13. (2024·威海中考)如图,已知AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且BC=CD.点E是线段AB延长线上一点,连接EC并延长交射线AD于点F.∠FEG的平分线EH交射线AC于点H,∠H=45°.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若BE=2,CE=4,求AF的长.

13. (1)如图,连接 OC,则 $∠ OAC=∠ OCA$.又
∵ $BC=CD$,
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ $∠ DAC=∠ CAB=\frac{1}{2}∠ DAB$,
∴ $∠ DAC=∠ OCA$,
∴ $OC// AD$,
∴ $∠ OCE=∠ F$.
∵ EH 平分 $∠ FEG$,
∴ $∠ FEG=2∠ HEG$,
∴ $∠ F=∠ FEG-∠ FAE=2∠ HEG-2∠ CAB=2(∠ HEG-∠ CAB)=2∠ H=2×45°=90°$,
∴ $∠ OCE=∠ F=90°$.又
∵ OC 是半径,
∴ EF 是⊙O 的切线.
(2)设⊙O 的半径为 r,则 $OE=OB+BE=r+2$.
∵ $OC^2+CE^2=OE^2$,即 $r^2+4^2=(r+2)^2$,解得 $r=3$,
∴ $EA=AB+BE=2r+2=8$,$OE=5$.又
∵ $OC// AD$,
∴ $\frac{EA}{OE}=\frac{AF}{OC}$,即 $\frac{8}{5}=\frac{AF}{3}$,解得 $AF=\frac{24}{5}$.

14. 新趋势 过程性学习（2026·烟台期中）阅读材料，并解决问题.
角平分线分线段成比例定理: 如图①, 在$△ ABC$中, $AD$平分$∠ BAC$, 则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.下面是这个定理的部分证明过程.
证明: 如图②, 过点$C$作$CE // DA$, 交$BA$的延长线于点$E$.
……
任务:
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)填空:如图③,已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=3$,$BC=4$,$∠ ABC=90°$,$AD$平分$∠ BAC$,则$△ ABD$的周长是;
(3)如图④,在$△ ABC$中,$E$是$BC$的中点,$AD$是$∠ BAC$的平分线,$EF // AD$交$AC$于点$F$,$AB=7$,$AC=15$,求$AF$的长.

14. (1)
∵ $CE// AD$,
∴ $\frac{BD}{CD}=\frac{BA}{EA}$,$∠ 2=∠ ACE$,$∠ 1=∠ E$.
∵ $∠ 1=∠ 2$,
∴ $∠ ACE=∠ E$,
∴ $AE=AC$,
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
(2) $\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$ 解析:
∵ $AB=3$,$BC=4$,$∠ ABC=90°$,
∴ $AC=5$.
∵ AD 平分 $∠ BAC$,
∴ $\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$,即 $\frac{5}{3}=\frac{CD}{BD}$,
∴ $BD=\frac{3}{8}BC=\frac{3}{2}$,
∴ $AD=\sqrt{BD^2+AB^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$,
∴ $△ ABD$ 的周长 $=\frac{3\sqrt{5}}{2}+3+\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$.
(3)
∵ AD 是 $∠ BAC$ 的平分线,$AB=7$,$AC=15$,
∴ $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{7}{15}$.
∵ E 是 BC 的中点,
∴ $\frac{CE}{CD}=\frac{\frac{7+15}{2}}{15}=\frac{11}{15}$.
∵ $EF// AD$,
∴ $\frac{CF}{CA}=\frac{CE}{CD}=\frac{11}{15}$,
∴ $CF=\frac{11}{15}CA=11$.
∵ $AC=15$,
∴ $AF=4$.