典例3 如图, 在$△ ABC$中, $AB=3$, $AC=\dfrac{9}{4}$, $D$是$BC$边上的一点, $AD=BD=2DC$, 设$△ ABD$与$△ ACD$的内切圆半径分别为$r_1$, $r_2$, 则$\dfrac{r_1}{r_2}=(\quad)$.


A.$2$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$

典例3 答案 C
解析 设$DC=x$,则$BD=AD=2x$.
$\because △ ABD$和$△ ACD$同高,
$\therefore S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=BD:CD=2$.
$\because C_{△ ABD}=AB+BD+AD$,$C_{△ ACD}=AC+DC+AD$,
$\therefore \frac{1}{2}C_{△ ABD}=\frac{3}{2}+2x$,$\frac{1}{2}C_{△ ACD}=\frac{3}{4}(\frac{3}{2}+2x)$,
$\therefore \frac{C_{△ ABD}}{C_{△ ACD}}=\frac{4}{3}$.
$\because S_{△ ABD}=\frac{1}{2} · C_{△ ABD} · r_1$,$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} · C_{△ ACD} · r_2$,
$\therefore \frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{C_{△ ABD} · r_1}{C_{△ ACD} · r_2}=\frac{4 · r_1}{3 · r_2}=2$,
整理,得$4r_1=6r_2$,$\frac{r_1}{r_2}=\frac{3}{2}$,故选 C.

典例4 如图,六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形,连接OA,OB.

(1)$∠ AOB$的度数为.
(2)若正六边形ABCDEF的边心距为$2\sqrt{3}$,求图中阴影部分的周长(结果保留$π$).

典例4 解 (1) $60°$
(2) 如图, 过点 $O$ 作 $OP ⊥ AB$ 于点 $P$, 则 $OP=2\sqrt{3}$.
$\because OA = OB$, $∠ AOB=60°$,
$\therefore △ OAB$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ AOP=30°$,
$\therefore OA=2AP$.
在 $\mathrm{Rt}△ OAP$ 中, 由勾股定理, 得 $OA^2=AP^2+OP^2$, 即 $(2AP)^2=AP^2+(2\sqrt{3})^2$,
解得 $AP=2$(负值舍去),
$\therefore OA=2AP=4$,
$\therefore AB=4$.
$\because \overset{\frown}{AB}$ 的长为 $\frac{60 · π · 4}{180}=\frac{4π}{3}$,
$\therefore$ 阴影部分的周长为 $\frac{4π}{3}+4$.