21. 如图，$ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC = BC $，$ D $ 为 $ BC $ 边上的中点，$ DE \perp AC $ 于 $ E $. 求证：$ CE = \frac{1}{4}AC $.

【解析】：
- 因为$AB = AC = BC$，所以$\triangle ABC$是等边三角形，则$\angle C = 60^{\circ}$。
- 因为$DE\perp AC$，所以$\angle DEC = 90^{\circ}$，那么$\angle CDE = 180^{\circ}-\angle DEC - \angle C = 180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
- 在直角三角形$CDE$中，根据$30^{\circ}$所对的直角边是斜边的一半，可得$CD = 2CE$。
- 又因为$D$为$BC$边上的中点，所以$BC = 2CD$，而$AC = BC$，所以$AC = 2CD = 4CE$，即$CE=\frac{1}{4}AC$。
【答案】：$CE=\frac{1}{4}AC$ 。

22. 如图，在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^{\circ} $，$ AC = BC $，$ AD $ 为 $ \angle BAC $ 的平分线，$ DE \perp AB $，垂足为 $ E $. 求证 $ \triangle DBE $ 的周长等于 $ AB $.

【解析】：
已知$AD$为$\angle BAC$的平分线，$\angle C = 90^{\circ}$，$DE\perp AB$。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$CD = DE$。
在$Rt\triangle ACD$和$Rt\triangle AED$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = AD\\CD = DE\end{array}\right.$，根据$HL$（斜边 - 直角边）定理可得$Rt\triangle ACD\cong Rt\triangle AED$。
所以$AC = AE$。
因为$AC = BC$，所以$BC = AE$。
$\triangle DBE$的周长$C_{\triangle DBE}=BD + DE + BE$，将$DE = CD$代入可得$C_{\triangle DBE}=BD + CD + BE$。
又因为$BD + CD = BC$，所以$C_{\triangle DBE}=BC + BE$。
再把$BC = AE$代入，得到$C_{\triangle DBE}=AE + BE$。
而$AE + BE = AB$。
【答案】：
因为$AD$平分$\angle BAC$，$\angle C = 90^{\circ}$，$DE\perp AB$，所以$CD = DE$。
在$Rt\triangle ACD$和$Rt\triangle AED$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = AD\\CD = DE\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle ACD\cong Rt\triangle AED(HL)$，则$AC = AE$。
因为$AC = BC$，所以$BC = AE$。
$\triangle DBE$的周长$=BD + DE + BE = BD + CD + BE = BC + BE = AE + BE = AB$。
即$\triangle DBE$的周长等于$AB$。

23. 如图，$ \triangle ABD $，$ \triangle BCE $，$ \triangle ACF $ 均为等边三角形. 请回答下列问题(不要求证明).
(1)四边形 $ ADEF $ 是什么四边形?
(2)当 $ \triangle ABC $ 满足什么条件时，四边形 $ ADEF $ 是矩形?
(3)当 $ \triangle ABC $ 满足什么条件时，以 $ A $，$ D $，$ E $，$ F $ 为顶点的四边形不存在?

【解析】：
1. 因为$\triangle ABD$，$\triangle BCE$为等边三角形，所以$BD = BA$，$BE = BC$，$\angle DBA=\angle EBC = 60^{\circ}$，则$\angle DBE=\angle ABC$，可证$\triangle DBE\cong\triangle ABC$（$SAS$），所以$DE = AC$。又因为$\triangle ACF$是等边三角形，所以$AC = AF$，则$DE = AF$。同理可证$\triangle ABC\cong\triangle FEC$，得$AB = FE$，而$AB = AD$，所以$AD = FE$，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，所以四边形$ADEF$是平行四边形。
2. 若四边形$ADEF$是矩形，则$\angle DAF = 90^{\circ}$。因为$\angle DAB=\angle FAC = 60^{\circ}$，所以$\angle BAC = 360^{\circ}-\angle DAB-\angle FAC-\angle DAF = 150^{\circ}$，即当$\angle BAC = 150^{\circ}$时，四边形$ADEF$是矩形。
3. 当$\angle BAC = 60^{\circ}$时，$\angle DAF = 360^{\circ}-\angle DAB-\angle FAC-\angle BAC = 360^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=180^{\circ}$，此时$D$、$A$、$F$三点共线，以$A$，$D$，$E$，$F$为顶点的四边形不存在。
【答案】：
1. 平行四边形
2. $\angle BAC = 150^{\circ}$
3. $\angle BAC = 60^{\circ}$

24. 如图，四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ DE // AC $，交 $ BC $ 的延长线于点 $ E $，$ EF \perp AB $ 于点 $ F $. 求证：$ AD = CF $.

【解析】：
- 首先证明$AD = CE$：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，即$AD// BE$。
又因为$DE// AC$，所以四边形$ACED$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
根据平行四边形的性质，可得$AD = CE$。
然后在$Rt\triangle BEF$中证明$CF = CE$：
因为$EF\perp AB$，所以$\angle BFE = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle BEF$中，$C$是$BE$的中点（由$AD = CE$且$AD = BC$，可得$BC = CE$）。
根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以$CF=\frac{1}{2}BE$。
又因为$CE=\frac{1}{2}BE$（$BC = CE$），所以$CF = CE$。
最后得出$AD = CF$：
由于$AD = CE$且$CF = CE$，通过等量代换可得$AD = CF$。
【答案】：$AD = CF$得证。