3. 如图6,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$于点$D$,$CE$为$AB$边上的中线,且$∠ BCD=3∠ DCA$. 求证:$DE=DC$.

3.
∵∠BCD=3∠DCA且∠BCA=90°

∴ ∠DCA=22.5°,∠BCD=67.5° , ∠B=22.5°

∵ CE 是 AB 边上的中线
∴ BE=CE

∴ ∠BCE=∠B=22.5°

∴ ∠CEA=45°,∠ECD=67.5°-22.5°=45°

∴ DE=DC

【分析】
解题时首先利用∠ACB=90°和∠BCD与∠DCA的倍数关系，求出两个分角的度数；再结合CD⊥AB，利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数；之后运用直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，得到CE=BE，推出∠BCE=∠B；最后计算∠ECD和∠CED的度数，证明二者相等，再利用等角对等边即可得到DE=DC。
【解析】
证明：
∵ ∠ACB=90°，∠BCD=3∠DCA，
∴ ∠DCA + 3∠DCA = 90°，解得∠DCA=22.5°，∠BCD=3×22.5°=67.5°。
∵ CD⊥AB，即∠CDB=90°，
∴ ∠B + ∠BCD = 90°，
∴ ∠B = 90° - 67.5° = 22.5°。
∵ CE是Rt△ABC斜边AB边上的中线，
∴ CE=BE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴ ∠BCE=∠B=22.5°。
∴ ∠ECD=∠BCD - ∠BCE = 67.5° - 22.5° = 45°，
∠CED=∠B + ∠BCE = 22.5° + 22.5° = 45°，
∴ ∠ECD=∠CED，
∴ DE=DC（等角对等边）。
【答案】
DE=DC，得证。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形判定，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何证明题，综合考查直角三角形和等腰三角形的相关性质，解题的核心是通过已知角的关系逐步推导待证边所在三角形的内角相等，需要熟练掌握直角三角形的性质并能灵活运用到角的计算中。
【难度系数】
0.7

4*. 一块光学直角棱镜的截面为直角三角形ABC,如图7,AB所在的面为不透光的磨砂面,∠ACB=90°,∠A=30°. 现将一束单色光从AC边上的点O入射,折射后到达AB边上的点D,恰有CD⊥AB,再经过反射后(即∠CDE=∠ODC),从E点垂直于BC射出,若光线在棱镜内部经过的路径的总长度$OD+DE=6\sqrt{3}$.
(1)$OD=$,$DE=$;
(2)求截面$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积.

4. (1) $4\sqrt{3},2\sqrt{3}$ (2)
∵ ∠ACB=∠ADC=90°, ∠A=30°

∴ ∠ACD=60° , ∠DCB=30°

∴ CD=2DE=$4\sqrt{3}$

∴ AC=2CD=$8\sqrt{3}$

∴ $AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{(8\sqrt{3} )^2-(4\sqrt{3} )^2}=12$

∵ ∠A=∠A,∠ACB=∠ADC

∴ △ABC∽△ACD

∴ $\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ACD}}=\frac{AC^2}{AD^2}$

∴ $S_{△ ABC}=32\sqrt{3}$

【分析】
(1) 首先推导角度关系：由∠ACB=90°、CD⊥AB、∠A=30°，可得∠ACD=60°、∠DCB=30°；再由DE⊥BC得∠CDE=60°，结合题意∠ODC=∠CDE，可知△OCD为等边三角形，即OD=CD；在Rt△CDE中，由30°角的性质得CD=2DE，因此OD=2DE，结合OD+DE=6√3即可求解两线段长度。
(2) 先由OD的值得CD的长，在Rt△ACD中利用30°角的性质求AC，再用勾股定理求AD；通过两角对应相等证明△ABC∽△ACD，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出△ABC的面积。
【解析】
(1)
∵ ∠ACB=90°，CD⊥AB，∠A=30°
∴ ∠ACD=90°-∠A=60°，∠DCB=90°-∠ACD=30°
∵ DE⊥BC，
∴ ∠DEC=90°，则∠CDE=90°-∠DCB=60°
由题意得∠ODC=∠CDE=60°，故△OCD中三个内角均为60°，△OCD为等边三角形
∴ OD=CD
在Rt△CDE中，∠DCE=30°，
∴ CD=2DE，即OD=2DE
又
∵ OD+DE=6√3，
∴ 2DE+DE=6√3，解得DE=2√3，OD=4√3
(2) 由(1)可知CD=OD=4√3
在Rt△ADC中，∠A=30°，
∴ AC=2CD=8√3
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{(8\sqrt{3})^2-(4\sqrt{3})^2}=12$
在△ABC和△ACD中，∠A=∠A，∠ACB=∠ADC=90°，
∴ △ABC∽△ACD
∴ $\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ACD}}=(\frac{AC}{AD})^2$
其中$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×12×4\sqrt{3}=24\sqrt{3}$，代入得：
$\frac{S_{△ ABC}}{24\sqrt{3}}=(\frac{8\sqrt{3}}{12})^2=\frac{4}{3}$，解得$S_{△ ABC}=32\sqrt{3}$
【答案】
(1) $4\sqrt{3},2\sqrt{3}$
(2) $32\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形性质，等边三角形判定，相似三角形性质
【点评】
本题综合考查了几何角度推导、特殊三角形的性质及相似三角形的应用，解题核心是先通过角度关系得到线段的数量关系，再逐步代入计算，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6