点$C$作$CE⊥ BD$，垂足为$E$。
$\because CB=CD, CE⊥ BD$，根据等腰三角形三线合一的性质，$\therefore BE=DE$。
$\because BD// x$轴，点B纵坐标为4，$\therefore$点D纵坐标也为4，将$y=4$代入$y=\frac{k}{x}$得$x=\frac{k}{4}$，即点D坐标为$(\frac{k}{4},4)$。
由$BE=DE$得E为BD中点，$\therefore$E点横坐标为$\frac{k}{8}$，即C点横坐标为$\frac{k}{8}$；又因为C在反比例函数图象上，横纵坐标乘积为k，可得C点纵坐标为8，即$C(\frac{k}{8},8)$。
$\because$点$C$在一次函数$y=2x+4$的图象上，代入得：$2×\frac{k}{8}+4=8$，解得$k=16$。

解法二：
如答图，过点$C$作$CE⊥ BD$，垂足为$E$，
$\because CB=CD, CE⊥ BD, \therefore BE=DE$。
设$BE=DE=a(a＞0)$，则点C的横坐标为a，代入一次函数得纵坐标为$2a+4$，即$C(a,2a+4)$；点D的横坐标为$2a$，纵坐标为4，即$D(2a,4)$。
$\because$点$C,D$都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象上，两点横纵坐标乘积相等，$\therefore a(2a+4)=2a×4$。
化简得$2a^2-4a=0$，解得$a=2$，或$a=0$(不符合题意，舍去)。
$\therefore$点$C$的坐标为$(2,8)$，代入反比例函数得$k=2×8=16$。
【答案】
(1) $A(-2,0)$，$B(0,4)$；
(2) $k=16$

【知识点】
一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于一次函数与反比例函数的综合基础题，第一问考查函数与坐标轴交点的常规求法，难度较低；第二问结合等腰三角形的性质，考查反比例函数中k与图象上点坐标的关系，解题时可灵活选择坐标直接推导或参数法，需要培养函数与几何结合的分析思维。
【难度系数】
0.65