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9.如图，$\odot O$与$PA$，$PB$分别相切于点$A$，$B$，点$C$在优弧$\overset{\frown}{AB}$上.若$∠ P=50°$，则$∠ ACB$的大小为（）
A.$130°$
B.$115°$
C.$65°$
D.$50°$
A.$130°$
B.$115°$
C.$65°$
D.$50°$
答案
解析
【分析】
遇到圆的切线相关问题，优先利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此先连接OA、OB得到两个直角。再根据四边形内角和为360°，结合已知的∠P=50°，计算出劣弧$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角∠AOB的度数。最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠ACB的大小。
【解析】
1. 连接$OA$、$OB$
∵$PA$、$PB$是$\odot O$的切线，$A$、$B$为切点
∴$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
2. 在四边形$OAPB$中，内角和为$360°$
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-50°=130°$
3.
∵$∠ ACB$是劣弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$∠ AOB$是劣弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角
根据圆周角定理：$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×130°=65°$
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心解题思路是通过连接过切点的半径构造直角，再结合内角和公式与圆周角定理求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线相关问题，优先利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此先连接OA、OB得到两个直角。再根据四边形内角和为360°，结合已知的∠P=50°，计算出劣弧$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角∠AOB的度数。最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠ACB的大小。
【解析】
1. 连接$OA$、$OB$
∵$PA$、$PB$是$\odot O$的切线，$A$、$B$为切点
∴$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
2. 在四边形$OAPB$中，内角和为$360°$
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-50°=130°$
3.
∵$∠ ACB$是劣弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$∠ AOB$是劣弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角
根据圆周角定理：$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×130°=65°$
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心解题思路是通过连接过切点的半径构造直角，再结合内角和公式与圆周角定理求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在平面直角坐标系中,$Rt△ OAB$的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的坐标为$(3,\sqrt{3})$,点C的坐标为$(1,0)$,且$∠ AOB=30°$,点P为斜边OB上的一个动点,则$PA+PC$的最小值为 ()
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{11}$
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{11}$
答案
解析
【分析】本题为平面直角坐标系中的最短路径最值问题，对应“将军饮马”模型，解题思路可按以下步骤展开：1. 识别模型：动点P在定直线OB上，求PA+PC的最小值，两个定点A、C在OB同侧，符合轴对称最短路径模型特征；2. 转化路径：作其中一个定点关于直线OB的对称点，利用轴对称的性质可将PA转化为对称点到P的距离，此时PA+PC的最小值就等于对称点到另一个定点的线段长度（两点之间线段最短）；3. 计算长度：求出对称点坐标后，用两点间距离公式计算线段长度即可得到结果。
【解析】
解：
1. 确定点A坐标：
∵Rt△OAB的顶点A在x轴正半轴上，B点坐标为$(3,\sqrt{3})$，AB垂直于x轴，
∴A点坐标为$(3,0)$，$OA=3$。
2. 构造最短路径：
作点A关于直线OB的对称点$A'$，连接$A'C$，交OB于点P，根据轴对称性质得$PA=PA'$，此时$PA+PC=PA'+PC=A'C$，即为最小值。
3. 求$A'$的坐标：
已知$∠AOB=30°$，由轴对称性质可得$OA'=OA=3$，$∠A'OB=∠AOB=30°$，
∴$∠A'OA=∠A'OB+∠AOB=60°$。
根据三角函数定义：
$A'$的横坐标为$OA'·\cos60°=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
$A'$的纵坐标为$OA'·\sin60°=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
即$A'(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2})$。
4. 计算$A'C$的长度：
已知C点坐标为$(1,0)$，根据两点间距离公式：
$A'C=\sqrt{(\frac{3}{2}-1)^2+(\frac{3\sqrt{3}}{2}-0)^2}=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{27}{4}}=\sqrt{7}$。
【答案】C
【知识点】轴对称最短路径，两点间距离公式，轴对称的性质
【点评】本题是几何最值与平面直角坐标系结合的典型题型，解题核心是熟练掌握将军饮马模型的构造方法，结合三角函数和坐标运算即可求解，需要注意对称点坐标的计算不要出错。
【难度系数】0.6
【解析】
解：
1. 确定点A坐标：
∵Rt△OAB的顶点A在x轴正半轴上，B点坐标为$(3,\sqrt{3})$，AB垂直于x轴，
∴A点坐标为$(3,0)$，$OA=3$。
2. 构造最短路径：
作点A关于直线OB的对称点$A'$，连接$A'C$，交OB于点P，根据轴对称性质得$PA=PA'$，此时$PA+PC=PA'+PC=A'C$，即为最小值。
3. 求$A'$的坐标：
已知$∠AOB=30°$，由轴对称性质可得$OA'=OA=3$，$∠A'OB=∠AOB=30°$，
∴$∠A'OA=∠A'OB+∠AOB=60°$。
根据三角函数定义：
$A'$的横坐标为$OA'·\cos60°=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
$A'$的纵坐标为$OA'·\sin60°=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
即$A'(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2})$。
4. 计算$A'C$的长度：
已知C点坐标为$(1,0)$，根据两点间距离公式：
$A'C=\sqrt{(\frac{3}{2}-1)^2+(\frac{3\sqrt{3}}{2}-0)^2}=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{27}{4}}=\sqrt{7}$。
【答案】C
【知识点】轴对称最短路径，两点间距离公式，轴对称的性质
【点评】本题是几何最值与平面直角坐标系结合的典型题型，解题核心是熟练掌握将军饮马模型的构造方法，结合三角函数和坐标运算即可求解，需要注意对称点坐标的计算不要出错。
【难度系数】0.6
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.在平面直角坐标系中,点$M(1,-2)$关于原点的对称点的坐标是.
11.在平面直角坐标系中,点$M(1,-2)$关于原点的对称点的坐标是.
答案
解析
【分析】
要解决本题，首先需要回忆平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们只需将已知点的横坐标和纵坐标分别取相反数，即可得到对应对称点的坐标。
【解析】
设点$M(1,-2)$关于原点的对称点为$M'$，根据关于原点对称的点的坐标规律：若点$P(x,y)$关于原点对称的点为$P'$，则$P'$的坐标为$(-x,-y)$。
将$x=1$，$y=-2$代入规律可得：
对称点的横坐标为$-1×1=-1$，纵坐标为$-1×(-2)=2$，因此对称点的坐标为$(-1,2)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-1,2)}$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是考查对称点的坐标变化规律，熟练掌握不同对称方式（原点、x轴、y轴）对应的坐标变化规则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需要回忆平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们只需将已知点的横坐标和纵坐标分别取相反数，即可得到对应对称点的坐标。
【解析】
设点$M(1,-2)$关于原点的对称点为$M'$，根据关于原点对称的点的坐标规律：若点$P(x,y)$关于原点对称的点为$P'$，则$P'$的坐标为$(-x,-y)$。
将$x=1$，$y=-2$代入规律可得：
对称点的横坐标为$-1×1=-1$，纵坐标为$-1×(-2)=2$，因此对称点的坐标为$(-1,2)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-1,2)}$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是考查对称点的坐标变化规律，熟练掌握不同对称方式（原点、x轴、y轴）对应的坐标变化规则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
12. 如图，A为反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上的一点，$AB⊥ x$轴，$AC⊥ y$轴，垂足分别为B，C。若四边形OCAB的面积为6，则k的值为。
第12小题图
第13小题图
第14小题图
第12小题图
第13小题图
第14小题图
答案
$\boldsymbol{-6}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先判断四边形形状：由AB⊥x轴、AC⊥y轴，结合x轴与y轴互相垂直，可得四边形OCAB是矩形；2. 联系反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x、y轴作垂线，围成的矩形面积等于|k|，由此可得|k|=四边形OCAB的面积=6；3. 结合图象判断k的符号：由x＞0时点A的纵坐标为负，可得k=xy＜0，最终确定k的取值。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$xy=k$。
∵$AB⊥x$轴，$AC⊥y$轴，且x轴与y轴互相垂直，
∴四边形OCAB为矩形，
矩形OCAB的面积$=OB· OC=|x|·|y|=|xy|=|k|$。
已知四边形OCAB的面积为6，
∴$|k|=6$，解得$k=6$或$k=-6$。
结合图象可知，当$x＞0$时，点A的纵坐标$y＜0$，
∴$k=xy＜0$，故$k=-6$。
【答案】
$\boldsymbol{-6}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形的面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查反比例函数中k的几何意义的应用，解题时需注意结合图象判断k的正负，避免因忽略符号导致失分。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先判断四边形形状：由AB⊥x轴、AC⊥y轴，结合x轴与y轴互相垂直，可得四边形OCAB是矩形；2. 联系反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x、y轴作垂线，围成的矩形面积等于|k|，由此可得|k|=四边形OCAB的面积=6；3. 结合图象判断k的符号：由x＞0时点A的纵坐标为负，可得k=xy＜0，最终确定k的取值。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$xy=k$。
∵$AB⊥x$轴，$AC⊥y$轴，且x轴与y轴互相垂直，
∴四边形OCAB为矩形，
矩形OCAB的面积$=OB· OC=|x|·|y|=|xy|=|k|$。
已知四边形OCAB的面积为6，
∴$|k|=6$，解得$k=6$或$k=-6$。
结合图象可知，当$x＞0$时，点A的纵坐标$y＜0$，
∴$k=xy＜0$，故$k=-6$。
【答案】
$\boldsymbol{-6}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形的面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查反比例函数中k的几何意义的应用，解题时需注意结合图象判断k的正负，避免因忽略符号导致失分。
【难度系数】
0.7
13.如图,在某年某月的日历表上用一个方框圈出4个数.若圈出的4个数中,最小数与最大数的乘积为513,则这个最小数为.
答案
解：设这个最小数为$x$，根据日历中2×2方框圈出的数的规律，可得最大数为$x+8$。
根据题意列方程：
$x(x+8)=513$
整理得：
$x^2 + 8x - 513 = 0$
解得：$x_1=19$，$x_2=-27$。
由于日历中的日期为正整数，$x=-27$不符合实际意义，舍去。
所以这个最小数为$\boldsymbol{19}$。
根据题意列方程：
$x(x+8)=513$
整理得：
$x^2 + 8x - 513 = 0$
解得：$x_1=19$，$x_2=-27$。
由于日历中的日期为正整数，$x=-27$不符合实际意义，舍去。
所以这个最小数为$\boldsymbol{19}$。
解析
【分析】
解题时首先思考日历中2×2方框圈出数字的规律：日历里同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7，因此方框内最小数是左上角的数时，右下角的最大数比最小数多1+7=8。接着根据题目给出的“最小数与最大数的乘积为513”这一条件，设最小数为未知数列一元二次方程，解方程后结合日历日期为正整数的实际要求舍去不符合的根，即可得到结果。
【解析】
设这个最小数为$x$，根据日历中2×2方框圈出的数的规律，可得最大数为$x+8$。
根据题意列方程：
$x(x+8)=513$
整理得：
$x^2 + 8x - 513 = 0$
因式分解得$(x+27)(x-19)=0$
解得：$x_1=19$，$x_2=-27$。
由于日历中的日期为正整数，$x=-27$不符合实际意义，舍去。
所以这个最小数为19。
【答案】
$\boldsymbol{19}$
【知识点】
1.日历数字规律
2.一元二次方程的应用
3.一元二次方程的解法
【点评】
本题结合生活中常见的日历场景出题，属于方程实际应用类基础题，解题的核心是准确提炼出方框内数字的数量关系，求解后要注意结合实际情景对根进行合理性检验，注重考察基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先思考日历中2×2方框圈出数字的规律：日历里同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7，因此方框内最小数是左上角的数时，右下角的最大数比最小数多1+7=8。接着根据题目给出的“最小数与最大数的乘积为513”这一条件，设最小数为未知数列一元二次方程，解方程后结合日历日期为正整数的实际要求舍去不符合的根，即可得到结果。
【解析】
设这个最小数为$x$，根据日历中2×2方框圈出的数的规律，可得最大数为$x+8$。
根据题意列方程：
$x(x+8)=513$
整理得：
$x^2 + 8x - 513 = 0$
因式分解得$(x+27)(x-19)=0$
解得：$x_1=19$，$x_2=-27$。
由于日历中的日期为正整数，$x=-27$不符合实际意义，舍去。
所以这个最小数为19。
【答案】
$\boldsymbol{19}$
【知识点】
1.日历数字规律
2.一元二次方程的应用
3.一元二次方程的解法
【点评】
本题结合生活中常见的日历场景出题，属于方程实际应用类基础题，解题的核心是准确提炼出方框内数字的数量关系，求解后要注意结合实际情景对根进行合理性检验，注重考察基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
14. 如图，一把打开的雨伞可近似地看成一个圆锥，伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）末端各点所在圆的直径AC长为12分米，伞骨AB长为9分米，那么制作这样的一把雨伞至少需要绸布面料平方分米。
答案
$\boldsymbol{54π}$
解析
【分析】
要计算制作雨伞需要的绸布面积，实际就是求该圆锥的侧面积。解题思路如下：第一步，根据给出的底面圆直径求出底面半径；第二步，明确伞骨长度就是圆锥的母线长；第三步，代入圆锥侧面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意可知，所需绸布面料的面积为圆锥的侧面积。
1. 求圆锥底面半径：
已知底面圆直径AC=12分米，因此底面半径$r=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6$分米。
2. 确定圆锥母线长：
伞骨AB的长就是圆锥的母线长，即$l=AB=9$分米。
3. 计算圆锥侧面积：
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=πrl$，代入数值可得：
$S_{侧}=π×6×9=54π$（平方分米）
【答案】
$54π$
【知识点】
圆锥侧面积计算；圆的直径与半径关系
【点评】
本题结合生活场景考查几何公式的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为数学中的圆锥侧面积计算问题，准确提取对应参数代入公式即可求解，侧重对基础公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
要计算制作雨伞需要的绸布面积，实际就是求该圆锥的侧面积。解题思路如下：第一步，根据给出的底面圆直径求出底面半径；第二步，明确伞骨长度就是圆锥的母线长；第三步，代入圆锥侧面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意可知，所需绸布面料的面积为圆锥的侧面积。
1. 求圆锥底面半径：
已知底面圆直径AC=12分米，因此底面半径$r=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6$分米。
2. 确定圆锥母线长：
伞骨AB的长就是圆锥的母线长，即$l=AB=9$分米。
3. 计算圆锥侧面积：
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=πrl$，代入数值可得：
$S_{侧}=π×6×9=54π$（平方分米）
【答案】
$54π$
【知识点】
圆锥侧面积计算；圆的直径与半径关系
【点评】
本题结合生活场景考查几何公式的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为数学中的圆锥侧面积计算问题，准确提取对应参数代入公式即可求解，侧重对基础公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
15. 关于二次函数$y=2x^2 - mx + m - 2$（$m$为常数）的结论：①该函数的图象与$x$轴总有公共点；②不论$m$为何值，该函数图象必经过一个定点；③若该函数的图象与$x$轴交于$A,B$两点，且$AB＞1$，则$m＞6$；④若$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，则$m≤4$。其中说法正确的是。
答案
解析
【分析】我们逐个分析4个结论：1.判断函数图象与x轴的公共点，只需计算判别式Δ，若Δ≥0则总有公共点；2.找恒过定点，将含参数m的项合并，令m的系数为0即可求出定点坐标验证；3.求AB长度可利用韦达定理推导两根差的绝对值公式，解不等式判断结论是否正确；4.二次函数开口向上时，对称轴右侧y随x增大而增大，据此列不等式求m的范围即可判断。
【解析】
①计算判别式：$\Delta = (-m)^2 - 4×2×(m-2) = m^2 -8m +16 = (m-4)^2 ≥0$，因此该函数图象与x轴总有公共点，①正确；
②将函数变形为$y=2x^2 -2 + m(1-x)$，令$1-x=0$即$x=1$，代入得$y=2×1^2 -2 +0=0$，因此无论m取何值，函数图象恒过定点$(1,0)$，②正确；
③设$A(x_1,0)$，$B(x_2,0)$，由韦达定理得$x_1+x_2=\frac{m}{2}$，$x_1x_2=\frac{m-2}{2}$，则$AB=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{(\frac{m}{2})^2 -4×\frac{m-2}{2}}=\frac{|m-4|}{2}$。若$AB＞1$，则$\frac{|m-4|}{2}＞1$，即$|m-4|＞2$，解得$m＞6$或$m＜2$，并非只有$m＞6$，③错误；
④二次函数开口向上，对称轴为$x=\frac{m}{2×2}=\frac{m}{4}$，若$x＞1$时y随x的增大而增大，则对称轴需在$x=1$左侧或与$x=1$重合，即$\frac{m}{4}≤1$，解得$m≤4$，④正确。
【答案】①②④
【知识点】二次函数的性质；二次函数与一元二次方程；韦达定理应用
【点评】本题综合考查二次函数的核心性质，需要熟练掌握判别式、对称轴、韦达定理的应用，其中恒过定点的解题技巧是将含参数的项合并，令参数的系数为0，是二次函数的常考题型。
【难度系数】0.6
【解析】
①计算判别式：$\Delta = (-m)^2 - 4×2×(m-2) = m^2 -8m +16 = (m-4)^2 ≥0$，因此该函数图象与x轴总有公共点，①正确；
②将函数变形为$y=2x^2 -2 + m(1-x)$，令$1-x=0$即$x=1$，代入得$y=2×1^2 -2 +0=0$，因此无论m取何值，函数图象恒过定点$(1,0)$，②正确；
③设$A(x_1,0)$，$B(x_2,0)$，由韦达定理得$x_1+x_2=\frac{m}{2}$，$x_1x_2=\frac{m-2}{2}$，则$AB=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{(\frac{m}{2})^2 -4×\frac{m-2}{2}}=\frac{|m-4|}{2}$。若$AB＞1$，则$\frac{|m-4|}{2}＞1$，即$|m-4|＞2$，解得$m＞6$或$m＜2$，并非只有$m＞6$，③错误；
④二次函数开口向上，对称轴为$x=\frac{m}{2×2}=\frac{m}{4}$，若$x＞1$时y随x的增大而增大，则对称轴需在$x=1$左侧或与$x=1$重合，即$\frac{m}{4}≤1$，解得$m≤4$，④正确。
【答案】①②④
【知识点】二次函数的性质；二次函数与一元二次方程；韦达定理应用
【点评】本题综合考查二次函数的核心性质，需要熟练掌握判别式、对称轴、韦达定理的应用，其中恒过定点的解题技巧是将含参数的项合并，令参数的系数为0，是二次函数的常考题型。
【难度系数】0.6
