1. (2025·重庆)反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$的图象一定经过的点是（）

A.(2,6)
B.(-4,-3)
C.(-3,-4)
D.(6,-2)

1. D

【分析】
要判断一个点是否在反比例函数的图象上，可利用反比例函数解析式的变形验证。反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），可变形为$xy=k$，即只要点的横坐标与纵坐标的乘积等于比例系数$k$，该点就在反比例函数的图象上。本题中$k=-12$，只需逐一计算各选项中点的横、纵坐标的乘积，判断是否等于$-12$即可得到答案。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=-\dfrac{12}{x}$，变形可得$xy=-12$，即图象上所有点的横、纵坐标乘积为$-12$，对各选项逐一验证：
A选项：$2×6=12≠-12$，该点不在函数图象上；
B选项：$(-4)×(-3)=12≠-12$，该点不在函数图象上；
C选项：$(-3)×(-4)=12≠-12$，该点不在函数图象上；
D选项：$6×(-2)=-12$，符合$xy=-12$，该点在函数图象上。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，解题核心是掌握反比例函数解析式的变形$xy=k$，通过计算横纵坐标的乘积即可快速判断点是否在反比例函数图象上，解题时注意避免符号运算错误。
【难度系数】
0.9

2. 平面直角坐标系中，点$P$，$Q$在同一反比例函数图象上的是 （）

A.$P(-2,-3),Q(3,-2)$
B.$P(2,-3),Q(3,2)$
C.$P(2,3),Q(-4,-\dfrac{3}{2})$
D.$P(-2,3),Q(-3,-2)$

2. C

【分析】
要解决这个问题，首先回忆反比例函数的基本性质：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），变形可得$k=xy$，也就是说，同一反比例函数图象上的任意一点的横、纵坐标的乘积都等于常数$k$。因此我们只需要分别计算每个选项中两个点的横、纵坐标的乘积，若乘积相等，说明两点对应的$k$值相同，就在同一反比例函数图象上。
【解析】
根据反比例函数的性质，若点在反比例函数图象上，则该点横、纵坐标的乘积等于比例系数$k$，同一反比例函数的$k$值固定不变，因此只需判断各选项中两点的横纵坐标乘积是否相等即可：
选项A：$P$点乘积：$(-2)×(-3)=6$，$Q$点乘积：$3×(-2)=-6$，$6≠-6$，两点不在同一反比例函数图象上；
选项B：$P$点乘积：$2×(-3)=-6$，$Q$点乘积：$3×2=6$，$-6≠6$，两点不在同一反比例函数图象上；
选项C：$P$点乘积：$2×3=6$，$Q$点乘积：$(-4)×(-\frac{3}{2})=6$，$6=6$，两点在同一反比例函数图象上；
选项D：$P$点乘积：$(-2)×3=-6$，$Q$点乘积：$(-3)×(-2)=6$，$-6≠6$，两点不在同一反比例函数图象上。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握“同一反比例函数图象上所有点的横纵坐标乘积相等”这一结论，即可快速解题，无需额外求解函数解析式。
【难度系数】
0.8

3. 若点$ A(x_1, -2) $，$ B(x_2, 1) $，$ C(x_3, 2) $都在反比例函数$ y = -\dfrac{2}{x} $的图象上，则$ x_1, x_2, x_3 $的大小关系是（）

A.$ x_3 ＜ x_2 ＜ x_1 $
B.$ x_2 ＜ x_1 ＜ x_3 $
C.$ x_1 ＜ x_3 ＜ x_2 $
D.$ x_2 ＜ x_3 ＜ x_1 $

3. D

【分析】
解题思路有两种：①代入求值法：因为点在反比例函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，可将三点的纵坐标分别代入解析式，求出对应的横坐标的值，再比较大小即可；②性质判断法：先根据反比例函数中k的符号判断函数图象所在象限，再结合各点纵坐标的正负判断点所在的象限，最后根据同一象限内反比例函数的增减性比较横坐标的大小。两种方法都能快速得出结果，代入法更直观不易出错，性质法解题速度更快。
【解析】
方法一：代入求值法
已知点$A(x_1,-2)$、$B(x_2,1)$、$C(x_3,2)$在反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$的图象上，将各点纵坐标分别代入解析式：
1. 对点A：令$y=-2$，则$-2=-\dfrac{2}{x_1}$，解得$x_1=1$；
2. 对点B：令$y=1$，则$1=-\dfrac{2}{x_2}$，解得$x_2=-2$；
3. 对点C：令$y=2$，则$2=-\dfrac{2}{x_3}$，解得$x_3=-1$。
比较三个数的大小：$-2 ＜ -1 ＜ 1$，即$x_2 ＜ x_3 ＜ x_1$。
方法二：性质判断法
反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$中$k=-2＜0$，因此函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大：
1. 点A的纵坐标$-2＜0$，因此点A在第四象限，横坐标$x_1＞0$；
2. 点B、C的纵坐标$1＞0$、$2＞0$，因此两点都在第二象限，横坐标$x_2＜0$、$x_3＜0$，故$x_1$是三者中最大的；
3. 第二象限内$y$随$x$的增大而增大，且$1＜2$，因此$x_2 ＜ x_3$。
综上可得$x_2 ＜ x_3 ＜ x_1$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
3. 有理数大小比较
【点评】
本题是反比例函数性质的基础常考题，两种解题方法都贴合所学知识，代入法直观易懂，性质法能帮助巩固函数图象规律，熟练掌握反比例函数的象限分布和增减性即可快速解题。
【难度系数】
0.8

4. 若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$(2,-3)$，则它的图象也一定经过的点是（）

A.$(-2,-3)$
B.$(-3,-2)$
C.$(1,-6)$
D.$(6,1)$

4. C

【分析】
要判断反比例函数图象经过哪个点，首先利用反比例函数的核心性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，所有在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于常数k，即$k=xy$。解题第一步先将已知点代入求出k的值，再逐一计算各选项中点的横纵坐标乘积，乘积等于k的点就在函数图象上。
【解析】
首先将点$(2,-3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，可得：
$k = xy = 2×(-3) = -6$
即该反比例函数图象上所有点的横、纵坐标乘积均为$-6$，逐一验证选项：
A选项：$(-2)×(-3)=6≠-6$，不符合；
B选项：$(-3)×(-2)=6≠-6$，不符合；
C选项：$1×(-6)=-6$，符合；
D选项：$6×1=6≠-6$，不符合。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是牢记反比例函数中横纵坐标乘积为定值k的特性，无需画图象即可快速判断点是否在函数图象上，是反比例函数的基础考查题型。
【难度系数】
0.8

5. (2025·福建)若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点$(-2,1)$，则常数$k=$。

5. -2

【分析】
要确定反比例函数中的常数k，需利用函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质：若点在函数图象上，则将点的横、纵坐标代入函数表达式后等式成立。本题已知反比例函数过点(-2,1)，只需将x=-2、y=1代入解析式，解关于k的一元一次方程即可求出k的值。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点$(-2,1)$
∴ 将$x=-2$，$y=1$代入解析式得：
$1=\frac{k}{-2}$
解得：$k=1×(-2)=-2$
【答案】
-2
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法
【点评】
本题属于基础题型，核心考察函数图象与函数解析式的对应关系，只要掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一规律，代入计算即可快速得到结果，是反比例函数章节的常规基础考题。
【难度系数】
0.9

6. 在同一个平面直角坐标系中，函数$y=-2x$与函数$y=\frac{2}{x}$有个交点.

6. 0

【分析】
要确定两个函数图象的交点个数，有两种常用解题思路：一是代数法，联立两个函数的解析式转化为一元方程，方程的实数解个数就是交点个数，注意要符合反比例函数自变量x≠0的取值要求；二是几何法，根据两个函数的比例系数判断图象所在象限，若图象无公共象限则无交点。
【解析】
方法一：代数法
联立两个函数的解析式，得方程组：
$\begin{cases} y=-2x \\ y=\dfrac{2}{x} \end{cases}$
消去y可得：$-2x=\dfrac{2}{x}$
因为反比例函数中自变量$x≠0$，方程两边同时乘x得：$-2x^2=2$
整理得：$x^2=-1$
由于实数范围内任意数的平方均为非负数，因此该方程无实数解，即两个函数没有交点。
方法二：图象法
正比例函数$y=-2x$的比例系数$k=-2＜0$，图象经过第二、四象限；
反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的比例系数$k=2＞0$，图象的两个分支分别位于第一、三象限。
两个函数的图象没有公共象限，因此不存在交点。
【答案】
0
【知识点】
函数交点与方程组的关系；正比例函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题可以通过代数联立方程或数形结合两种方法求解，既考查了一元方程实数解的判断方法，也考查了对正比例、反比例函数图象性质的掌握，运用数形结合的思路可以更快速得到结果。
【难度系数】
0.7

7. 已知反比例函数$y=\frac{k-4}{x}$的图象位于第一、三象限.
（1）求$k$的取值范围；
（2）当反比例函数过点$A(2,4)$，求$k$的值.

7. (1) 由题意,得$k-4＞0$,解得$k＞4$
(2) 把点$ A(2,4) $代入$ y=\dfrac{k-4}{x} $得,$4=\dfrac{k-4}{2}$,解得$ k=12. $

【分析】
（1）解决第一问需先回忆反比例函数的图象性质：对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m≠0$），当$m＞0$时图象位于第一、三象限，当$m＜0$时图象位于第二、四象限。本题中反比例函数的比例系数为$k-4$，结合图象在一、三象限的条件，即可列出关于$k$的不等式，解不等式得到$k$的取值范围。
（2）解决第二问的核心依据是：函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式。因此将点$A$的横、纵坐标代入反比例函数解析式，得到关于$k$的一元一次方程，解方程即可求出$k$的值。
【解析】
（1）$\because$ 反比例函数$y=\frac{k-4}{x}$的图象位于第一、三象限，
$\therefore$ 比例系数满足$k-4＞0$，
解得：$k＞4$。
（2）$\because$ 反比例函数$y=\frac{k-4}{x}$经过点$A(2,4)$，
$\therefore$ 将$x=2$，$y=4$代入解析式得：
$4=\frac{k-4}{2}$，
等式两边同乘2得：$8=k-4$，
解得：$k=12$。
【答案】
(1) $k＞4$；(2) $k=12$
【知识点】
1. 反比例函数的图象性质
2. 待定系数法求函数参数
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，考查核心知识点的直接应用，熟练掌握反比例函数图象与比例系数的关系、函数图象上点的坐标特征即可顺利解题。
【难度系数】
0.85

8. (2024·河南)如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点(网格线的交点)上，对角线AC，BD相交于点E，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点A.
(1) 求这个反比例函数的表达式.
(2) 请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象.
(3) 将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为.

8. (1) $\because$ 反比例函数$ y=\dfrac{k}{x}(x＞0) $的图象经过点$ A(3,2) $,代入得$ 2=\dfrac{k}{3} $,$ \therefore k=6 $,
$ \therefore $ 这个反比例函数的表达式为$ y=\dfrac{6}{x} $.
(2) 如图，
(3) 由图知$ E(6,4) $,令$ \dfrac{6}{x}=4 $得,$ x=\dfrac{3}{2} $,$ \because 6-\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2} $,$ \therefore $ 矩形$ ABCD $向左平移$ \dfrac{9}{2} $个单位时,点$ E $落在反比例函数图象上.

【分析】
(1) 求反比例函数表达式的核心是求出比例系数$k$，首先从网格中读取点$A$的坐标，再将点$A$坐标代入$y=\frac{k}{x}$即可计算得到$k$的值，进而得到解析式。
(2) 反比例函数图象上的点满足$xy=k$，因此找不同于点$A$的格点，只需找$x、y$均为正整数且乘积等于$k$的点，描出点后用平滑曲线连接即可画出函数图象。
(3) 矩形对角线互相平分，因此交点$E$是$AC$的中点，先求出$E$的原始坐标；向左平移时点的纵坐标不变，将$E$的纵坐标代入反比例函数解析式，求出平移后$E$点的横坐标，原始横坐标与平移后横坐标的差就是平移距离。
【解析】
(1) 由网格可得点$A$的坐标为$(3,2)$，将$A(3,2)$代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得$2=\frac{k}{3}$，解得$k=6$，因此反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 满足$xy=6$的正整数格点除$A(3,2)$外，还有$(1,6)、(2,3)、(6,1)$，描出这三个格点后用平滑曲线连接，图象如图所示：
(3) 由网格得$A(3,2)$，$C(9,6)$，因为矩形对角线互相平分，所以$E$是$AC$中点，$E$的坐标为$(\frac{3+9}{2},\frac{2+6}{2})$，即$(6,4)$。矩形向左平移时$E$的纵坐标不变，当$E$落在反比例函数图象上时，令$y=4$，代入$y=\frac{6}{x}$得$4=\frac{6}{x}$，解得$x=\frac{3}{2}$，因此平移距离为$6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{6}{x}$
(2) 如图，
(3) $\dfrac{9}{2}$
【知识点】
反比例函数解析式的确定，矩形的性质，坐标与图形平移
【点评】
本题综合考查了反比例函数基础应用、矩形性质和图形平移的坐标变化规律，侧重基础知识的运用，对读图能力和基础运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7