一、选择题
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，各边的长度都扩大$k(k＞0)$倍，则锐角$A$的各三角函数值()

A.都扩大$k$倍
B.都缩小至$\frac{1}{k}$
C.没有变化
D.不能确定

1. C

【分析】
解题时首先要明确锐角三角函数的定义：锐角A的正弦、余弦、正切分别是直角三角形中∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比、对边与邻边的比，本质是两条边的比值。当各边长度都扩大k倍时，新三角形和原三角形相似，∠A的大小不变，对应边的比值也不会发生改变，由此可推出锐角A的各三角函数值的变化情况。
【解析】
设原$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$的对边为$a$，邻边为$b$，斜边为$c$，则锐角A的各三角函数值为：
$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$
将各边长度都扩大$k(k＞0)$倍后，新三角形中$∠ A$的对边为$ka$，邻边为$kb$，斜边为$kc$，此时：
$\sin A'=\frac{ka}{kc}=\frac{a}{c}=\sin A$
$\cos A'=\frac{kb}{kc}=\frac{b}{c}=\cos A$
$\tan A'=\frac{ka}{kb}=\frac{a}{b}=\tan A$
可见锐角A的各三角函数值均没有变化，故选C。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义；比例的基本性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础概念题，核心考查三角函数值的决定因素，只需明确三角函数是对应边的比值，仅与角的大小有关，与边长的绝对长度无关即可正确解答。
【难度系数】
0.9

2. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，三边分别为$a,b,c$，则$\sin A$等于()


A.$\frac{a}{c}$
B.$\frac{a}{b}$
C.$\frac{b}{a}$
D.$\frac{b}{c}$

2. A

【分析】
本题考查直角三角形中锐角正弦的定义应用，解题思路如下：首先明确考查的是锐角三角函数里正弦的概念，回忆正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于这个角的对边长度与斜边长度的比值；接下来结合题干条件确定∠A的对边和△ABC的斜边，将对应边的长度代入比值即可得到结果，再对应选项选出答案即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义：锐角的正弦为该角的对边与斜边的比值。
其中$∠ A$的对边长度为$a$，$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边为$AB$，长度为$c$，因此：
$\sin A=\frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{a}{c}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查对锐角正弦定义的掌握程度，只要熟记直角三角形中各锐角三角函数对应的边的比例关系，就能快速准确得出答案，是锐角三角函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.9

3. 如图2,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=6$,$BC=3$,则$\cos A$的值是()

A.$\frac{1}{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

3. C

【分析】
要计算$\cos A$的值，首先回忆锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，即$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}$。本题已知斜边$AB=6$，因此先利用勾股定理求出$∠ A$的邻边$AC$的长度，再代入余弦定义即可求出结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$
根据锐角余弦的定义，$\cos A = \frac{∠ A的邻边}{斜边} = \frac{AC}{AB}$
代入数值计算得：$\cos A = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，余弦的定义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础计算题，解题核心是牢记余弦的定义，结合勾股定理求出对应边长后代入计算即可，易错点是混淆锐角的邻边和对边，计算时注意仔细辨别即可。
【难度系数】
0.8

4. 在正方形网格中，$∠ AOB$的位置如图3，则$\cos∠ AOB$的值为()

A.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$2$

4. A

【分析】
要求∠AOB的余弦值，根据锐角余弦的定义，需将该角置于直角三角形中，找到其邻边与斜边的长度，二者的比值即为余弦值。我们可借助正方形网格的特点，设每个小正方形的边长为1，在∠AOB的一边上选取格点，向另一边作垂线构造直角三角形，再通过勾股定理计算所需边长，最后代入余弦定义即可求出结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过OA上的格点A作AC⊥OB于点C，由图可得OC=1，AC=2。
在Rt△AOC中，根据勾股定理：
$OA=\sqrt{OC^2+AC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$
根据锐角余弦的定义，$\cos∠ AOB=\frac{\mathrm{∠AOB的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
锐角余弦的定义；勾股定理
【点评】
本题结合网格考查锐角余弦值的计算，解题关键是合理构造直角三角形，熟练运用勾股定理和余弦的定义求解，是锐角三角函数的基础常考题型。
【难度系数】
0.7

二、填空题
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=8$，$BC=10$，则$\sin B=$。

1. $\frac{3}{5}$

【分析】
本题是直角三角形中求锐角正弦值的基础题，解题思路如下：①首先回忆正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值；②要求$\sin B$，需要先确定$∠ B$的对边长度和斜边长度，已知斜边$BC=10$，$∠ B$的对边$AC$未知，可利用勾股定理在$\mathrm{Rt}△ ABC$中求出$AC$的长度；③最后将对应边代入正弦的定义式，化简得到结果即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{BC^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$
根据锐角正弦的定义，$\sin B$为$∠ B$的对边与斜边的比值，即：
$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
勾股定理；正弦函数的定义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题型，解题关键是准确区分所求锐角对应的对边、邻边以及直角三角形的斜边，避免因混淆边的对应关系出错。
【难度系数】
0.8

2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$\tan B=2$，则$\cos B=$.

2. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

【分析】
解题时先回忆直角三角形中锐角三角函数的定义，已知tanB的值，tanB是∠B的对边与邻边的比值，我们可以通过设参数的方法表示出两条直角边的长度，再结合勾股定理求出斜边的长度，最后根据余弦的定义（∠B的邻边与斜边的比值）代入计算，化简后就能得到cosB的值。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义：
$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{AC}{BC}=2$
设$BC=k$（$k＞0$），则$AC=2k$，由勾股定理可得斜边$AB$的长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2k)^2+k^2}=\sqrt{4k^2+k^2}=\sqrt{5k^2}=\sqrt{5}k$
再根据余弦的定义：
$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{k}{\sqrt{5}k}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
正切的定义；余弦的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形中锐角三角函数的应用，通过设参数表示边长、结合勾股定理求斜边是常用的解题方法，熟练掌握各锐角三角函数的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.8

3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$\cos A=\dfrac{3}{5}$，则$\sin A=$

3. $\frac{4}{5}$

【分析】
这道题是直角三角形中已知锐角的余弦值求正弦值，有两种常用解题思路：一是结合锐角三角函数的定义，根据$\cos A$的比值设出对应边的长度，再用勾股定理求出第三边，最后根据正弦的定义计算结果；二是利用同角锐角三角函数的平方关系$\sin^2A+\cos^2A=1$求解，因为$∠ A$是锐角，所以$\sin A$为正数，直接开算术平方根即可。
【解析】
方法1（定义法）：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义$\cos A=\frac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$。
设$AC=3k$，$AB=5k$（$k＞0$），由勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(5k)^2-(3k)^2}=\sqrt{16k^2}=4k$
再根据正弦的定义$\sin A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}=\frac{4k}{5k}=\frac{4}{5}$。
方法2（同角三角函数关系法）：
因为$∠ A$是直角三角形的锐角，所以$\sin A＞0$，
由同角三角函数的平方关系$\sin^2A+\cos^2A=1$，代入$\cos A=\frac{3}{5}$得：
$\sin A=\sqrt{1-\cos^2A}=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，同角三角函数关系
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题，解题方法灵活，不管是用定义结合勾股定理，还是用同角三角函数的基本关系都能快速求解，属于对基础知识点的直接考察。
【难度系数】
0.9

4. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=3$，$BC=2$，则$\cos A=$.

4. $\frac{\sqrt{5}}{3}$

【分析】
本题是直角三角形中求锐角余弦值的基础题，解题思路如下：①首先回忆锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值；②结合已知条件，斜边AB已知为3，要计算cosA需要先求出∠A的邻边AC的长度；③已知直角三角形的斜边和一条直角边BC，可通过勾股定理求出AC的长度；④最后将对应边的长度代入余弦定义式计算即可得到结果。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}$
代入$AB=3$，$BC=2$，得：
$AC=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$
根据余弦的定义，$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$
代入数值计算得：$\cos A=\frac{\sqrt{5}}{3}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{3}$
【知识点】
勾股定理、余弦的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础考查题，核心是掌握余弦的定义和勾股定理的应用，解题时要注意区分锐角的对边和邻边，避免因边的对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.8

5. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=6$，$\sin A=\dfrac{2}{3}$，则$AB=$，$\sin B=$。

5. 9, $\frac{\sqrt{5}}{3}$

【分析】
首先回忆直角三角形中锐角正弦的定义：锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值。解题分两步进行：第一步求AB的长，∠A的对边是BC，斜边是AB，已知sinA和BC的长度，直接代入正弦定义即可求出AB；第二步求sinB，需要先根据勾股定理求出∠B的对边AC的长度，再用∠B的对边AC比斜边AB即可得到sinB的值。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$。
1. 求$AB$的长度：
根据锐角正弦的定义，$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，
已知$BC=6$，$\sin A=\frac{2}{3}$，代入得：
$\frac{2}{3}=\frac{6}{AB}$，
解得$AB=\frac{6×3}{2}=9$。
2. 求$\sin B$的值：
先由勾股定理求$AC$的长度：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{9^2-6^2}=\sqrt{81-36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，
再根据正弦定义，$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$，
代入得：$\sin B=\frac{3\sqrt{5}}{9}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。
【答案】
9，$\frac{\sqrt{5}}{3}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直角三角形中锐角正弦的边比关系，以及勾股定理的基本应用，解题时注意找准每个锐角对应的对边，避免边的对应关系混淆即可。
【难度系数】
0.8

三、解答题
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，已知$BC=8$，$AC=6$，求$∠ A$的三个三角函数值。

1. $\sin A=\frac{4}{5},\cos A=\frac{3}{5},\tan A=\frac{4}{3}$

【分析】
要解决本题，首先回忆锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边与斜边的比值，余弦为邻边与斜边的比值，正切为对边与邻边的比值。解题思路分三步：第一步用勾股定理求出直角三角形的斜边长度；第二步明确∠A的对边、邻边分别对应的边；第三步代入三角函数的定义式计算，最后约分化简得到结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，已知$BC=8$，$AC=6$，
由勾股定理可得斜边长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$
$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$
【答案】
$\sin A=\frac{4}{5},\cos A=\frac{3}{5},\tan A=\frac{4}{3}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，核心考查对三角函数定义的理解，解题时要注意区分对应角的对边和邻边，计算结果要化简为最简分数。
【难度系数】
0.85