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典例1 如图,在下列四个说法中,正确的是(
A.$∠ACE$ 是$△ ABC$ 的外角
B.$∠ECD$ 是$△ ABC$ 的外角
C.$∠DCF$ 是$△ ABC$ 的外角
D.$∠ACD$ 是$△ ABC$ 的外角
规律方法 三角形外角的特点:(1)顶点在三角形的一个顶点上;(2)一条边是三角形内角的一边;(3)另一条边是该三角形内角的另一边的反向延长线.
举一反三 一个三角形共有
D
).A.$∠ACE$ 是$△ ABC$ 的外角
B.$∠ECD$ 是$△ ABC$ 的外角
C.$∠DCF$ 是$△ ABC$ 的外角
D.$∠ACD$ 是$△ ABC$ 的外角
规律方法 三角形外角的特点:(1)顶点在三角形的一个顶点上;(2)一条边是三角形内角的一边;(3)另一条边是该三角形内角的另一边的反向延长线.
举一反三 一个三角形共有
6
个外角.答案
典例1 答案 D
解析 根据三角形外角的定义，$∠ ACD$，$∠ BCF$是$△ ABC$的外角.
1. 举一反三 6
解析 根据三角形外角的定义，$∠ ACD$，$∠ BCF$是$△ ABC$的外角.
1. 举一反三 6
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形外角的定义及三个特征：①顶点是三角形的一个顶点；②一条边是三角形内角的一条边；③另一条边是该内角另一边的反向延长线。接下来逐一比对四个选项中的角是否同时满足以上三个特征，即可选出正确选项；对于举一反三的问题，每个三角形的顶点处可形成2个外角，结合三角形有3个顶点，相乘即可得到外角总数量。
【解析】
首先明确三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做三角形的外角。
对各选项逐一判断：
选项A：∠ACE的边CE不是△ABC任意内角另一边的反向延长线，不符合外角定义，错误；
选项B：∠ECD的两条边均不是△ABC的边，不符合外角定义，错误；
选项C：∠DCF的两条边都不属于△ABC的边，不符合外角定义，错误；
选项D：∠ACD的顶点C是△ABC的顶点，边AC是△ABC的边，边CD是BC的反向延长线，符合三角形外角的定义，正确。
举一反三：三角形每个顶点处有2个互为对顶角的外角，三角形共有3个顶点，因此总共有$3×2=6$个外角。
【答案】
典例1：D；举一反三：6
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是抓住三角形外角的三个特征进行判断，熟记概念即可快速解题，需要注意不要把顶点不在三角形上、边不符合要求的角误认为是三角形的外角。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形外角的定义及三个特征：①顶点是三角形的一个顶点；②一条边是三角形内角的一条边；③另一条边是该内角另一边的反向延长线。接下来逐一比对四个选项中的角是否同时满足以上三个特征，即可选出正确选项；对于举一反三的问题，每个三角形的顶点处可形成2个外角，结合三角形有3个顶点，相乘即可得到外角总数量。
【解析】
首先明确三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做三角形的外角。
对各选项逐一判断：
选项A：∠ACE的边CE不是△ABC任意内角另一边的反向延长线，不符合外角定义，错误；
选项B：∠ECD的两条边均不是△ABC的边，不符合外角定义，错误；
选项C：∠DCF的两条边都不属于△ABC的边，不符合外角定义，错误；
选项D：∠ACD的顶点C是△ABC的顶点，边AC是△ABC的边，边CD是BC的反向延长线，符合三角形外角的定义，正确。
举一反三：三角形每个顶点处有2个互为对顶角的外角，三角形共有3个顶点，因此总共有$3×2=6$个外角。
【答案】
典例1：D；举一反三：6
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是抓住三角形外角的三个特征进行判断，熟记概念即可快速解题，需要注意不要把顶点不在三角形上、边不符合要求的角误认为是三角形的外角。
【难度系数】
0.8
2. 三角形外角推论的运用
典例2 如图，CE平分$△ ABC$的外角$∠ ACD$，且CE交BA的延长线于点E.若$∠ B＝30°$，$∠ ACB＝40°$，求$∠ E$的度数.
总结归纳 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，主要有以下几方面的应用：(1)已知外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个内角的大小；(2)证明一个角等于另两个角的和；(3)证明两个角相等.
举一反三 李叔叔要检查一个零件的合格情况，在零件示意图中，规定$∠ A＝90°$，$∠ B＝34°$，$∠ C＝18°$合格.李叔叔量得$∠ BDC＝146°$，请你帮助李叔叔判断这个零件是否合格，并说明理由.
典例解析
典例1
答案 D
解析 根据三角形外角的定义，$∠ ACD$，$∠ BCF$是$△ ABC$的外角.
典例2
解 $\because ∠ ACB＝40°$，
$\therefore ∠ ACD＝180° - 40°＝140°$.
$\because CE$平分$△ ABC$的外角$∠ ACD$，
$\therefore ∠ ECD＝\frac{1}{2}∠ ACD＝70°$，
$\therefore ∠ E＝∠ ECD - ∠ B＝70° - 30°＝40°$.
典例2 如图，CE平分$△ ABC$的外角$∠ ACD$，且CE交BA的延长线于点E.若$∠ B＝30°$，$∠ ACB＝40°$，求$∠ E$的度数.
总结归纳 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，主要有以下几方面的应用：(1)已知外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个内角的大小；(2)证明一个角等于另两个角的和；(3)证明两个角相等.
举一反三 李叔叔要检查一个零件的合格情况，在零件示意图中，规定$∠ A＝90°$，$∠ B＝34°$，$∠ C＝18°$合格.李叔叔量得$∠ BDC＝146°$，请你帮助李叔叔判断这个零件是否合格，并说明理由.
典例解析
典例1
答案 D
解析 根据三角形外角的定义，$∠ ACD$，$∠ BCF$是$△ ABC$的外角.
典例2
解 $\because ∠ ACB＝40°$，
$\therefore ∠ ACD＝180° - 40°＝140°$.
$\because CE$平分$△ ABC$的外角$∠ ACD$，
$\therefore ∠ ECD＝\frac{1}{2}∠ ACD＝70°$，
$\therefore ∠ E＝∠ ECD - ∠ B＝70° - 30°＝40°$.
答案
典例2 解 $\because ∠ ACB＝40°$，
$\therefore ∠ ACD＝180° - 40°＝140°$.
$\because CE$平分$△ ABC$的外角$∠ ACD$，
$\therefore ∠ ECD＝\frac{1}{2}∠ ACD＝70°$，
$\therefore ∠ E＝∠ ECD - ∠ B＝70° - 30°＝40°$.
2. 举一反三 不合格. 理由: 如图
,连接AD并延长，由图知,$∠1=∠B+∠BAD,∠2=∠C+∠CAD,∠BDC=∠1+∠2$,
$\because ∠CAB=90°,∠B=34°,∠C=18°$,
$\therefore ∠BDC=∠B+∠BAD+∠DAC+∠C$
$=∠B+∠BAC+∠C$
$=34°+90°+18°$
$=142°$.
$\because 146°≠142°$,
$\therefore$ 这个零件不合格.
解析
【分析】
1. 典例2解题思路：要求∠E的度数，观察图形可知∠ECD是△BCE的外角，根据三角形外角性质，∠ECD=∠B+∠E，因此只需先求出∠ECD的度数即可推导∠E。首先根据邻补角和为180°，结合已知∠ACB的度数算出外角∠ACD的度数，再利用CE是∠ACD的角平分线求出∠ECD的度数，最后代入外角公式作差即可得到∠E。
2. 举一反三解题思路：要判断零件是否合格，需先计算合格状态下∠BDC的标准度数，再和测量值146°对比。可通过作辅助线连接AD并延长，将∠BDC拆分为两个三角形的外角之和，利用三角形外角性质推导得出∠BDC=∠B+∠BAC+∠C，代入已知角度算出标准值，和测量值比较即可判断是否合格。
【解析】
典例2解析
$\because ∠ACB＝40°$，$∠ACB$与$∠ACD$为邻补角
$\therefore ∠ACD＝180° - ∠ACB=180°-40°＝140°$
$\because CE$平分$△ABC$的外角$∠ACD$，根据角平分线定义
$\therefore ∠ECD＝\frac{1}{2}∠ACD＝\frac{1}{2}×140°=70°$
又$\because ∠ECD$是$△BCE$的外角，根据三角形外角性质：外角等于与它不相邻的两个内角之和
$\therefore ∠ECD=∠B+∠E$
$\therefore ∠E＝∠ECD - ∠B＝70° - 30°＝40°$
举一反解析
连接AD并延长，如图：
根据三角形外角性质可得：
$∠1$是$△ ABD$的外角，故$∠1=∠B+∠BAD$
$∠2$是$△ ACD$的外角，故$∠2=∠C+∠CAD$
而$∠BDC=∠1+∠2$
$\therefore ∠BDC=∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=∠B+∠BAC+∠C$
已知合格标准为$∠BAC＝90°$，$∠B＝34°$，$∠C＝18°$，代入得：
$∠BDC=34°+90°+18°=142°$
$\because $ 测量得到的$∠BDC=146°≠142°$
$\therefore $ 这个零件不合格。
【答案】
典例2答案：$\boldsymbol{∠E=40°}$
举一反三答案：不合格，理由如下：
如图,连接AD并延长，
由图知,$∠1=∠B+∠BAD,∠2=∠C+∠CAD,∠BDC=∠1+∠2$,
$\because ∠CAB=90°,∠B=34°,∠C=18°$,
$\therefore ∠BDC=∠B+∠BAD+∠DAC+∠C$
$=∠B+∠BAC+∠C$
$=34°+90°+18°$
$=142°$.
$\because 146°≠142°$,
$\therefore$ 这个零件不合格.
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
这两道题都是三角形外角推论的典型应用，解题核心是灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”建立已知角和待求角的关系。其中举一反三的题型需要构造辅助线拆分角度，将所求角转化为多个外角之和，能够帮助学生加深对外角性质的理解，提升角度转化的解题思维。
【难度系数】
0.7
1. 典例2解题思路：要求∠E的度数，观察图形可知∠ECD是△BCE的外角，根据三角形外角性质，∠ECD=∠B+∠E，因此只需先求出∠ECD的度数即可推导∠E。首先根据邻补角和为180°，结合已知∠ACB的度数算出外角∠ACD的度数，再利用CE是∠ACD的角平分线求出∠ECD的度数，最后代入外角公式作差即可得到∠E。
2. 举一反三解题思路：要判断零件是否合格，需先计算合格状态下∠BDC的标准度数，再和测量值146°对比。可通过作辅助线连接AD并延长，将∠BDC拆分为两个三角形的外角之和，利用三角形外角性质推导得出∠BDC=∠B+∠BAC+∠C，代入已知角度算出标准值，和测量值比较即可判断是否合格。
【解析】
典例2解析
$\because ∠ACB＝40°$，$∠ACB$与$∠ACD$为邻补角
$\therefore ∠ACD＝180° - ∠ACB=180°-40°＝140°$
$\because CE$平分$△ABC$的外角$∠ACD$，根据角平分线定义
$\therefore ∠ECD＝\frac{1}{2}∠ACD＝\frac{1}{2}×140°=70°$
又$\because ∠ECD$是$△BCE$的外角，根据三角形外角性质：外角等于与它不相邻的两个内角之和
$\therefore ∠ECD=∠B+∠E$
$\therefore ∠E＝∠ECD - ∠B＝70° - 30°＝40°$
举一反解析
连接AD并延长，如图
：根据三角形外角性质可得：
$∠1$是$△ ABD$的外角，故$∠1=∠B+∠BAD$
$∠2$是$△ ACD$的外角，故$∠2=∠C+∠CAD$
而$∠BDC=∠1+∠2$
$\therefore ∠BDC=∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=∠B+∠BAC+∠C$
已知合格标准为$∠BAC＝90°$，$∠B＝34°$，$∠C＝18°$，代入得：
$∠BDC=34°+90°+18°=142°$
$\because $ 测量得到的$∠BDC=146°≠142°$
$\therefore $ 这个零件不合格。
【答案】
典例2答案：$\boldsymbol{∠E=40°}$
举一反三答案：不合格，理由如下：
如图
,连接AD并延长，由图知,$∠1=∠B+∠BAD,∠2=∠C+∠CAD,∠BDC=∠1+∠2$,
$\because ∠CAB=90°,∠B=34°,∠C=18°$,
$\therefore ∠BDC=∠B+∠BAD+∠DAC+∠C$
$=∠B+∠BAC+∠C$
$=34°+90°+18°$
$=142°$.
$\because 146°≠142°$,
$\therefore$ 这个零件不合格.
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
这两道题都是三角形外角推论的典型应用，解题核心是灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”建立已知角和待求角的关系。其中举一反三的题型需要构造辅助线拆分角度，将所求角转化为多个外角之和，能够帮助学生加深对外角性质的理解，提升角度转化的解题思维。
【难度系数】
0.7
