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三、解答题(共9小题,共75分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(6分)解下列一元二次方程:
(1)$x^2 - 2x = 0$;
(2)$x^2 + 3x - 4 = 0$.
16.(6分)解下列一元二次方程:
(1)$x^2 - 2x = 0$;
(2)$x^2 + 3x - 4 = 0$.
答案
解：
(1) 对原方程因式分解，得
$x(x-2)=0$
$\therefore x=0$ 或 $x-2=0$
解得 $x_1=0$，$x_2=2$。
(2) 对原方程因式分解，得
$(x+4)(x-1)=0$
$\therefore x+4=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=-4$，$x_2=1$。
(1) 对原方程因式分解，得
$x(x-2)=0$
$\therefore x=0$ 或 $x-2=0$
解得 $x_1=0$，$x_2=2$。
(2) 对原方程因式分解，得
$(x+4)(x-1)=0$
$\therefore x+4=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=-4$，$x_2=1$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，两个小题均适合采用因式分解法求解：(1)观察方程左边没有常数项，可直接提取公因式x，将方程变形为两个一次式乘积为0的形式；(2)方程左边是二次三项式，可通过十字相乘法因式分解为两个一次式的乘积；再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 对原方程提取公因式因式分解，得
$x(x-2)=0$
$\therefore x=0$ 或 $x-2=0$
解得 $x_1=0$，$x_2=2$。
(2) 对原方程用十字相乘法因式分解，得
$(x+4)(x-1)=0$
$\therefore x+4=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=-4$，$x_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=0$，$x_2=2$；(2) $x_1=-4$，$x_2=1$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
3. 十字相乘法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，因式分解法是解一元二次方程的常用简便方法，熟练掌握常见的因式分解技巧即可快速准确求解，属于必得分题目。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的求解，两个小题均适合采用因式分解法求解：(1)观察方程左边没有常数项，可直接提取公因式x，将方程变形为两个一次式乘积为0的形式；(2)方程左边是二次三项式，可通过十字相乘法因式分解为两个一次式的乘积；再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 对原方程提取公因式因式分解，得
$x(x-2)=0$
$\therefore x=0$ 或 $x-2=0$
解得 $x_1=0$，$x_2=2$。
(2) 对原方程用十字相乘法因式分解，得
$(x+4)(x-1)=0$
$\therefore x+4=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=-4$，$x_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=0$，$x_2=2$；(2) $x_1=-4$，$x_2=1$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
3. 十字相乘法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，因式分解法是解一元二次方程的常用简便方法，熟练掌握常见的因式分解技巧即可快速准确求解，属于必得分题目。
【难度系数】
0.9
17.(6分)若$x=3$是一元二次方程$x^2 - p = 0$的一个根，求$p$的值和方程的另一个根。
答案
解：
把$x=3$代入一元二次方程$x^2 - p = 0$，得
$3^2 - p = 0$，
解得$p=9$。
将$p=9$代入原方程，得$x^2 - 9 = 0$，
移项得$x^2 = 9$，
直接开平方得$x_1=3$，$x_2=-3$。
所以$p$的值为9，方程的另一个根为$x=-3$。
把$x=3$代入一元二次方程$x^2 - p = 0$，得
$3^2 - p = 0$，
解得$p=9$。
将$p=9$代入原方程，得$x^2 - 9 = 0$，
移项得$x^2 = 9$，
直接开平方得$x_1=3$，$x_2=-3$。
所以$p$的值为9，方程的另一个根为$x=-3$。
18.(6分)如图,点A是线段BC上一点,AD由线段AB逆时针旋转$120°$得到,AE平分$∠ BAD$,且$AE=AC$.求证:$BE=CD$.
答案
解析
【分析】
要证明$BE=CD$，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等求解，即证$△ ABE ≌ △ ADC$。首先根据旋转的性质可得$AB=AD$、$∠ BAD=120°$，再结合角平分线的定义求出$∠ BAE=60°$，然后根据平角的定义求出$∠ DAC=60°$，得到一组相等的夹角，最后结合已知$AE=AC$，即可用SAS判定三角形全等，推出对应边相等。
【解析】
证明：
$\because$ 线段$AD$由$AB$逆时针旋转$120°$得到，
$\therefore AB=AD$，$∠ BAD=120°$，
$\because AE$平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}×120°=60°$，
$\because$ 点$A$是线段$BC$上一点，
$\therefore ∠ BAC=180°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD=180°-120°=60°$，
$\therefore ∠ BAE=∠ DAC$，
在$△ ABE$和$△ ADC$中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD(\mathrm{已证})\\∠ BAE=∠ DAC(\mathrm{已证})\\AE=AC(\mathrm{已知})\end{array} $
$\therefore △ ABE ≌ △ ADC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BE=CD$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$BE=CD$，证明成立。
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查通过全等三角形证明线段相等的解题思路，解题的关键是结合已知条件推导全等所需的边角关系，熟练掌握全等判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要证明$BE=CD$，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等求解，即证$△ ABE ≌ △ ADC$。首先根据旋转的性质可得$AB=AD$、$∠ BAD=120°$，再结合角平分线的定义求出$∠ BAE=60°$，然后根据平角的定义求出$∠ DAC=60°$，得到一组相等的夹角，最后结合已知$AE=AC$，即可用SAS判定三角形全等，推出对应边相等。
【解析】
证明：
$\because$ 线段$AD$由$AB$逆时针旋转$120°$得到，
$\therefore AB=AD$，$∠ BAD=120°$，
$\because AE$平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}×120°=60°$，
$\because$ 点$A$是线段$BC$上一点，
$\therefore ∠ BAC=180°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD=180°-120°=60°$，
$\therefore ∠ BAE=∠ DAC$，
在$△ ABE$和$△ ADC$中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD(\mathrm{已证})\\∠ BAE=∠ DAC(\mathrm{已证})\\AE=AC(\mathrm{已知})\end{array} $
$\therefore △ ABE ≌ △ ADC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BE=CD$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$BE=CD$，证明成立。
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查通过全等三角形证明线段相等的解题思路，解题的关键是结合已知条件推导全等所需的边角关系，熟练掌握全等判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
19.(8分)某游乐场的圆形喷水池中心O处有一雕塑,它从A点向四周喷水,喷出的水柱为抛物线,且形状相同.如图,以水平方向为x轴,点O为原点建立直角坐标系,点A在y轴上,x轴上的点C,D为水柱的落水点,水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为$y=-\frac{1}{6}(x-5)^2+6$.
(1)求雕塑高OA;
(2)求落水点C,D之间的距离;
(3)若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF,$OE=10\ \mathrm{m}$,$EF=1.8\ \mathrm{m},EF⊥ OD$.问:顶部F是否会碰到水柱?请通过计算说明.
第18小题图
第19小题图
(1)求雕塑高OA;
(2)求落水点C,D之间的距离;
(3)若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF,$OE=10\ \mathrm{m}$,$EF=1.8\ \mathrm{m},EF⊥ OD$.问:顶部F是否会碰到水柱?请通过计算说明.
第18小题图
第19小题图
答案
解：
(1) 当$x=0$时，代入$y=-\frac{1}{6}(x-5)^2+6$，
得$y=-\frac{1}{6}×(0-5)^2+6=\frac{11}{6}$，
所以雕塑高$OA=\frac{11}{6}\ \mathrm{m}$。
(2) 当$y=0$时，$-\frac{1}{6}(x-5)^2+6=0$，
整理得$(x-5)^2=36$，
解得$x_1=11$，$x_2=-1$（舍去），
所以点$D$的坐标为$(11,0)$，即$OD=11\ \mathrm{m}$。
由水柱形状相同可知左侧抛物线与右侧抛物线关于$y$轴对称，故$OC=OD=11\ \mathrm{m}$，
所以$CD=OC+OD=22\ \mathrm{m}$。
(3) 顶部$F$不会碰到水柱，理由如下：
由$OE=10\ \mathrm{m}$，可知点$F$的横坐标为$10$，
将$x=10$代入$y=-\frac{1}{6}(x-5)^2+6$，
得$y=-\frac{1}{6}×(10-5)^2+6=\frac{11}{6}\approx1.83$。
因为$1.83＞1.8$，即$x=10$处水柱的高度大于雕塑$EF$的高度，
所以顶部$F$不会碰到水柱。
(1) 当$x=0$时，代入$y=-\frac{1}{6}(x-5)^2+6$，
得$y=-\frac{1}{6}×(0-5)^2+6=\frac{11}{6}$，
所以雕塑高$OA=\frac{11}{6}\ \mathrm{m}$。
(2) 当$y=0$时，$-\frac{1}{6}(x-5)^2+6=0$，
整理得$(x-5)^2=36$，
解得$x_1=11$，$x_2=-1$（舍去），
所以点$D$的坐标为$(11,0)$，即$OD=11\ \mathrm{m}$。
由水柱形状相同可知左侧抛物线与右侧抛物线关于$y$轴对称，故$OC=OD=11\ \mathrm{m}$，
所以$CD=OC+OD=22\ \mathrm{m}$。
(3) 顶部$F$不会碰到水柱，理由如下：
由$OE=10\ \mathrm{m}$，可知点$F$的横坐标为$10$，
将$x=10$代入$y=-\frac{1}{6}(x-5)^2+6$，
得$y=-\frac{1}{6}×(10-5)^2+6=\frac{11}{6}\approx1.83$。
因为$1.83＞1.8$，即$x=10$处水柱的高度大于雕塑$EF$的高度，
所以顶部$F$不会碰到水柱。
解析
【分析】
(1) 雕塑高OA是y轴上A点的纵坐标，A点横坐标为0，只需将x=0代入给定的抛物线解析式，即可求出对应的y值，也就是OA的长度；
(2) 落水点D是抛物线与x轴正半轴的交点，令y=0求解方程得到x的正数值即可得到OD的长度，再根据水柱形状相同、左右关于y轴对称的特征，可得OC=OD，CD的长度为OC与OD之和；
(3) 判断F是否碰到水柱，只需计算横坐标为10时水柱的高度，再和EF的高度1.8m比较：若水柱高度大于1.8m则碰不到，反之则会碰到。
【解析】
(1) 当$x=0$时，代入抛物线表达式$y=-\frac{1}{6}(x-5)^2+6$，
得$y=-\frac{1}{6}×(0-5)^2+6=\frac{11}{6}$，
所以雕塑高$OA=\frac{11}{6}\ \mathrm{m}$。
(2) 当$y=0$时，令$-\frac{1}{6}(x-5)^2+6=0$，
整理得$(x-5)^2=36$，
解得$x_1=11$，$x_2=-1$（不符合实际意义，舍去），
所以点D的坐标为$(11,0)$，即$OD=11\ \mathrm{m}$。
由水柱形状相同可知左右两侧抛物线关于y轴对称，故$OC=OD=11\ \mathrm{m}$，
所以$CD=OC+OD=11+11=22\ \mathrm{m}$。
(3) 顶部F不会碰到水柱，理由如下：
由$OE=10\ \mathrm{m}$，$EF⊥OD$可知点F的横坐标为10，
将$x=10$代入$y=-\frac{1}{6}(x-5)^2+6$，
得$y=-\frac{1}{6}×(10-5)^2+6=\frac{11}{6}\approx1.83$。
因为$1.83＞1.8$，即$x=10$处水柱的高度大于雕塑EF的高度，所以顶部F不会碰到水柱。
【答案】
(1) $\frac{11}{6}\ \mathrm{m}$；(2) $22\ \mathrm{m}$；(3) 顶部F不会碰到水柱
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数求值，二次函数对称性
【点评】
本题结合生活中的喷水池场景考查二次函数的基础应用，解题核心是明确函数中x、y对应的实际意义，掌握代入求函数值、求函数与坐标轴交点、利用对称性解题的方法，考查了学生用数学知识解决实际问题的能力，整体难度不高。
【难度系数】
0.75
(1) 雕塑高OA是y轴上A点的纵坐标，A点横坐标为0，只需将x=0代入给定的抛物线解析式，即可求出对应的y值，也就是OA的长度；
(2) 落水点D是抛物线与x轴正半轴的交点，令y=0求解方程得到x的正数值即可得到OD的长度，再根据水柱形状相同、左右关于y轴对称的特征，可得OC=OD，CD的长度为OC与OD之和；
(3) 判断F是否碰到水柱，只需计算横坐标为10时水柱的高度，再和EF的高度1.8m比较：若水柱高度大于1.8m则碰不到，反之则会碰到。
【解析】
(1) 当$x=0$时，代入抛物线表达式$y=-\frac{1}{6}(x-5)^2+6$，
得$y=-\frac{1}{6}×(0-5)^2+6=\frac{11}{6}$，
所以雕塑高$OA=\frac{11}{6}\ \mathrm{m}$。
(2) 当$y=0$时，令$-\frac{1}{6}(x-5)^2+6=0$，
整理得$(x-5)^2=36$，
解得$x_1=11$，$x_2=-1$（不符合实际意义，舍去），
所以点D的坐标为$(11,0)$，即$OD=11\ \mathrm{m}$。
由水柱形状相同可知左右两侧抛物线关于y轴对称，故$OC=OD=11\ \mathrm{m}$，
所以$CD=OC+OD=11+11=22\ \mathrm{m}$。
(3) 顶部F不会碰到水柱，理由如下：
由$OE=10\ \mathrm{m}$，$EF⊥OD$可知点F的横坐标为10，
将$x=10$代入$y=-\frac{1}{6}(x-5)^2+6$，
得$y=-\frac{1}{6}×(10-5)^2+6=\frac{11}{6}\approx1.83$。
因为$1.83＞1.8$，即$x=10$处水柱的高度大于雕塑EF的高度，所以顶部F不会碰到水柱。
【答案】
(1) $\frac{11}{6}\ \mathrm{m}$；(2) $22\ \mathrm{m}$；(3) 顶部F不会碰到水柱
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数求值，二次函数对称性
【点评】
本题结合生活中的喷水池场景考查二次函数的基础应用，解题核心是明确函数中x、y对应的实际意义，掌握代入求函数值、求函数与坐标轴交点、利用对称性解题的方法，考查了学生用数学知识解决实际问题的能力，整体难度不高。
【难度系数】
0.75
20.(8分)如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D.
(1)如图1,连接DB,求证:DB=DE;
(2)如图2,若∠BAC=60°,求证:AB+AC=$\sqrt{3}$AD.
(1)如图1,连接DB,求证:DB=DE;
(2)如图2,若∠BAC=60°,求证:AB+AC=$\sqrt{3}$AD.
答案
解析
【分析】
（1）要证明DB=DE，可转化为证明∠DBE=∠DEB（等角对等边）。结合三角形内心是内角角平分线交点的性质，可得AE平分∠BAC、BE平分∠ABC，再结合同弧所对圆周角相等的性质，推导两个角相等即可得证。
（2）要证明AB+AC=$\sqrt{3}$AD，可通过构造辅助线转化线段和：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC延长线于N，先由角平分线性质得DM=DN，结合D是弧BC中点得BD=CD，证Rt△DMB≌Rt△DNC得BM=CN，将AB+AC转化为AM+AN，再结合30°角直角三角形的边长关系计算即可推导结论。
【解析】
（1）证明：
∵点E是△ABC的内心
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC
∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE
由圆周角定理得：∠DBC=∠CAD
∴∠DBC=∠BAD
∵∠DEB是△ABE的外角
∴∠DEB=∠BAD+∠ABE
又
∵∠DBE=∠DBC+∠CBE
∴∠DBE=∠DEB
∴DB=DE
（2）证明：过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC，交AC的延长线于点N
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC
∴DM=DN，∠DMB=∠DNC=90°，$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$
∵∠BAD=∠CAD
∴弧BD=弧CD
∴BD=CD
在Rt△DMB和Rt△DNC中
$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ DM=DN\end{array} $
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL）
∴BM=CN
在Rt△ADM中，∠DAM=30°
∴$DM=\frac{1}{2}AD$
由勾股定理得：$AM=\sqrt{AD^2-DM^2}=\sqrt{AD^2-(\frac{1}{2}AD)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}AD$
同理可得$AN=\frac{\sqrt{3}}{2}AD$
∴$AB+AC=(AM+BM)+(AN-CN)=AM+AN+BM-CN$
∵BM=CN
∴$AB+AC=AM+AN=\frac{\sqrt{3}}{2}AD+\frac{\sqrt{3}}{2}AD=\sqrt{3}AD$
【答案】
（1）证明见解析；（2）证明见解析
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查三角形与圆的相关几何证明，第一问侧重基础性质的应用，第二问需要合理构造辅助线转化线段关系，解题的核心是熟练掌握角平分线、圆、全等三角形的相关性质，灵活运用转化思想处理线段和的证明问题。
【难度系数】
0.6
（1）要证明DB=DE，可转化为证明∠DBE=∠DEB（等角对等边）。结合三角形内心是内角角平分线交点的性质，可得AE平分∠BAC、BE平分∠ABC，再结合同弧所对圆周角相等的性质，推导两个角相等即可得证。
（2）要证明AB+AC=$\sqrt{3}$AD，可通过构造辅助线转化线段和：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC延长线于N，先由角平分线性质得DM=DN，结合D是弧BC中点得BD=CD，证Rt△DMB≌Rt△DNC得BM=CN，将AB+AC转化为AM+AN，再结合30°角直角三角形的边长关系计算即可推导结论。
【解析】
（1）证明：
∵点E是△ABC的内心
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC
∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE
由圆周角定理得：∠DBC=∠CAD
∴∠DBC=∠BAD
∵∠DEB是△ABE的外角
∴∠DEB=∠BAD+∠ABE
又
∵∠DBE=∠DBC+∠CBE
∴∠DBE=∠DEB
∴DB=DE
（2）证明：过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC，交AC的延长线于点N
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC
∴DM=DN，∠DMB=∠DNC=90°，$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$
∵∠BAD=∠CAD
∴弧BD=弧CD
∴BD=CD
在Rt△DMB和Rt△DNC中
$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ DM=DN\end{array} $
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL）
∴BM=CN
在Rt△ADM中，∠DAM=30°
∴$DM=\frac{1}{2}AD$
由勾股定理得：$AM=\sqrt{AD^2-DM^2}=\sqrt{AD^2-(\frac{1}{2}AD)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}AD$
同理可得$AN=\frac{\sqrt{3}}{2}AD$
∴$AB+AC=(AM+BM)+(AN-CN)=AM+AN+BM-CN$
∵BM=CN
∴$AB+AC=AM+AN=\frac{\sqrt{3}}{2}AD+\frac{\sqrt{3}}{2}AD=\sqrt{3}AD$
【答案】
（1）证明见解析；（2）证明见解析
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查三角形与圆的相关几何证明，第一问侧重基础性质的应用，第二问需要合理构造辅助线转化线段关系，解题的核心是熟练掌握角平分线、圆、全等三角形的相关性质，灵活运用转化思想处理线段和的证明问题。
【难度系数】
0.6
21.(9分)如图,一次函数$y=\frac{1}{3}x-1$的图象与y轴交于点C,与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于点$A(m,2)$和点B.
(1)求m的值和反比例函数的解析式;
(2)已知点$B(-6,n)$,观察图象,求不等式$\frac{1}{3}x-1＞\frac{k}{x}$的解集;
(3)点D在一次函数$y=\frac{1}{3}x-1$的图象上,且横坐标为4,过点D作y轴的平行线,交反比例函数的图象于点E,连接CE.求$△ DEC$的面积.
第20小题图
(1)求m的值和反比例函数的解析式;
(2)已知点$B(-6,n)$,观察图象,求不等式$\frac{1}{3}x-1＞\frac{k}{x}$的解集;
(3)点D在一次函数$y=\frac{1}{3}x-1$的图象上,且横坐标为4,过点D作y轴的平行线,交反比例函数的图象于点E,连接CE.求$△ DEC$的面积.
第20小题图
答案
解：
(1) 把点$A(m,2)$代入一次函数$y=\frac{1}{3}x-1$，得：
$2=\frac{1}{3}m -1$
解得$m=9$，
∴点A的坐标为$(9,2)$，
将$A(9,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$2=\frac{k}{9}$，解得$k=18$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{18}{x}$。
(2) 两个函数的交点横坐标分别为$-6$和$9$，
观察图象，不等式$\frac{1}{3}x-1＞\frac{k}{x}$的解集是$-6＜x＜0$或$x＞9$。
(3) 在$y=\frac{1}{3}x-1$中，令$x=0$，得$y=-1$，
∴点C的坐标为$(0,-1)$。
∵点D的横坐标为4，代入$y=\frac{1}{3}x-1$，得$y=\frac{1}{3}×4 -1=\frac{1}{3}$，
∴$D(4,\frac{1}{3})$。
∵DE平行于y轴，即直线DE为$x=4$，将$x=4$代入$y=\frac{18}{x}$，得$y=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$，
∴$E(4,\frac{9}{2})$，
∴$DE=\frac{9}{2}-\frac{1}{3}=\frac{25}{6}$，
点C到直线$DE$（$x=4$）的距离为4，
∴$S_{△ DEC}=\frac{1}{2}× DE × 4=\frac{1}{2}×\frac{25}{6}×4=\frac{25}{3}$。
(1) 把点$A(m,2)$代入一次函数$y=\frac{1}{3}x-1$，得：
$2=\frac{1}{3}m -1$
解得$m=9$，
∴点A的坐标为$(9,2)$，
将$A(9,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$2=\frac{k}{9}$，解得$k=18$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{18}{x}$。
(2) 两个函数的交点横坐标分别为$-6$和$9$，
观察图象，不等式$\frac{1}{3}x-1＞\frac{k}{x}$的解集是$-6＜x＜0$或$x＞9$。
(3) 在$y=\frac{1}{3}x-1$中，令$x=0$，得$y=-1$，
∴点C的坐标为$(0,-1)$。
∵点D的横坐标为4，代入$y=\frac{1}{3}x-1$，得$y=\frac{1}{3}×4 -1=\frac{1}{3}$，
∴$D(4,\frac{1}{3})$。
∵DE平行于y轴，即直线DE为$x=4$，将$x=4$代入$y=\frac{18}{x}$，得$y=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$，
∴$E(4,\frac{9}{2})$，
∴$DE=\frac{9}{2}-\frac{1}{3}=\frac{25}{6}$，
点C到直线$DE$（$x=4$）的距离为4，
∴$S_{△ DEC}=\frac{1}{2}× DE × 4=\frac{1}{2}×\frac{25}{6}×4=\frac{25}{3}$。
解析
【分析】
(1) 已知点A在一次函数图象上，将A(m,2)代入一次函数解析式即可求出m的值，得到点A的完整坐标后，再代入反比例函数解析式即可求出k的值，进而得到反比例函数解析式。
(2) 不等式$\frac{1}{3}x-1＞\frac{k}{x}$的几何意义是一次函数图象位于反比例函数图象上方时对应x的取值范围，结合已知的两个交点横坐标，注意反比例函数自变量x≠0，分区间判断即可得到解集。
(3) 先求一次函数与y轴交点C的坐标；再将D点横坐标代入一次函数求出D点坐标，由DE平行y轴可知E点横坐标与D点相同，代入反比例函数求出E点坐标，计算DE的长度作为三角形的底，点C到直线DE的水平距离作为高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 把点$A(m,2)$代入一次函数$y=\frac{1}{3}x-1$，得：
$2=\frac{1}{3}m -1$
解得$m=9$，
∴点A的坐标为$(9,2)$，
将$A(9,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$2=\frac{k}{9}$，解得$k=18$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{18}{x}$。
(2) 两个函数的交点横坐标分别为$-6$和$9$，反比例函数自变量$x≠0$，
观察图象，一次函数图象在反比例函数图象上方的区间为$-6＜x＜0$或$x＞9$，
即不等式$\frac{1}{3}x-1＞\frac{k}{x}$的解集是$-6＜x＜0$或$x＞9$。
(3) 在$y=\frac{1}{3}x-1$中，令$x=0$，得$y=-1$，
∴点C的坐标为$(0,-1)$。
∵点D的横坐标为4，代入$y=\frac{1}{3}x-1$，得$y=\frac{1}{3}×4 -1=\frac{1}{3}$，
∴$D(4,\frac{1}{3})$。
∵DE平行于y轴，即直线DE为$x=4$，将$x=4$代入$y=\frac{18}{x}$，得$y=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$，
∴$E(4,\frac{9}{2})$，
∴$DE=\frac{9}{2}-\frac{1}{3}=\frac{25}{6}$，
点C到直线$DE$（$x=4$）的距离为4，
∴$S_{△ DEC}=\frac{1}{2}× DE × 4=\frac{1}{2}×\frac{25}{6}×4=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1) $m=9$，反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{18}{x}}$；
(2) 不等式的解集为$\boldsymbol{-6＜x＜0}$或$\boldsymbol{x＞9}$；
(3) $△ DEC$的面积为$\boldsymbol{\frac{25}{3}}$。
【知识点】
1. 一次函数与反比例函数综合
2. 函数不等式的图象求解
3. 坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题，考查了待定系数法求函数解析式、数形结合解函数不等式、平面直角坐标系下图形面积的计算，解题时要注意反比例函数自变量不能为0，避免漏写解集的限制条件，计算面积时准确确定底和高即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 已知点A在一次函数图象上，将A(m,2)代入一次函数解析式即可求出m的值，得到点A的完整坐标后，再代入反比例函数解析式即可求出k的值，进而得到反比例函数解析式。
(2) 不等式$\frac{1}{3}x-1＞\frac{k}{x}$的几何意义是一次函数图象位于反比例函数图象上方时对应x的取值范围，结合已知的两个交点横坐标，注意反比例函数自变量x≠0，分区间判断即可得到解集。
(3) 先求一次函数与y轴交点C的坐标；再将D点横坐标代入一次函数求出D点坐标，由DE平行y轴可知E点横坐标与D点相同，代入反比例函数求出E点坐标，计算DE的长度作为三角形的底，点C到直线DE的水平距离作为高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 把点$A(m,2)$代入一次函数$y=\frac{1}{3}x-1$，得：
$2=\frac{1}{3}m -1$
解得$m=9$，
∴点A的坐标为$(9,2)$，
将$A(9,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$2=\frac{k}{9}$，解得$k=18$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{18}{x}$。
(2) 两个函数的交点横坐标分别为$-6$和$9$，反比例函数自变量$x≠0$，
观察图象，一次函数图象在反比例函数图象上方的区间为$-6＜x＜0$或$x＞9$，
即不等式$\frac{1}{3}x-1＞\frac{k}{x}$的解集是$-6＜x＜0$或$x＞9$。
(3) 在$y=\frac{1}{3}x-1$中，令$x=0$，得$y=-1$，
∴点C的坐标为$(0,-1)$。
∵点D的横坐标为4，代入$y=\frac{1}{3}x-1$，得$y=\frac{1}{3}×4 -1=\frac{1}{3}$，
∴$D(4,\frac{1}{3})$。
∵DE平行于y轴，即直线DE为$x=4$，将$x=4$代入$y=\frac{18}{x}$，得$y=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$，
∴$E(4,\frac{9}{2})$，
∴$DE=\frac{9}{2}-\frac{1}{3}=\frac{25}{6}$，
点C到直线$DE$（$x=4$）的距离为4，
∴$S_{△ DEC}=\frac{1}{2}× DE × 4=\frac{1}{2}×\frac{25}{6}×4=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1) $m=9$，反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{18}{x}}$；
(2) 不等式的解集为$\boldsymbol{-6＜x＜0}$或$\boldsymbol{x＞9}$；
(3) $△ DEC$的面积为$\boldsymbol{\frac{25}{3}}$。
【知识点】
1. 一次函数与反比例函数综合
2. 函数不等式的图象求解
3. 坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题，考查了待定系数法求函数解析式、数形结合解函数不等式、平面直角坐标系下图形面积的计算，解题时要注意反比例函数自变量不能为0，避免漏写解集的限制条件，计算面积时准确确定底和高即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
