登录
一、选择题
1. 方程$2x^2 - 4x + 2 = 0$的解为（
A.$x_1=1, x_2=-1$
B.$x_1=x_2=1$
C.$x_1=2, x_2=-2$
D.$x_1=2+\sqrt{2}, x_2=2-\sqrt{2}$
1. 方程$2x^2 - 4x + 2 = 0$的解为（
B
）A.$x_1=1, x_2=-1$
B.$x_1=x_2=1$
C.$x_1=2, x_2=-2$
D.$x_1=2+\sqrt{2}, x_2=2-\sqrt{2}$
答案
1. B
解析
【分析】
这是一道一元二次方程求解的基础题，结合当前所学的配方法知识点，解题思路如下：首先观察方程各项系数存在公因数2，可先将方程两边同时除以2简化运算；再按照配方法的步骤，先移项把常数项移到等号右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，最后开方求出方程的根即可，也可以用因式分解法快速验证结果。
【解析】
解：首先对原方程进行化简：
方程$2x^2 - 4x + 2 = 0$两边同时除以2，得：
$x^2 - 2x + 1 = 0$
用配方法求解，移项得：
$x^2 - 2x = -1$
给方程两边同时加上一次项系数-2一半的平方，即$(-1)^2=1$，得：
$x^2 - 2x + 1 = -1 + 1$
左边写成完全平方式：
$(x - 1)^2 = 0$
开方得：
$x - 1 = 0$
因此方程有两个相等的实数根：$x_1 = x_2 = 1$
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程的基本解法，解题时先化简方程可以简化计算过程，降低出错概率，熟练掌握配方法的步骤是解对本题的关键。
【难度系数】
0.9
这是一道一元二次方程求解的基础题，结合当前所学的配方法知识点，解题思路如下：首先观察方程各项系数存在公因数2，可先将方程两边同时除以2简化运算；再按照配方法的步骤，先移项把常数项移到等号右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，最后开方求出方程的根即可，也可以用因式分解法快速验证结果。
【解析】
解：首先对原方程进行化简：
方程$2x^2 - 4x + 2 = 0$两边同时除以2，得：
$x^2 - 2x + 1 = 0$
用配方法求解，移项得：
$x^2 - 2x = -1$
给方程两边同时加上一次项系数-2一半的平方，即$(-1)^2=1$，得：
$x^2 - 2x + 1 = -1 + 1$
左边写成完全平方式：
$(x - 1)^2 = 0$
开方得：
$x - 1 = 0$
因此方程有两个相等的实数根：$x_1 = x_2 = 1$
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程的基本解法，解题时先化简方程可以简化计算过程，降低出错概率，熟练掌握配方法的步骤是解对本题的关键。
【难度系数】
0.9
2. 方程$2x^2 -5x=7$的解为(
A.$x_1=1, x_2=-1$
B.$x_1=-3.5, x_2=1$
C.$x_1=-\frac{1}{2}, x_2=-7$
D.$x_1=3.5, x_2=-1$
D
)A.$x_1=1, x_2=-1$
B.$x_1=-3.5, x_2=1$
C.$x_1=-\frac{1}{2}, x_2=-7$
D.$x_1=3.5, x_2=-1$
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程，解题思路如下：第一步先将原方程移项，把常数项移到等号右侧；第二步将二次项系数化为1；第三步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；第四步直接开平方求出方程的解，再对应选项选择即可。
【解析】
首先将原方程移项，得：
$2x^2 -5x =7$
将二次项系数化为1，两边同时除以2：
$x^2 - \frac{5}{2}x = \frac{7}{2}$
配方，两边同时加上一次项系数$-\frac{5}{2}$一半的平方，即$(\frac{-5}{4})^2=\frac{25}{16}$：
$x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = \frac{7}{2} + \frac{25}{16}$
左边整理为完全平方式，右边通分计算：
$(x - \frac{5}{4})^2 = \frac{56}{16} + \frac{25}{16} = \frac{81}{16}$
两边开平方：
$x - \frac{5}{4} = \pm \frac{9}{4}$
分别求解：
当$x - \frac{5}{4} = \frac{9}{4}$时，$x = \frac{9}{4} + \frac{5}{4} = \frac{14}{4} = 3.5$
当$x - \frac{5}{4} = -\frac{9}{4}$时，$x = -\frac{9}{4} + \frac{5}{4} = -\frac{4}{4} = -1$
即方程的解为$x_1=3.5,x_2=-1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程的解
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础常规题，核心要掌握配方法的标准化步骤，计算时注意通分、开平方的符号问题，熟练掌握后可快速完成求解。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法解一元二次方程，解题思路如下：第一步先将原方程移项，把常数项移到等号右侧；第二步将二次项系数化为1；第三步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；第四步直接开平方求出方程的解，再对应选项选择即可。
【解析】
首先将原方程移项，得：
$2x^2 -5x =7$
将二次项系数化为1，两边同时除以2：
$x^2 - \frac{5}{2}x = \frac{7}{2}$
配方，两边同时加上一次项系数$-\frac{5}{2}$一半的平方，即$(\frac{-5}{4})^2=\frac{25}{16}$：
$x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = \frac{7}{2} + \frac{25}{16}$
左边整理为完全平方式，右边通分计算：
$(x - \frac{5}{4})^2 = \frac{56}{16} + \frac{25}{16} = \frac{81}{16}$
两边开平方：
$x - \frac{5}{4} = \pm \frac{9}{4}$
分别求解：
当$x - \frac{5}{4} = \frac{9}{4}$时，$x = \frac{9}{4} + \frac{5}{4} = \frac{14}{4} = 3.5$
当$x - \frac{5}{4} = -\frac{9}{4}$时，$x = -\frac{9}{4} + \frac{5}{4} = -\frac{4}{4} = -1$
即方程的解为$x_1=3.5,x_2=-1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程的解
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础常规题，核心要掌握配方法的标准化步骤，计算时注意通分、开平方的符号问题，熟练掌握后可快速完成求解。
【难度系数】
0.8
3. 用配方法解一元二次方程$2x^2+8x+5=0$时，原方程变形正确的是(
A.$(x-2)^2=\dfrac{3}{2}$
B.$(x+2)^2=\dfrac{3}{2}$
C.$(x+2)^2=-\dfrac{3}{2}$
D.$(x+2)^2=\dfrac{13}{2}$
B
)A.$(x-2)^2=\dfrac{3}{2}$
B.$(x+2)^2=\dfrac{3}{2}$
C.$(x+2)^2=-\dfrac{3}{2}$
D.$(x+2)^2=\dfrac{13}{2}$
答案
3. B
解析
【分析】
本题考查用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，解题思路清晰明确：第一步先将二次项系数化为1，第二步把常数项移到方程右侧，第三步给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，右侧合并常数项后即可和选项对比得到结果。
【解析】
解：对原方程$2x^2+8x+5=0$按配方法步骤变形：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2+4x+\frac{5}{2}=0$；
2. 移项：将常数项移到方程右侧，得$x^2+4x=-\frac{5}{2}$；
3. 配方：一次项系数为4，其一半的平方为$2^2=4$，给方程两边同时加4，得：
$x^2+4x+4=-\frac{5}{2}+4$
左侧整理为完全平方式，右侧合并常数项：
$(x+2)^2=\frac{3}{2}$
对比选项可知B选项变形正确。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，解题时要注意二次项系数不为1时必须先化为1，配方时等式两边要同时加相同的数，避免出现符号错误或计算偏差。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，解题思路清晰明确：第一步先将二次项系数化为1，第二步把常数项移到方程右侧，第三步给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，右侧合并常数项后即可和选项对比得到结果。
【解析】
解：对原方程$2x^2+8x+5=0$按配方法步骤变形：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2+4x+\frac{5}{2}=0$；
2. 移项：将常数项移到方程右侧，得$x^2+4x=-\frac{5}{2}$；
3. 配方：一次项系数为4，其一半的平方为$2^2=4$，给方程两边同时加4，得：
$x^2+4x+4=-\frac{5}{2}+4$
左侧整理为完全平方式，右侧合并常数项：
$(x+2)^2=\frac{3}{2}$
对比选项可知B选项变形正确。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，解题时要注意二次项系数不为1时必须先化为1，配方时等式两边要同时加相同的数，避免出现符号错误或计算偏差。
【难度系数】
0.8
4. 若关于$x$的一元二次方程$x^2+6x+c=0$配方后得到方程$(x+3)^2=2c$，则$c$的值为(
A.$-3$
B.$0$
C.$3$
D.$9$
C
)A.$-3$
B.$0$
C.$3$
D.$9$
答案
4. C
解析
【分析】
解题思路：首先回忆配方法解一元二次方程的步骤，先对题干给出的一元二次方程自行完成配方变形，再将变形后的结果与题目给出的配方后方程对比，令两个等式的右边相等，即可建立关于c的一元一次方程，求解就能得到c的值。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2+6x+c=0$进行配方：
第一步，移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2+6x=-c$
第二步，配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为6，一半为3，平方为9，因此两边加9：
$x^2+6x+9=-c+9$
左侧整理为完全平方形式，得：
$(x+3)^2=9-c$
已知题目中配方后得到方程$(x+3)^2=2c$，因此可得：
$9-c=2c$
解这个一元一次方程：
移项得$3c=9$，解得$c=3$
【答案】
C
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 一元一次方程的求解
【点评】
本题主要考查配方法的应用，属于基础题型，解题的关键是熟练掌握配方法的操作步骤，注意移项时要变号，配方时需给等号两边同时加一次项系数一半的平方，避免漏加右侧的常数。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆配方法解一元二次方程的步骤，先对题干给出的一元二次方程自行完成配方变形，再将变形后的结果与题目给出的配方后方程对比，令两个等式的右边相等，即可建立关于c的一元一次方程，求解就能得到c的值。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2+6x+c=0$进行配方：
第一步，移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2+6x=-c$
第二步，配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为6，一半为3，平方为9，因此两边加9：
$x^2+6x+9=-c+9$
左侧整理为完全平方形式，得：
$(x+3)^2=9-c$
已知题目中配方后得到方程$(x+3)^2=2c$，因此可得：
$9-c=2c$
解这个一元一次方程：
移项得$3c=9$，解得$c=3$
【答案】
C
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 一元一次方程的求解
【点评】
本题主要考查配方法的应用，属于基础题型，解题的关键是熟练掌握配方法的操作步骤，注意移项时要变号，配方时需给等号两边同时加一次项系数一半的平方，避免漏加右侧的常数。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 用配方法解方程$3x^2+2=-5x$的一般步骤是:(1)将方程化为
(2)两边同时除以
(5)两边同时开方求得方程的解是
1. 用配方法解方程$3x^2+2=-5x$的一般步骤是:(1)将方程化为
$3x^2+5x=-2$
；(2)两边同时除以
$3$
,得到方程$x^2+\dfrac{5}{3}x=-\dfrac{2}{3}$
；(3)方程两边同时加上$(\dfrac{5}{6})^2$
,得到方程$x^2+\dfrac{5}{3}x+(\dfrac{5}{6})^2=-\dfrac{2}{3}+(\dfrac{5}{6})^2$
；(4)原方程变形为($x+\dfrac{5}{6}$
)$^2$=$\dfrac{1}{36}$
；(5)两边同时开方求得方程的解是
$x_1=-\dfrac{2}{3},x_2=-1$
。答案
1. (1) $3x^2+5x=-2$ (2) $3$，$x^2+\dfrac{5}{3}x=-\dfrac{2}{3}$ (3) $(\dfrac{5}{6})^2$，$x^2+\dfrac{5}{3}x+(\dfrac{5}{6})^2=-\dfrac{2}{3}+(\dfrac{5}{6})^2$ (4) $x+\dfrac{5}{6}$，$\dfrac{1}{36}$ (5) $x_1=-\dfrac{2}{3},x_2=-1$
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的标准步骤，解题时按配方法的固定流程思考即可：①先移项，把含x的项放在方程左侧，常数项放在右侧；②将二次项系数化为1，方便后续配方；③配方，给方程两边同时加一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式；④整理成完全平方等于常数的形式；⑤用直接开平方法求出方程的解。
【解析】
(1) 移项，将-5x移到等号左侧，2移到等号右侧，注意移项要变号，可得$3x^2+5x=-2$；
(2) 二次项系数为3，给方程两边同时除以3，将二次项系数化为1，可得$x^2+\dfrac{5}{3}x=-\dfrac{2}{3}$；
(3) 一次项系数为$\dfrac{5}{3}$，它的一半是$\dfrac{5}{6}$，因此给方程两边同时加上$(\dfrac{5}{6})^2$，可得$x^2+\dfrac{5}{3}x+(\dfrac{5}{6})^2=-\dfrac{2}{3}+(\dfrac{5}{6})^2$；
(4) 左侧根据完全平方公式整理为$(x+\dfrac{5}{6})^2$，右侧计算常数：$-\dfrac{2}{3}+\dfrac{25}{36}=\dfrac{-24+25}{36}=\dfrac{1}{36}$；
(5) 两边同时开方得$x+\dfrac{5}{6}=\pm\dfrac{1}{6}$，计算得：当取正号时$x=\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{6}=-\dfrac{2}{3}$，当取负号时$x=-\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{6}=-1$，即解为$x_1=-\dfrac{2}{3},x_2=-1$。
【答案】
(1) $3x^2+5x=-2$ (2) $3$，$x^2+\dfrac{5}{3}x=-\dfrac{2}{3}$ (3) $(\dfrac{5}{6})^2$，$x^2+\dfrac{5}{3}x+(\dfrac{5}{6})^2=-\dfrac{2}{3}+(\dfrac{5}{6})^2$ (4) $x+\dfrac{5}{6}$，$\dfrac{1}{36}$ (5) $x_1=-\dfrac{2}{3},x_2=-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法
【点评】
本题是配方法解方程的基础流程题，核心考查配方法的操作步骤，熟练掌握移项、系数化1、配方三个关键操作，就能快速完成填空，也为后续解复杂一元二次方程打好基础。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法解一元二次方程的标准步骤，解题时按配方法的固定流程思考即可：①先移项，把含x的项放在方程左侧，常数项放在右侧；②将二次项系数化为1，方便后续配方；③配方，给方程两边同时加一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式；④整理成完全平方等于常数的形式；⑤用直接开平方法求出方程的解。
【解析】
(1) 移项，将-5x移到等号左侧，2移到等号右侧，注意移项要变号，可得$3x^2+5x=-2$；
(2) 二次项系数为3，给方程两边同时除以3，将二次项系数化为1，可得$x^2+\dfrac{5}{3}x=-\dfrac{2}{3}$；
(3) 一次项系数为$\dfrac{5}{3}$，它的一半是$\dfrac{5}{6}$，因此给方程两边同时加上$(\dfrac{5}{6})^2$，可得$x^2+\dfrac{5}{3}x+(\dfrac{5}{6})^2=-\dfrac{2}{3}+(\dfrac{5}{6})^2$；
(4) 左侧根据完全平方公式整理为$(x+\dfrac{5}{6})^2$，右侧计算常数：$-\dfrac{2}{3}+\dfrac{25}{36}=\dfrac{-24+25}{36}=\dfrac{1}{36}$；
(5) 两边同时开方得$x+\dfrac{5}{6}=\pm\dfrac{1}{6}$，计算得：当取正号时$x=\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{6}=-\dfrac{2}{3}$，当取负号时$x=-\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{6}=-1$，即解为$x_1=-\dfrac{2}{3},x_2=-1$。
【答案】
(1) $3x^2+5x=-2$ (2) $3$，$x^2+\dfrac{5}{3}x=-\dfrac{2}{3}$ (3) $(\dfrac{5}{6})^2$，$x^2+\dfrac{5}{3}x+(\dfrac{5}{6})^2=-\dfrac{2}{3}+(\dfrac{5}{6})^2$ (4) $x+\dfrac{5}{6}$，$\dfrac{1}{36}$ (5) $x_1=-\dfrac{2}{3},x_2=-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法
【点评】
本题是配方法解方程的基础流程题，核心考查配方法的操作步骤，熟练掌握移项、系数化1、配方三个关键操作，就能快速完成填空，也为后续解复杂一元二次方程打好基础。
【难度系数】
0.8
2. 将一元二次方程$2x^2 + x - 3 = 0$化成$(x+a)^2 = b$的形式，则$a=$
$\dfrac{1}{4}$
，$b=$$\dfrac{25}{16}$
。答案
2. $\dfrac{1}{4}$，$\dfrac{25}{16}$
解析
【分析】
本题考查用配方法将一元二次方程变形为完全平方式的形式，解题思路可分为三步：首先将方程的二次项系数化为1，再将常数项移到方程右侧，最后给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式，即可得到$(x+a)^2 = b$的形式，对应求出$a$、$b$的值即可。
【解析】
第一步：将二次项系数化为1，原方程$2x^2 + x - 3 = 0$两边同时除以2，得：
$x^2 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{2} = 0$
第二步：移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 + \dfrac{1}{2}x = \dfrac{3}{2}$
第三步：配方，一次项系数为$\dfrac{1}{2}$，其一半的平方为$(\dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2})^2 = (\dfrac{1}{4})^2 = \dfrac{1}{16}$，给方程两边同时加$\dfrac{1}{16}$，得：
$x^2 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{16} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{16}$
左侧根据完全平方公式可写成$(x + \dfrac{1}{4})^2$，右侧通分计算：$\dfrac{3}{2} = \dfrac{24}{16}$，$\dfrac{24}{16} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{25}{16}$，即：
$(x + \dfrac{1}{4})^2 = \dfrac{25}{16}$
对比$(x+a)^2 = b$的形式，可得$a = \dfrac{1}{4}$，$b = \dfrac{25}{16}$。
【答案】
$\dfrac{1}{4}$，$\dfrac{25}{16}$
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题型，解题的关键是牢记配方法的操作步骤，特别注意先把二次项系数化为1再配方，配方时要给等式两边同时加一次项系数一半的平方，避免出现漏加的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法将一元二次方程变形为完全平方式的形式，解题思路可分为三步：首先将方程的二次项系数化为1，再将常数项移到方程右侧，最后给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式，即可得到$(x+a)^2 = b$的形式，对应求出$a$、$b$的值即可。
【解析】
第一步：将二次项系数化为1，原方程$2x^2 + x - 3 = 0$两边同时除以2，得：
$x^2 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{2} = 0$
第二步：移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 + \dfrac{1}{2}x = \dfrac{3}{2}$
第三步：配方，一次项系数为$\dfrac{1}{2}$，其一半的平方为$(\dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2})^2 = (\dfrac{1}{4})^2 = \dfrac{1}{16}$，给方程两边同时加$\dfrac{1}{16}$，得：
$x^2 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{16} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{16}$
左侧根据完全平方公式可写成$(x + \dfrac{1}{4})^2$，右侧通分计算：$\dfrac{3}{2} = \dfrac{24}{16}$，$\dfrac{24}{16} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{25}{16}$，即：
$(x + \dfrac{1}{4})^2 = \dfrac{25}{16}$
对比$(x+a)^2 = b$的形式，可得$a = \dfrac{1}{4}$，$b = \dfrac{25}{16}$。
【答案】
$\dfrac{1}{4}$，$\dfrac{25}{16}$
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题型，解题的关键是牢记配方法的操作步骤，特别注意先把二次项系数化为1再配方，配方时要给等式两边同时加一次项系数一半的平方，避免出现漏加的错误。
【难度系数】
0.8
3. 方程$x(x+3)=2-x$的解是
$x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$
.答案
3. $x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$
解析
【分析】
要解这个一元二次方程，首先需要将原方程整理为一元二次方程的标准形式，再结合配方法求解。第一步先展开左边的乘积，将所有项移到等号同侧合并同类项，得到二次项系数为1的一元二次方程；第二步利用配方法的核心思路，将方程左边配成完全平方式，再通过开平方转化为两个一元一次方程，最终求出方程的解。
【解析】
解：先整理原方程：
1. 去括号得：$x^2 + 3x = 2 - x$
2. 移项、合并同类项得：$x^2 + 4x = 2$
3. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方（一次项系数为4，一半是2，平方为4），得：
$x^2 + 4x + 4 = 2 + 4$
即$(x + 2)^2 = 6$
4. 开平方得：$x + 2 = \pm\sqrt{6}$
5. 解得：$x = -2 \pm\sqrt{6}$
【答案】
$x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础应用，解题的关键是先把原方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，配方时注意要给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，避免出现漏加右侧常数的错误。
【难度系数】
0.7
要解这个一元二次方程，首先需要将原方程整理为一元二次方程的标准形式，再结合配方法求解。第一步先展开左边的乘积，将所有项移到等号同侧合并同类项，得到二次项系数为1的一元二次方程；第二步利用配方法的核心思路，将方程左边配成完全平方式，再通过开平方转化为两个一元一次方程，最终求出方程的解。
【解析】
解：先整理原方程：
1. 去括号得：$x^2 + 3x = 2 - x$
2. 移项、合并同类项得：$x^2 + 4x = 2$
3. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方（一次项系数为4，一半是2，平方为4），得：
$x^2 + 4x + 4 = 2 + 4$
即$(x + 2)^2 = 6$
4. 开平方得：$x + 2 = \pm\sqrt{6}$
5. 解得：$x = -2 \pm\sqrt{6}$
【答案】
$x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础应用，解题的关键是先把原方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，配方时注意要给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，避免出现漏加右侧常数的错误。
【难度系数】
0.7
4. 若代数式$2x^2 -5x$与$-2x+3$的值互为相反数，则x的值为
$x_1=3,x_2=0.5$
。答案
4. $x_1=3,x_2=0.5$
解析
【分析】
首先回忆相反数的核心性质：互为相反数的两个数之和为0。根据这一性质可将题目中的两个代数式相加等于0，列出关于x的方程，再将方程整理为一元二次方程的标准形式，最后按照配方法的步骤求解方程即可得到x的取值。
【解析】
因为代数式$2x^2 -5x$与$-2x+3$互为相反数，根据相反数的性质列方程：
$2x^2 -5x + (-2x + 3) = 0$
整理得一元二次方程的标准形式：
$2x^2 -7x + 3 = 0$
将二次项系数化为1：
$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{3}{2} = 0$
移项，把常数项移到等号右侧：
$x^2 - \frac{7}{2}x = -\frac{3}{2}$
配方，等号两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{7}{4})^2$：
$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{49}{16} = -\frac{3}{2} + \frac{49}{16}$
左侧化为完全平方形式，右侧计算得：
$(x - \frac{7}{4})^2 = \frac{25}{16}$
开平方得：
$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{5}{4}$
分别求解两个一次方程：
当$x - \frac{7}{4} = \frac{5}{4}$时，$x = \frac{12}{4} = 3$；
当$x - \frac{7}{4} = -\frac{5}{4}$时，$x = \frac{2}{4} = 0.5$。
【答案】
$x_1=3,x_2=0.5$
【知识点】
相反数的性质；配方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础应用题，解题关键是先根据相反数的性质正确列出方程，再严格按照配方法的步骤规范求解，计算时要注意移项的符号变化，避免因计算粗心出错。
【难度系数】
0.7
首先回忆相反数的核心性质：互为相反数的两个数之和为0。根据这一性质可将题目中的两个代数式相加等于0，列出关于x的方程，再将方程整理为一元二次方程的标准形式，最后按照配方法的步骤求解方程即可得到x的取值。
【解析】
因为代数式$2x^2 -5x$与$-2x+3$互为相反数，根据相反数的性质列方程：
$2x^2 -5x + (-2x + 3) = 0$
整理得一元二次方程的标准形式：
$2x^2 -7x + 3 = 0$
将二次项系数化为1：
$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{3}{2} = 0$
移项，把常数项移到等号右侧：
$x^2 - \frac{7}{2}x = -\frac{3}{2}$
配方，等号两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{7}{4})^2$：
$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{49}{16} = -\frac{3}{2} + \frac{49}{16}$
左侧化为完全平方形式，右侧计算得：
$(x - \frac{7}{4})^2 = \frac{25}{16}$
开平方得：
$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{5}{4}$
分别求解两个一次方程：
当$x - \frac{7}{4} = \frac{5}{4}$时，$x = \frac{12}{4} = 3$；
当$x - \frac{7}{4} = -\frac{5}{4}$时，$x = \frac{2}{4} = 0.5$。
【答案】
$x_1=3,x_2=0.5$
【知识点】
相反数的性质；配方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础应用题，解题关键是先根据相反数的性质正确列出方程，再严格按照配方法的步骤规范求解，计算时要注意移项的符号变化，避免因计算粗心出错。
【难度系数】
0.7
5*.已知等腰△ABC的三边长为a,b,c,其中a,b满足$a^2+b^2=6a+12b-45$,则△ABC的周长是
$15$
.答案
5. 15
解析
【分析】
首先观察给出的关于a、b的等式，等式中含有a、b的二次项和一次项，符合配方法的适用特征，因此第一步通过配方法将等式变形为两个完全平方的和为0的形式；再结合平方数的非负性，即可求出a、b的具体值；已知△ABC是等腰三角形，需分腰长为a和腰长为b两种情况讨论，最后结合三角形三边关系排除不符合的情况，计算符合条件的周长即可。
【解析】
首先对已知等式进行移项、配方：
将$a^2+b^2=6a+12b-45$移项得：
$a^2-6a + b^2-12b + 45 = 0$
对a、b分别配方：
$a^2-6a+9 + b^2-12b+36 = 0$
即$(a-3)^2 + (b-6)^2 = 0$
∵平方数具有非负性，即$(a-3)^2≥0$，$(b-6)^2≥0$，两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0
∴$a-3=0$，$b-6=0$
解得$a=3$，$b=6$
∵△ABC是等腰三角形，三边长为a、b、c
∴分两种情况讨论：
①若腰长为3，即三边长为3、3、6
∵$3+3=6$，不满足三角形两边之和大于第三边的构成条件，舍去该情况
②若腰长为6，即三边长为6、6、3
∵$3+6＞6$，$6+6＞3$，满足三角形三边关系
此时△ABC的周长为$6+6+3=15$
【答案】
15
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础综合题，解题时需先通过配方法求出两条边的长度，再结合等腰三角形的特征分类讨论，最后一定要验证三边是否满足三角形的构成条件，避免因忽略验证得到错误结果。
【难度系数】
0.7
首先观察给出的关于a、b的等式，等式中含有a、b的二次项和一次项，符合配方法的适用特征，因此第一步通过配方法将等式变形为两个完全平方的和为0的形式；再结合平方数的非负性，即可求出a、b的具体值；已知△ABC是等腰三角形，需分腰长为a和腰长为b两种情况讨论，最后结合三角形三边关系排除不符合的情况，计算符合条件的周长即可。
【解析】
首先对已知等式进行移项、配方：
将$a^2+b^2=6a+12b-45$移项得：
$a^2-6a + b^2-12b + 45 = 0$
对a、b分别配方：
$a^2-6a+9 + b^2-12b+36 = 0$
即$(a-3)^2 + (b-6)^2 = 0$
∵平方数具有非负性，即$(a-3)^2≥0$，$(b-6)^2≥0$，两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0
∴$a-3=0$，$b-6=0$
解得$a=3$，$b=6$
∵△ABC是等腰三角形，三边长为a、b、c
∴分两种情况讨论：
①若腰长为3，即三边长为3、3、6
∵$3+3=6$，不满足三角形两边之和大于第三边的构成条件，舍去该情况
②若腰长为6，即三边长为6、6、3
∵$3+6＞6$，$6+6＞3$，满足三角形三边关系
此时△ABC的周长为$6+6+3=15$
【答案】
15
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础综合题，解题时需先通过配方法求出两条边的长度，再结合等腰三角形的特征分类讨论，最后一定要验证三边是否满足三角形的构成条件，避免因忽略验证得到错误结果。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 用配方法解下列方程:
(1) $2x^2 -4x -\frac{2}{3}=0$;
(2) $\frac{1}{4}x^2 -x -4=0$;
(3) $4x^2 -4x -3=0$;
(4) $(3x+2)(x+3)=x+14$.
1. 用配方法解下列方程:
(1) $2x^2 -4x -\frac{2}{3}=0$;
(2) $\frac{1}{4}x^2 -x -4=0$;
(3) $4x^2 -4x -3=0$;
(4) $(3x+2)(x+3)=x+14$.
答案
1. (1) $x_1=1+\dfrac{2}{3}\sqrt{3},x_2=1-\dfrac{2}{3}\sqrt{3}$ (2) $x_1=2+2\sqrt{5},x_2=2-2\sqrt{5}$ (3) $x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=\dfrac{3}{2}$ (4) $x_1=-4,x_2=\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的通用思路为：1. 先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式；2. 方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；3. 移项，把常数项移到方程右侧；4. 配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧变形为完全平方式，右侧合并为常数；5. 若右侧常数非负，直接开平方即可求出方程的根。本题前3个小题已为一般形式，直接按步骤计算即可，第(4)小题需要先展开、移项整理为一般形式再求解。
【解析】
(1) 解方程 $2x^2 -4x -\frac{2}{3}=0$
① 二次项系数化为1：两边同除以2，得 $x^2 - 2x - \frac{1}{3}=0$
② 移项：$x^2 - 2x = \frac{1}{3}$
③ 配方：两边同时加1（一次项系数-2一半的平方），得 $x^2 - 2x + 1 = \frac{1}{3} + 1$
即 $(x-1)^2 = \frac{4}{3}$
④ 开平方：$x-1 = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$
解得 $x_1=1+\frac{2}{3}\sqrt{3},x_2=1-\frac{2}{3}\sqrt{3}$
(2) 解方程 $\frac{1}{4}x^2 -x -4=0$
① 二次项系数化为1：两边同乘4，得 $x^2 - 4x - 16=0$
② 移项：$x^2 - 4x = 16$
③ 配方：两边同时加4（一次项系数-4一半的平方），得 $x^2 -4x +4 = 16 +4$
即 $(x-2)^2 = 20$
④ 开平方：$x-2 = \pm 2\sqrt{5}$
解得 $x_1=2+2\sqrt{5},x_2=2-2\sqrt{5}$
(3) 解方程 $4x^2 -4x -3=0$
① 二次项系数化为1：两边同除以4，得 $x^2 - x - \frac{3}{4}=0$
② 移项：$x^2 - x = \frac{3}{4}$
③ 配方：两边同时加$\frac{1}{4}$（一次项系数-1一半的平方），得 $x^2 -x + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$
即 $(x-\frac{1}{2})^2 = 1$
④ 开平方：$x-\frac{1}{2} = \pm 1$
解得 $x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$
(4) 解方程 $(3x+2)(x+3)=x+14$
① 整理为一般形式：展开左侧得 $3x^2 +11x +6 = x +14$，移项合并同类项得 $3x^2 +10x -8=0$
② 二次项系数化为1：两边同除以3，得 $x^2 + \frac{10}{3}x - \frac{8}{3}=0$
③ 移项：$x^2 + \frac{10}{3}x = \frac{8}{3}$
④ 配方：两边同时加$\frac{25}{9}$（一次项系数$\frac{10}{3}$一半的平方），得 $x^2 + \frac{10}{3}x + \frac{25}{9} = \frac{8}{3} + \frac{25}{9}$
即 $(x+\frac{5}{3})^2 = \frac{49}{9}$
⑤ 开平方：$x+\frac{5}{3} = \pm \frac{7}{3}$
解得 $x_1=-4,x_2=\frac{2}{3}$
【答案】
(1) $x_1=1+\dfrac{2}{3}\sqrt{3},x_2=1-\dfrac{2}{3}\sqrt{3}$
(2) $x_1=2+2\sqrt{5},x_2=2-2\sqrt{5}$
(3) $x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=\dfrac{3}{2}$
(4) $x_1=-4,x_2=\dfrac{2}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、一元二次方程整理
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题时要严格遵循配方法的操作步骤，注意二次项系数化为1是配方的前提，开平方时不要遗漏负根，对不是一般形式的方程要先正确整理为一般形式再计算，避免符号和计算错误。
【难度系数】
0.75
配方法解一元二次方程的通用思路为：1. 先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式；2. 方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；3. 移项，把常数项移到方程右侧；4. 配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧变形为完全平方式，右侧合并为常数；5. 若右侧常数非负，直接开平方即可求出方程的根。本题前3个小题已为一般形式，直接按步骤计算即可，第(4)小题需要先展开、移项整理为一般形式再求解。
【解析】
(1) 解方程 $2x^2 -4x -\frac{2}{3}=0$
① 二次项系数化为1：两边同除以2，得 $x^2 - 2x - \frac{1}{3}=0$
② 移项：$x^2 - 2x = \frac{1}{3}$
③ 配方：两边同时加1（一次项系数-2一半的平方），得 $x^2 - 2x + 1 = \frac{1}{3} + 1$
即 $(x-1)^2 = \frac{4}{3}$
④ 开平方：$x-1 = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$
解得 $x_1=1+\frac{2}{3}\sqrt{3},x_2=1-\frac{2}{3}\sqrt{3}$
(2) 解方程 $\frac{1}{4}x^2 -x -4=0$
① 二次项系数化为1：两边同乘4，得 $x^2 - 4x - 16=0$
② 移项：$x^2 - 4x = 16$
③ 配方：两边同时加4（一次项系数-4一半的平方），得 $x^2 -4x +4 = 16 +4$
即 $(x-2)^2 = 20$
④ 开平方：$x-2 = \pm 2\sqrt{5}$
解得 $x_1=2+2\sqrt{5},x_2=2-2\sqrt{5}$
(3) 解方程 $4x^2 -4x -3=0$
① 二次项系数化为1：两边同除以4，得 $x^2 - x - \frac{3}{4}=0$
② 移项：$x^2 - x = \frac{3}{4}$
③ 配方：两边同时加$\frac{1}{4}$（一次项系数-1一半的平方），得 $x^2 -x + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$
即 $(x-\frac{1}{2})^2 = 1$
④ 开平方：$x-\frac{1}{2} = \pm 1$
解得 $x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$
(4) 解方程 $(3x+2)(x+3)=x+14$
① 整理为一般形式：展开左侧得 $3x^2 +11x +6 = x +14$，移项合并同类项得 $3x^2 +10x -8=0$
② 二次项系数化为1：两边同除以3，得 $x^2 + \frac{10}{3}x - \frac{8}{3}=0$
③ 移项：$x^2 + \frac{10}{3}x = \frac{8}{3}$
④ 配方：两边同时加$\frac{25}{9}$（一次项系数$\frac{10}{3}$一半的平方），得 $x^2 + \frac{10}{3}x + \frac{25}{9} = \frac{8}{3} + \frac{25}{9}$
即 $(x+\frac{5}{3})^2 = \frac{49}{9}$
⑤ 开平方：$x+\frac{5}{3} = \pm \frac{7}{3}$
解得 $x_1=-4,x_2=\frac{2}{3}$
【答案】
(1) $x_1=1+\dfrac{2}{3}\sqrt{3},x_2=1-\dfrac{2}{3}\sqrt{3}$
(2) $x_1=2+2\sqrt{5},x_2=2-2\sqrt{5}$
(3) $x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=\dfrac{3}{2}$
(4) $x_1=-4,x_2=\dfrac{2}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、一元二次方程整理
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题时要严格遵循配方法的操作步骤，注意二次项系数化为1是配方的前提，开平方时不要遗漏负根，对不是一般形式的方程要先正确整理为一般形式再计算，避免符号和计算错误。
【难度系数】
0.75
