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1. 中华传统文化猜灯谜 某校元宵节猜灯谜的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼(如图),在灯笼的侧面上,从顶点A到顶点$A'$缠绕一圈彩带.已知此灯笼的高为50 cm,底面边长为40 cm,则这圈彩带的长度至少为 (
A.50 cm
B.120 cm
C.130 cm
D.150 cm
C
)A.50 cm
B.120 cm
C.130 cm
D.150 cm
答案
1. C
解析
【分析】
要计算立体图形表面的最短路径长度，需先将立体图形的侧面展开为平面图形，把立体上的曲线路径转化为平面内两点间的线段，依据“两点之间线段最短”确定最短路径，再用勾股定理计算线段长度即可。本题中灯笼是底面为等边三角形的正三棱柱，缠绕一圈彩带的最短路径，对应侧面展开后长方形的对角线长度。
【解析】
将正三棱柱的侧面沿AA'展开，得到一个长方形：
1. 计算展开后长方形的长：底面等边三角形的周长为 $ 3×40=120\ \mathrm{cm} $，即长方形的长为120cm；
2. 展开后长方形的宽等于灯笼的高，为50cm；
3. 根据两点之间线段最短，最短彩带长度为长方形的对角线长，由勾股定理得：
$ \mathrm{长度}=\sqrt{120^2+50^2}=\sqrt{14400+2500}=\sqrt{16900}=130\ \mathrm{cm} $。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题、勾股定理、立体图形展开
【点评】
本题结合生活实际考查数学知识的应用，解题的核心是掌握将立体图形表面最短路径转化为平面内线段长度的思路，能很好地考查学生的空间想象能力和公式应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算立体图形表面的最短路径长度，需先将立体图形的侧面展开为平面图形，把立体上的曲线路径转化为平面内两点间的线段，依据“两点之间线段最短”确定最短路径，再用勾股定理计算线段长度即可。本题中灯笼是底面为等边三角形的正三棱柱，缠绕一圈彩带的最短路径，对应侧面展开后长方形的对角线长度。
【解析】
将正三棱柱的侧面沿AA'展开，得到一个长方形：
1. 计算展开后长方形的长：底面等边三角形的周长为 $ 3×40=120\ \mathrm{cm} $，即长方形的长为120cm；
2. 展开后长方形的宽等于灯笼的高，为50cm；
3. 根据两点之间线段最短，最短彩带长度为长方形的对角线长，由勾股定理得：
$ \mathrm{长度}=\sqrt{120^2+50^2}=\sqrt{14400+2500}=\sqrt{16900}=130\ \mathrm{cm} $。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题、勾股定理、立体图形展开
【点评】
本题结合生活实际考查数学知识的应用，解题的核心是掌握将立体图形表面最短路径转化为平面内线段长度的思路，能很好地考查学生的空间想象能力和公式应用能力。
【难度系数】
0.7
2. 真实情境题 日常生活 如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘$AB=CD=16$，点$E$在$CD$上，$CE=4$. 一名滑雪爱好者从$A$点滑到$E$点时，他滑行的最短路程约为
15
($π$取3).答案
2. 15
解析
【分析】
要计算曲面上从A到E的最短路程，需先将半圆柱的侧面展开为平面图形，将曲面路径转化为平面上的线段距离，根据“两点之间线段最短”，结合勾股定理即可求解。第一步先计算半圆柱侧面展开后对应的边长（即半圆的弧长），第二步确定展开后A、E两点的水平与垂直距离，第三步代入勾股公式计算线段长度。
【解析】
第一步：求滑行侧面展开后的宽（即半圆的弧长）
已知半圆半径$ r=3 $，半圆弧长为圆周长的一半，即：
$ l = π r = 3×3 = 9 $
第二步：确定展开后A、E两点沿长度方向的距离
已知$ CD=16 $，$ CE=4 $，则$ DE = CD - CE = 16 - 4 = 12 $
第三步：展开后A、E两点的最短路径为直角三角形的斜边，两条直角边分别为9和12，由勾股定理得：
$ AE = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 $
【答案】
15
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，弧长计算
【点评】
本题结合滑雪场U型池的生活情境，考查了立体图形转化为平面图形求解最短路径的思想，需要准确找到展开后各边对应的长度，再结合勾股定理计算，解题关键是掌握曲面展开为平面的转化方法。
【难度系数】
0.7
要计算曲面上从A到E的最短路程，需先将半圆柱的侧面展开为平面图形，将曲面路径转化为平面上的线段距离，根据“两点之间线段最短”，结合勾股定理即可求解。第一步先计算半圆柱侧面展开后对应的边长（即半圆的弧长），第二步确定展开后A、E两点的水平与垂直距离，第三步代入勾股公式计算线段长度。
【解析】
第一步：求滑行侧面展开后的宽（即半圆的弧长）
已知半圆半径$ r=3 $，半圆弧长为圆周长的一半，即：
$ l = π r = 3×3 = 9 $
第二步：确定展开后A、E两点沿长度方向的距离
已知$ CD=16 $，$ CE=4 $，则$ DE = CD - CE = 16 - 4 = 12 $
第三步：展开后A、E两点的最短路径为直角三角形的斜边，两条直角边分别为9和12，由勾股定理得：
$ AE = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 $
【答案】
15
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，弧长计算
【点评】
本题结合滑雪场U型池的生活情境，考查了立体图形转化为平面图形求解最短路径的思想，需要准确找到展开后各边对应的长度，再结合勾股定理计算，解题关键是掌握曲面展开为平面的转化方法。
【难度系数】
0.7
3. [2026郑州金水区期末] 如图，正方体的棱长为2 cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点.一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径的平方是
10
cm².答案
3. 10
解析
【分析】
解决正方体表面爬行的最短路径问题，核心思路是“化曲为直”：把蚂蚁爬行经过的两个相邻面展开到同一平面内，根据两点之间线段最短，此时两点的连线长度就是最短路径；再构造直角三角形，利用勾股定理计算路径长度的平方，同时对比不同展开方式的结果，选出最小的数值即可。
【解析】
将包含点A的正面和包含点B的右侧面展开到同一平面，此时A、B两点共面，连接AB，该线段即为最短爬行路径。
已知正方体棱长为2cm，B是侧面正方形对角线的交点，因此B到侧面与正面公共棱的水平距离为$2÷2=1\mathrm{cm}$，B到下底面的竖直距离为$2÷2=1\mathrm{cm}$。
展开后所得直角三角形的两条直角边长度分别为：水平方向$2+1=3\mathrm{cm}$，竖直方向$1\mathrm{cm}$。
根据勾股定理，最短路径的平方为$3^2+1^2=9+1=10\mathrm{cm}^2$。
（若尝试其他展开方式，如将A所在的下底面和B所在的右侧面展开，得到的路径平方为$2^2+3^2=13＞10$，因此最短路径平方为10。）
【答案】
10
【知识点】
两点之间线段最短，勾股定理，立体图形表面展开
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题，解题的关键是掌握将立体表面展开为平面的方法，结合勾股定理计算，注意要枚举所有可能的展开路径，避免漏算得到错误的最小值。
【难度系数】
0.7
解决正方体表面爬行的最短路径问题，核心思路是“化曲为直”：把蚂蚁爬行经过的两个相邻面展开到同一平面内，根据两点之间线段最短，此时两点的连线长度就是最短路径；再构造直角三角形，利用勾股定理计算路径长度的平方，同时对比不同展开方式的结果，选出最小的数值即可。
【解析】
将包含点A的正面和包含点B的右侧面展开到同一平面，此时A、B两点共面，连接AB，该线段即为最短爬行路径。
已知正方体棱长为2cm，B是侧面正方形对角线的交点，因此B到侧面与正面公共棱的水平距离为$2÷2=1\mathrm{cm}$，B到下底面的竖直距离为$2÷2=1\mathrm{cm}$。
展开后所得直角三角形的两条直角边长度分别为：水平方向$2+1=3\mathrm{cm}$，竖直方向$1\mathrm{cm}$。
根据勾股定理，最短路径的平方为$3^2+1^2=9+1=10\mathrm{cm}^2$。
（若尝试其他展开方式，如将A所在的下底面和B所在的右侧面展开，得到的路径平方为$2^2+3^2=13＞10$，因此最短路径平方为10。）
【答案】
10
【知识点】
两点之间线段最短，勾股定理，立体图形表面展开
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题，解题的关键是掌握将立体表面展开为平面的方法，结合勾股定理计算，注意要枚举所有可能的展开路径，避免漏算得到错误的最小值。
【难度系数】
0.7
4.如图,四边形ABCD是一块长方形地面,AB=20 dm,AD=10 dm,中间有一堵墙,高MN=2 dm,蚂蚁从点A爬到点C,必须翻过中间这堵墙,则它至少要爬
26
dm.答案
4. 26
解析
【分析】
要解决蚂蚁翻过墙的最短路径问题，我们采用转化思想，将翻墙的立体路径转化为平面路径：蚂蚁翻过墙需要先爬上墙再下墙，相当于把墙展开到长方形地面所在平面时，地面的总长度会增加2倍的墙高MN，此时问题就转化为求展开后长方形的对角线长度，依据两点之间线段最短，再用勾股定理计算即可。
【解析】
解：将中间的墙展开到长方形ABCD所在的平面，此时展开后图形的长为：
$AB + 2MN = 20 + 2×2 = 24(\mathrm{dm})$
宽仍为$AD = 10\ \mathrm{dm}$
根据两点之间线段最短，蚂蚁从A到C的最短路径为展开后长方形的对角线长，由勾股定理得：
最短路径长度 $= \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26(\mathrm{dm})$
【答案】
26
【知识点】
勾股定理的应用，最短路径问题，平面展开
【点评】
本题核心是利用转化思想，将立体的翻越问题转化为平面的最短路径问题，正确得到展开后图形的边长是解题的关键，再结合勾股定理即可求出结果。
【难度系数】
0.6
要解决蚂蚁翻过墙的最短路径问题，我们采用转化思想，将翻墙的立体路径转化为平面路径：蚂蚁翻过墙需要先爬上墙再下墙，相当于把墙展开到长方形地面所在平面时，地面的总长度会增加2倍的墙高MN，此时问题就转化为求展开后长方形的对角线长度，依据两点之间线段最短，再用勾股定理计算即可。
【解析】
解：将中间的墙展开到长方形ABCD所在的平面，此时展开后图形的长为：
$AB + 2MN = 20 + 2×2 = 24(\mathrm{dm})$
宽仍为$AD = 10\ \mathrm{dm}$
根据两点之间线段最短，蚂蚁从A到C的最短路径为展开后长方形的对角线长，由勾股定理得：
最短路径长度 $= \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26(\mathrm{dm})$
【答案】
26
【知识点】
勾股定理的应用，最短路径问题，平面展开
【点评】
本题核心是利用转化思想，将立体的翻越问题转化为平面的最短路径问题，正确得到展开后图形的边长是解题的关键，再结合勾股定理即可求出结果。
【难度系数】
0.6
5.[2026青岛期中]如图,由20个棱长为1的小正方体搭成一个组合体,蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长的平方是
41
. 答案
5. 41
解析
【分析】
要解决蚂蚁在立体组合体表面爬行的最短路线问题，核心思路是把立体问题转化为平面问题求解：首先根据“两点之间线段最短”，我们需要将组合体相邻的两个面展开成同一个平面，此时A、B两点的连线长度就是该展开方式下的最短路线长度，再用勾股定理计算路线长度的平方。首先先明确从A到B在三个互相垂直的方向上分别要走的长度：沿水平长的方向走4个单位，沿纵深宽的方向走2个单位，沿竖直高的方向走3个单位。接下来分类讨论三种不同的面展开方式，计算每种方式下的路线长度平方，取最小值即为答案。
【解析】
蚂蚁沿组合体表面爬行，将相邻面展开为平面后，共有三种展开情况：
1. 把长、宽所在的面拼接，此时直角三角形两条直角边长度分别为$4+2=6$、$3$，路线长的平方为$6^2+3^2=36+9=45$；
2. 把长、高所在的面拼接，此时直角三角形两条直角边长度分别为$4+3=7$、$2$，路线长的平方为$7^2+2^2=49+4=53$；
3. 把宽、高所在的面拼接，此时直角三角形两条直角边长度分别为$2+3=5$、$4$，路线长的平方为$5^2+4^2=25+16=41$。
对比三个结果，$41＜45＜53$，因此最短路线长的平方是41。
【答案】
41
【知识点】
1. 两点之间线段最短；2. 勾股定理应用；3. 立体图形表面展开
【点评】
本题考查立体图形表面最短路径的求解，解题关键是掌握“化立体为平面”的思想，通过分类讨论不同的展开方式，结合勾股定理计算比较得到最小值，解题时注意不要遗漏可能的展开情况。
【难度系数】
0.6
要解决蚂蚁在立体组合体表面爬行的最短路线问题，核心思路是把立体问题转化为平面问题求解：首先根据“两点之间线段最短”，我们需要将组合体相邻的两个面展开成同一个平面，此时A、B两点的连线长度就是该展开方式下的最短路线长度，再用勾股定理计算路线长度的平方。首先先明确从A到B在三个互相垂直的方向上分别要走的长度：沿水平长的方向走4个单位，沿纵深宽的方向走2个单位，沿竖直高的方向走3个单位。接下来分类讨论三种不同的面展开方式，计算每种方式下的路线长度平方，取最小值即为答案。
【解析】
蚂蚁沿组合体表面爬行，将相邻面展开为平面后，共有三种展开情况：
1. 把长、宽所在的面拼接，此时直角三角形两条直角边长度分别为$4+2=6$、$3$，路线长的平方为$6^2+3^2=36+9=45$；
2. 把长、高所在的面拼接，此时直角三角形两条直角边长度分别为$4+3=7$、$2$，路线长的平方为$7^2+2^2=49+4=53$；
3. 把宽、高所在的面拼接，此时直角三角形两条直角边长度分别为$2+3=5$、$4$，路线长的平方为$5^2+4^2=25+16=41$。
对比三个结果，$41＜45＜53$，因此最短路线长的平方是41。
【答案】
41
【知识点】
1. 两点之间线段最短；2. 勾股定理应用；3. 立体图形表面展开
【点评】
本题考查立体图形表面最短路径的求解，解题关键是掌握“化立体为平面”的思想，通过分类讨论不同的展开方式，结合勾股定理计算比较得到最小值，解题时注意不要遗漏可能的展开情况。
【难度系数】
0.6
6.如图，圆柱的底面半径为2 cm，高为 $9π$ cm，A，B两点分别在圆柱两个底面的圆周上，且在同一母线上，用一根棉线从点A顺着圆柱侧面绕3圈到点B，棉线最短需要
15π
cm(结果保留π)。答案
6. 15π 【点拨】圆柱体的展开图如图所示,用一根棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是:AC→CD→DB.在圆柱体的展开图长方形中,将长方形平均分成3个小长方形,A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短.因为圆柱底面半径为2 cm,所以长方形的宽即是圆柱体的底面周长:2π×2=4π(cm).因为圆柱高为9π cm,所以小长方形的一条边长是9π÷3=3π(cm).根据勾股定理求得AC=CD=DB=5π(cm),所以 AC + CD + DB = 15π(cm).
解析
【分析】
要解决圆柱侧面绕线的最短路径问题，需用到“化曲为直”的思想，将圆柱侧面展开为平面图形，利用两点之间线段最短的原理求解。由于棉线需要绕3圈，因此把展开后的长方形沿着高的方向平均分成3个完全相同的小长方形，每个小长方形对应绕圆柱1圈的侧面展开图，棉线的最短路径就是3个小长方形的对角线长度之和。接下来先计算圆柱底面周长（即展开长方形的长），再计算每个小长方形的高，最后用勾股定理求出单段对角线长度，乘3即可得到总长度。
【解析】
1. 计算圆柱底面周长（侧面展开后长方形的长）：
已知圆柱底面半径为2 cm，根据圆的周长公式，底面周长$C=2πr=2π×2=4π$（cm）。
2. 计算单个小长方形的高：
圆柱总高为$9π$ cm，棉线绕3圈，因此每个小长方形的高为$9π÷3=3π$（cm）。
3. 用勾股定理计算单个小长方形的对角线长度：
对角线长度$l=\sqrt{(4π)^2+(3π)^2}=\sqrt{16π^2+9π^2}=\sqrt{25π^2}=5π$（cm）。
4. 计算棉线最短总长度：
总长度为3段对角线长度之和，即$3×5π=15π$（cm）。
【答案】
15π
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径计算
【点评】
本题核心是将立体图形的路径问题转化为平面图形的线段长度问题，易错点是处理多圈绕线时不会正确拆分展开图，掌握“绕n圈就将侧面展开图沿高分为n个小长方形，最短路径为n个小长方形对角线之和”的规律，结合勾股定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
要解决圆柱侧面绕线的最短路径问题，需用到“化曲为直”的思想，将圆柱侧面展开为平面图形，利用两点之间线段最短的原理求解。由于棉线需要绕3圈，因此把展开后的长方形沿着高的方向平均分成3个完全相同的小长方形，每个小长方形对应绕圆柱1圈的侧面展开图，棉线的最短路径就是3个小长方形的对角线长度之和。接下来先计算圆柱底面周长（即展开长方形的长），再计算每个小长方形的高，最后用勾股定理求出单段对角线长度，乘3即可得到总长度。
【解析】
1. 计算圆柱底面周长（侧面展开后长方形的长）：
已知圆柱底面半径为2 cm，根据圆的周长公式，底面周长$C=2πr=2π×2=4π$（cm）。
2. 计算单个小长方形的高：
圆柱总高为$9π$ cm，棉线绕3圈，因此每个小长方形的高为$9π÷3=3π$（cm）。
3. 用勾股定理计算单个小长方形的对角线长度：
对角线长度$l=\sqrt{(4π)^2+(3π)^2}=\sqrt{16π^2+9π^2}=\sqrt{25π^2}=5π$（cm）。
4. 计算棉线最短总长度：
总长度为3段对角线长度之和，即$3×5π=15π$（cm）。
【答案】
15π
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径计算
【点评】
本题核心是将立体图形的路径问题转化为平面图形的线段长度问题，易错点是处理多圈绕线时不会正确拆分展开图，掌握“绕n圈就将侧面展开图沿高分为n个小长方形，最短路径为n个小长方形对角线之和”的规律，结合勾股定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
7. 如图,一个圆柱形容器的高为8 dm,底面半径为$\frac{9}{π}$ dm,在容器内壁中点B处有一只蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁的底部与蚊子相对的点A处,壁虎捕捉蚊子的最短距离为
(容器厚度忽略不计)
15
dm.(容器厚度忽略不计)
答案
7. 15 【点拨】如图,将圆柱形容器侧面展开,作点B关于直线EF的对称点D,连接AD,易知AD为壁虎捕捉蚊子的最短距离.由题意易得,AC=2π×$\frac{9}{π}$×$\frac{1}{2}$=9(dm),$CD=8+\frac{1}{2}×8=12$ (dm). 在Rt△ACD中,由勾股定理得 $AD^2=AC^2+DC^2=9^2+12^2=15^2$,所以AD=15 dm,即壁虎捕捉蚊子的最短距离为15 dm.
解析
【分析】
要解这道圆柱上两点最短路径的题，可按以下思路思考：①曲面上的最短路径问题需转化为平面问题解决，因此首先要把圆柱侧面展开为矩形；②由于壁虎在容器外壁、蚊子在容器内壁，路径需要翻过容器上沿，因此要作点B关于展开图上边缘的对称点，把“外壁到上沿再到内壁”的路径转化为平面上两点之间的线段，保证路径最短；③最终所求线段是直角三角形的斜边，计算出两条直角边的长度后，用勾股定理即可求出最短距离。
【解析】
将圆柱形容器侧面展开为矩形，作点B关于矩形上边缘EF的对称点D，连接AD，此时AD的长度就是壁虎捕捉蚊子的最短距离。
1. 计算AC的长度：圆柱底面周长为$2π r=2π×\frac{9}{π}=18\ \mathrm{dm}$，点A和点B是底面圆周上的相对点，因此展开后AC为底面半周长，即$AC=\frac{1}{2}×18=9\ \mathrm{dm}$。
2. 计算CD的长度：圆柱高为8dm，点B是容器内壁中点，因此点B到上边缘的距离为$\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{dm}$，由对称性质可知点D到上边缘的距离也为4dm，因此$CD=8+4=12\ \mathrm{dm}$。
3. 在$Rt△ ACD$中，根据勾股定理：$AD^2=AC^2+CD^2=9^2+12^2=81+144=225$，解得$AD=15\ \mathrm{dm}$。
【答案】
15
【知识点】
圆柱侧面展开；轴对称的性质；勾股定理
【点评】
本题是立体图形最短路径的经典题型，核心解题思路是化曲面为平面，结合轴对称转化路径，再用勾股定理计算长度。易错点为容易忽略内外侧的路径限制忘记作对称点，或是误将底面周长直接作为直角边长度计算。
【难度系数】
0.6
要解这道圆柱上两点最短路径的题，可按以下思路思考：①曲面上的最短路径问题需转化为平面问题解决，因此首先要把圆柱侧面展开为矩形；②由于壁虎在容器外壁、蚊子在容器内壁，路径需要翻过容器上沿，因此要作点B关于展开图上边缘的对称点，把“外壁到上沿再到内壁”的路径转化为平面上两点之间的线段，保证路径最短；③最终所求线段是直角三角形的斜边，计算出两条直角边的长度后，用勾股定理即可求出最短距离。
【解析】
将圆柱形容器侧面展开为矩形，作点B关于矩形上边缘EF的对称点D，连接AD，此时AD的长度就是壁虎捕捉蚊子的最短距离。
1. 计算AC的长度：圆柱底面周长为$2π r=2π×\frac{9}{π}=18\ \mathrm{dm}$，点A和点B是底面圆周上的相对点，因此展开后AC为底面半周长，即$AC=\frac{1}{2}×18=9\ \mathrm{dm}$。
2. 计算CD的长度：圆柱高为8dm，点B是容器内壁中点，因此点B到上边缘的距离为$\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{dm}$，由对称性质可知点D到上边缘的距离也为4dm，因此$CD=8+4=12\ \mathrm{dm}$。
3. 在$Rt△ ACD$中，根据勾股定理：$AD^2=AC^2+CD^2=9^2+12^2=81+144=225$，解得$AD=15\ \mathrm{dm}$。
【答案】
15
【知识点】
圆柱侧面展开；轴对称的性质；勾股定理
【点评】
本题是立体图形最短路径的经典题型，核心解题思路是化曲面为平面，结合轴对称转化路径，再用勾股定理计算长度。易错点为容易忽略内外侧的路径限制忘记作对称点，或是误将底面周长直接作为直角边长度计算。
【难度系数】
0.6
8. 新考法分类讨论法 如图,一圆柱高 20 cm,底面周长是 12 cm,一只螳螂在 AB 的中点 E 处,一只昆虫在 CD 的某处,螳螂以最快的速度、最短的爬行距离捕捉到了昆虫,螳螂共爬行了 10 cm,那么此时昆虫离点 C 的距离为多少厘米?
答案
8. 【解】沿AB把圆柱的侧面展开,如图所示.
①设昆虫在CD边上的F处,过F作AB的垂线,垂足为M,连接EF,则EF为最短爬行距离,根据题意知,AC=$\frac{1}{2}AA'=\frac{1}{2}×12=6$ (cm),$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10$ (cm).易得MF=AC=6 cm,EF=10 cm,所以由勾股定理得ME=8 cm.
所以易得FC=MA=EA-EM=10-8=2(cm);
②设昆虫在CD边上的$F'$处,过$F'$作AB的垂线,垂足为N,连接$EF'$,则$EF'$为最短爬行距离,
同理可得,EN=8 cm,所以易得$F'C=NA=NE+EA=8+10=18$(cm).综上所述,昆虫离点C的距离为2 cm或18 cm.
解析
【分析】
解决圆柱表面最短爬行路径问题，首先要将圆柱侧面沿高展开为长方形，把立体问题转化为平面几何问题，利用“两点之间线段最短”确定最短路径为两点连线。本题中昆虫在CD上的位置不确定，需分两种情况讨论，再结合已知的爬行距离，通过勾股定理计算相关线段长度，最终得到昆虫到点C的距离。
【解析】
沿AB把圆柱的侧面展开，得到长方形ABB'A'。
①设昆虫在CD边上的F处，过F作AB的垂线，垂足为M，连接EF，则EF为最短爬行距离。
由题意得：底面半周长$AC=\frac{1}{2}AA'=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$，E是AB中点，故$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10\ \mathrm{cm}$。
易得$MF=AC=6\ \mathrm{cm}$，已知$EF=10\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ EMF$中，由勾股定理得：
$ME=\sqrt{EF^2-MF^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\ \mathrm{cm}$
因此$FC=MA=EA-EM=10-8=2\ \mathrm{cm}$。
②设昆虫在CD边上的$F'$处，过$F'$作AB的垂线，垂足为N，连接$EF'$，则$EF'$为最短爬行距离。
同理可得，在$\mathrm{Rt}△ ENF'$中，$EN=8\ \mathrm{cm}$，因此$F'C=NA=NE+EA=8+10=18\ \mathrm{cm}$。
综上，昆虫离点C的距离为2 cm或18 cm。
【答案】
昆虫离点C的距离为2 cm或18 cm。
【知识点】
1. 圆柱侧面展开图
2. 勾股定理的应用
3. 最短路径问题
【点评】
本题将立体几何的最短路径问题转化为平面几何问题求解，核心解题思想是转化思想，同时需要结合点位置的不确定性进行分类讨论，避免漏解，能够有效考查空间想象能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
解决圆柱表面最短爬行路径问题，首先要将圆柱侧面沿高展开为长方形，把立体问题转化为平面几何问题，利用“两点之间线段最短”确定最短路径为两点连线。本题中昆虫在CD上的位置不确定，需分两种情况讨论，再结合已知的爬行距离，通过勾股定理计算相关线段长度，最终得到昆虫到点C的距离。
【解析】
沿AB把圆柱的侧面展开，得到长方形ABB'A'。
①设昆虫在CD边上的F处，过F作AB的垂线，垂足为M，连接EF，则EF为最短爬行距离。
由题意得：底面半周长$AC=\frac{1}{2}AA'=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$，E是AB中点，故$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10\ \mathrm{cm}$。
易得$MF=AC=6\ \mathrm{cm}$，已知$EF=10\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ EMF$中，由勾股定理得：
$ME=\sqrt{EF^2-MF^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\ \mathrm{cm}$
因此$FC=MA=EA-EM=10-8=2\ \mathrm{cm}$。
②设昆虫在CD边上的$F'$处，过$F'$作AB的垂线，垂足为N，连接$EF'$，则$EF'$为最短爬行距离。
同理可得，在$\mathrm{Rt}△ ENF'$中，$EN=8\ \mathrm{cm}$，因此$F'C=NA=NE+EA=8+10=18\ \mathrm{cm}$。
综上，昆虫离点C的距离为2 cm或18 cm。
【答案】
昆虫离点C的距离为2 cm或18 cm。
【知识点】
1. 圆柱侧面展开图
2. 勾股定理的应用
3. 最短路径问题
【点评】
本题将立体几何的最短路径问题转化为平面几何问题求解，核心解题思想是转化思想，同时需要结合点位置的不确定性进行分类讨论，避免漏解，能够有效考查空间想象能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
