三、解答题
1. 如图6，在$□ ABCD$中，$AE:EB=1:2$.
(1)求$△ AEF$与$△ CDF$的周长比；
(2)如果$S_{△ AEF}=6\ \mathrm{cm}^2$，求$S_{△ CDF}$.

1. (1) $\frac{1}{3}$ (2) $54\ \mathrm{cm}^2$

【分析】
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知AE:EB=1:2推出AE与CD的比值；再根据平行线的性质得到△AEF和△CDF的对应角相等，判定两三角形相似。（1）问利用相似三角形周长比等于相似比求解，（2）问利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可。
【解析】
解：(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ $AB// CD$，$AB=CD$
∵ $AE:EB=1:2$
∴ $AE:AB=1:(1+2)=1:3$，即$AE:CD=1:3$
∵ $AB// CD$
∴ $∠ EAF=∠ DCF$，$∠ AEF=∠ CDF$
∴ $△ AEF ∽ △ CDF$，相似比$k=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{3}$
∵ 相似三角形的周长比等于相似比
∴ $C_{△ AEF}:C_{△ CDF}=\frac{1}{3}$
(2)
∵ $△ AEF ∽ △ CDF$
∴ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，即$S_{△ AEF}:S_{△ CDF}=k^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$
已知$S_{△ AEF}=6\ \mathrm{cm}^2$
∴ $S_{△ CDF}=9× S_{△ AEF}=9×6=54\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $54\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题关键是结合平行四边形的性质确定两个相似三角形的相似比，熟练掌握相似三角形周长、面积和相似比的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7

2. 如图7,在△ABC中,AB=3AD,DE//BC,EF//AB,AB=BC=9,AC=6.
求:(1)△ADE的周长；
(2)△ADE和△EFC的面积比.

2. (1) 8 (2) 1:4

【分析】
（1）求△ADE的周长时，首先由DE//BC可判定△ADE与△ABC相似，结合已知AB=3AD得到两个三角形的相似比，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质，先计算出△ABC的周长，即可求出△ADE的周长。
（2）求△ADE和△EFC的面积比时，先由EF//AB判定△EFC与△ABC相似，分别求出△ADE、△EFC与△ABC的相似比，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，得到两个三角形分别与大三角形的面积比，化简后即可得到二者的面积比。
【解析】
（1）先计算△ABC的周长：
已知AB=BC=9，AC=6，因此$C_{△ ABC}=AB+BC+AC=9+9+6=24$。
∵$DE// BC$，
∴$△ ADE ∽ △ ABC$，相似比$k_1=\frac{AD}{AB}$。
又
∵$AB=3AD$，
∴$k_1=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$。
根据相似三角形周长比等于相似比，可得$\frac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=k_1=\frac{1}{3}$，
因此$C_{△ ADE}=24×\frac{1}{3}=8$。
（2）
∵$EF// AB$，
∴$△ EFC ∽ △ ABC$。
由$△ ADE ∽ △ ABC$得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，因此$\frac{EC}{AC}=\frac{AC-AE}{AC}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，即$△ EFC$与△ABC的相似比$k_2=\frac{EC}{AC}=\frac{2}{3}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=k_1^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
$S_{△ EFC}:S_{△ ABC}=k_2^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
因此$S_{△ ADE}:S_{△ EFC}=\frac{1}{9}:\frac{4}{9}=1:4$。
【答案】
(1) $\boxed{8}$；(2) $\boxed{1:4}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形周长性质、相似三角形面积性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的核心是找准各相似三角形的对应相似比，结合周长、面积与相似比的关系求解，解题时注意不要混淆相似比的对应关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.75