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2. 若关于$x的方程x^{2}-nx= 7+n的一个根是2$,则$n= $____.
答案
$-1$
3. 将方程$(2x-1)(3x+2)= x^{2}+2化为ax^{2}+bx+c= 0$的形式是____,其中$a= $____,$b= $____,$c= $____.
答案
$5x^{2}+x - 4 = 0$；$5$；$1$；$-4$
4. 若方程$(m+3)x^{2n-1}-\sqrt{2}x-1= 0是关于x$的一元二次方程,则$m$____,$n= $____.
答案
$m\neq - 3$；$n = \frac{3}{2}$
5. [2023·郑州二模]若关于$x的一元二次方程x^{2}-4x+m= 0$没有实数根,则$m$的取值范围是____.
答案
$m\gt4$
1. 把下列方程先化成一般形式,再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项:
(1)$5x^{2}= 4x-2$; (2)$x^{2}+1= 2(x^{2}-1)$.
(1)$5x^{2}= 4x-2$; (2)$x^{2}+1= 2(x^{2}-1)$.
答案
1. 一般形式为$5x^{2}-4x + 2 = 0$，二次项系数是$5$，一次项系数是$-4$，常数项是$2$。2. 一般形式为$x^{2}-3 = 0$，二次项系数是$1$，一次项系数是$0$，常数项是$-3$。
2. 写出下列方程的根:
(1)$x^{2}-16= 0$; (2)$4y^{2}= 9$; (3)$x^{2}-12= 0$.
(1)$x^{2}-16= 0$; (2)$4y^{2}= 9$; (3)$x^{2}-12= 0$.
答案
1. $x_{1}=4$，$x_{2}=-4$
2. $y_{1}=\frac{3}{2}$，$y_{2}=-\frac{3}{2}$
3. $x_{1}=2\sqrt{3}$，$x_{2}=-2\sqrt{3}$
2. $y_{1}=\frac{3}{2}$，$y_{2}=-\frac{3}{2}$
3. $x_{1}=2\sqrt{3}$，$x_{2}=-2\sqrt{3}$
3. [2022·安阳一模]用适当的方法解方程:$x^{2}-x-12= 0$.
答案
$x_{1}=4$，$x_{2}=-3$
4. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-4mx+3m^{2}= 0$.
(1)求证:该方程总有两个实数根.
(2)若$m＞0$,且该方程的两个实数根的差为$2$,求$m$的值.
(1)求证:该方程总有两个实数根.
(2)若$m＞0$,且该方程的两个实数根的差为$2$,求$m$的值.
答案
1. 证明：在方程$x^{2}-4mx + 3m^{2}=0$中，$a = 1$，$b=-4m$，$c = 3m^{2}$，$\Delta=(-4m)^{2}-4\times1\times3m^{2}=16m^{2}-12m^{2}=4m^{2}\geqslant0$，所以该方程总有两个实数根。
2. 解方程$x^{2}-4mx + 3m^{2}=0$，$x=\frac{4m\pm\sqrt{4m^{2}}}{2}=\frac{4m\pm2m}{2}$，$x_{1}=3m$，$x_{2}=m$。因为$m\gt0$，$\vert x_{1}-x_{2}\vert = 2$，即$\vert3m - m\vert=2$，$2m = 2$，解得$m = 1$。
2. 解方程$x^{2}-4mx + 3m^{2}=0$，$x=\frac{4m\pm\sqrt{4m^{2}}}{2}=\frac{4m\pm2m}{2}$，$x_{1}=3m$，$x_{2}=m$。因为$m\gt0$，$\vert x_{1}-x_{2}\vert = 2$，即$\vert3m - m\vert=2$，$2m = 2$，解得$m = 1$。
5. 关于$x的方程x^{2}-2x+2m-1= 0$有实数根,且$m$为正整数,求$m$的值及此时方程的根.
答案
$m$的值为$1$，此时方程的根为$x_1 = x_2 = 1$。
