8. (2026·安徽中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数$y=kx-1(k≠0)$的图象分别与x轴和y轴交于点A和B,与反比例函数$y=\frac{m}{x}(m≠0)$在第一象限内的图象交于点P.若$OP=OB,\frac{PA}{AB}=\frac{3}{5}$,则$m=$ ()


A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{12}{25}$
D.$\frac{25}{12}$

8. C 解析:对于一次函数 $y=kx-1$,当 $x=0$ 时,$y=-1$,
∴ $B(0,-1)$,
∴ $OB=1$.
∵ $OP=OB$,
∴ $OP=1$.如图,过点 P 作 $PD⊥ y$ 轴于 D,
∴ $OA// PD$,
∴ $\frac{OD}{OB}=\frac{PA}{AB}$,即 $\frac{OD}{1}=\frac{3}{5}$,
∴ $OD=\frac{3}{5}$,
∴ $PD=\sqrt{OP^2-OD^2}=\sqrt{1^2-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}$,
∴ $P(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$,
∴ $m=\frac{4}{5}×\frac{3}{5}=\frac{12}{25}$.

9. (2025·长春中考)将直角三角形纸片$ABC$($∠ C=90°$)按如图方式折叠两次再展开,下列结论错误的是 ()


A.$MN // DE // PQ$
B.$BC=2DE=4MN$
C.$AN=BQ=\dfrac{1}{2}NQ$
D.$\dfrac{MN}{DE}=\dfrac{DE}{PQ}=\dfrac{PQ}{BC}$

9. D 解析:由折叠可得 $DE⊥ AC,PQ⊥ AC,MN⊥ AC,AM=MD=DP=PC$,
∴ $MN// DE// PQ// BC$,故 A 正确,不符合题意;
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$,$\frac{MN}{DE}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}$,
∴ $BC=2DE,DE=2MN$,
∴ $BC=2DE=4MN$,故 B 正确,不符合题意;
∵ $MN// PQ// BC$,
∴ $\frac{PC}{AC}=\frac{BQ}{AB}=\frac{1}{4}$,$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}=\frac{1}{4}$,$\frac{PM}{AC}=\frac{QN}{AB}=\frac{1}{2}$,
∴ $BQ=AN=\frac{1}{4}AB,QN=\frac{1}{2}AB$,
∴ $AN=BQ=\frac{1}{2}NQ$,故 C 正确,不符合题意;
∵ $MN// DE// PQ// BC$,
∴ $\frac{MN}{DE}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}$,$\frac{DE}{PQ}=\frac{AD}{AP}=\frac{2}{3}$,$\frac{PQ}{BC}=\frac{AP}{AC}=\frac{3}{4}$,
∴ $\frac{MN}{DE}≠\frac{DE}{PQ}≠\frac{PQ}{BC}$,故 D 错误,符合题意.故选 D.

10. (2025·泰州模拟)如图,在$3×4$的正方形网格中,A,B,C为格点,点D为AB与网格的交点,连接CD,交过点A的水平格线于点E.若小正方形边长为1,则$CE=$.

10. $\frac{\sqrt{61}}{3}$ 解析:如图所示,由 AB 在网格中的位置,可知 $MD=ND=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}$,
∴ $DF=DN+FN=\frac{5}{2}$,在 $Rt△CDF$ 中,$CD=\sqrt{DF^2+CF^2}=\sqrt{3^2+(\frac{5}{2})^2}=\frac{\sqrt{61}}{2}$.
∵ $EG// DF$,
∴ $\frac{CE}{CD}=\frac{CG}{CF}=\frac{2}{3}$,
∴ $\frac{CE}{\frac{\sqrt{61}}{2}}=\frac{2}{3}$,解得 $CE=\frac{\sqrt{61}}{3}$.

11. (1)如图①，AD是$△ ABC$的中线，$AE=EF=FC$，则$\frac{AG}{AD}=$，$\frac{GE}{BE}=$.

(2)如图②，在$△ ABC$中，点E在BC上，且$BE=3EC$.D是AC的中点，AE，BD交于点F，则$\frac{AF}{EF}$的值为.

11. (1) $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ 解析:
∵ AD 是 $△ ABC$ 的中线,$EF=FC$,
∴ $DF// BE$,
∴ $DF=\frac{1}{2}BE$.又
∵ $AE=EF$,
∴ $AG=GD$,
∴ $\frac{AG}{AD}=\frac{1}{2}$.
∵ $AE=EF,AG=GD$,
∴ $GE=\frac{1}{2}DF$,
∴ $\frac{GE}{BE}=\frac{1}{4}$.
(2) $\frac{4}{3}$ 解析:过点 E 作 $EH// AC$ 交 BD 于点 H,如图.
∵ $EH// CD$,
∴ $\frac{EH}{CD}=\frac{BE}{BC}$.
∵ $BE=3EC$,
∴ $\frac{EH}{CD}=\frac{3EC}{4EC}=\frac{3}{4}$.
∵ D 是 AC 的中点,
∴ $AD=CD$,
∴ $\frac{EH}{AD}=\frac{3}{4}$.
∵ $EH// AD$,
∴ $\frac{AF}{EF}=\frac{AD}{EH}=\frac{4}{3}$.

12. (2026·亳州期中)如图,在$△ ABC$中,点D, E分别为BC,AC边上的点,连接DE并延长交BA的延长线于点F,且$BD=DC$.
(1)求证:$\frac{AE}{EC}=\frac{FA}{FB}$;
(2)若$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$,$AF=10$,求AB的长.

12. (1)如图,过点 A 作 $AM// DF$ 交 BC 于点 M,
∵ $AM// DF$,
∴ $\frac{AE}{EC}=\frac{MD}{DC}$,$\frac{FA}{FB}=\frac{MD}{BD}$.
∵ $BD=DC$,
∴ $\frac{AE}{EC}=\frac{FA}{FB}$.
(2)
∵ $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$,
∴ $\frac{AE}{EC}=\frac{1}{3}$,由(1)得 $\frac{AE}{EC}=\frac{FA}{FB}=\frac{1}{3}$.又
∵ $FA=10$,
∴ $FB=3FA=30$,
∴ $AB=FB-FA=30-10=20$.