10.在四边形ABCD中，$∠ A=∠ B=∠ C$，点E在边AB上，$∠ AED=60°$，则一定有
（）

A.$∠ ADE=20°$
B.$∠ ADE=30°$
C.$∠ ADE=\frac{1}{2}∠ ADC$
D.$∠ ADE=\frac{1}{3}∠ ADC$

10.D

【分析】
解题时可以先设∠A=∠B=∠C为未知数α，先利用三角形内角和为180°，表示出∠ADE的度数；再利用四边形内角和为360°，表示出∠ADC的度数，最后推导两个角的数量关系即可得到结论。
【解析】
设∠A=∠B=∠C=α，
在△AED中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠ADE=180°-∠A-∠AED=180°-α-60°=120°-α，
四边形ABCD的内角和为(4-2)×180°=360°，因此：
∠ADC=360°-∠A-∠B-∠C=360°-3α，
对∠ADC的表达式变形可得：∠ADC=3×(120°-α)=3∠ADE，
因此∠ADE=$\frac{1}{3}$∠ADC，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 四边形内角和
3. 角度关系推导
【点评】
本题通过设参数表示未知角的方式，将角度关系转化为代数式关系，降低了推导难度，核心考查对多边形内角和定理的灵活运用，解题的关键是合理设元找到两个目标角的共同关联量。
【难度系数】
0.6

11.如图2，购买一种苹果，所付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省元.

11.2

【分析】
要解决本题，需分别计算两种购买方式的总花费，再求差值。第一步先求线段OA对应的单价，得到单次购买1千克苹果的费用，进而算出分三次每次买1千克的总花费；第二步用待定系数法求出射线AB对应的函数解析式，代入x=3算出一次购买3千克的花费，最后将两种花费作差即可得到节省的金额。
【解析】
1. 计算分三次每次购买1千克的总花费：
线段OA过点(0,0)和(2,20)，可知当购买量不超过2千克时，苹果单价为 $20÷2=10$ 元/千克。
每次购买1千克，每次花费10元，三次总花费为 $10×3=30$ 元。
2. 计算一次购买3千克的花费：
设射线AB对应的函数解析式为 $y=kx+b$（$x≥2$），将A(2,20)、B(4,36)代入解析式得：
$\begin{cases}2k + b = 20 \\4k + b = 36\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得 $2k=16$，解得 $k=8$，将k=8代入$2k + b=20$，得 $16+b=20$，解得 $b=4$。
因此AB段解析式为 $y=8x+4$（$x≥2$）。
当$x=3$时，代入得 $y=8×3+4=28$ 元。
3. 计算节省的金额：
$30-28=2$ 元。
【答案】
2
【知识点】
一次函数的应用；分段函数；待定系数法求解析式
【点评】
本题结合实际消费场景考查分段函数的相关知识，解题的核心是区分不同购买量对应的收费规则，分别计算两种购买方案的费用后作差即可，需要熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法。
【难度系数】
0.8

12.在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为$(2+a,-3a-4)$.
(1)若点A在$y$轴上,求点A的坐标;
(2)若点B的坐标为$(8,5)$,且$AB// x$轴,求点A的坐标.

12.(1)$A(0,2)$ (2)$A(-1,5)$

【分析】
(1) 求解点A在y轴上的坐标时，首先明确y轴上点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标均为0，因此先令点A的横坐标等于0求出a的值，再将a代入纵坐标表达式计算，即可得到点A的坐标。
(2) 求解AB平行于x轴时点A的坐标时，首先明确平行于x轴的直线上点的坐标特征：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，因此点A的纵坐标与点B的纵坐标相等，据此列方程求出a的值，再代入横坐标表达式计算，即可得到点A的坐标。
【解析】
(1)
∵ 点A在y轴上，y轴上的点横坐标为0
∴ $2+a=0$
解得 $a=-2$
将$a=-2$代入纵坐标$-3a-4$，得：
$-3×(-2)-4=6-4=2$
∴ 点A的坐标为$(0,2)$
(2)
∵ $AB// x$轴，平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等
∴ 点A的纵坐标与点B的纵坐标相等，即$-3a-4=5$
移项得 $-3a=9$，解得 $a=-3$
将$a=-3$代入横坐标$2+a$，得：
$2+(-3)=-1$
∴ 点A的坐标为$(-1,5)$
【答案】
(1)$A(0,2)$ (2)$A(-1,5)$
【知识点】
y轴上点的坐标特点，平行于x轴的点的坐标特点，求点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，解题核心是牢记特殊位置点的坐标规律，计算过程中注意符号运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8

13. 如图3，直线$l_1$与x轴交于点$A(5,0)$，与y轴交于点$B(0,5)$，直线$l_2$的函数表达式为$y=3x-3$。
(1)求直线$l_1$的函数表达式；
(2)求直线$l_1$被直线$l_2$和y轴所截线段的长。

13.(1)$y=-x+5$ (2)$2\sqrt{2}$

【分析】
(1) 求直线$l_1$的函数表达式，已知直线过两个明确坐标的点$A(5,0)$和$B(0,5)$，采用待定系数法：设一次函数一般式$y=kx+b$，将两点坐标代入得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可得到系数，确定解析式。
(2) 求直线$l_1$被直线$l_2$和y轴所截线段的长，首先确定线段的两个端点：一个是$l_1$与y轴的交点$B$，另一个是$l_1$和$l_2$的交点。先联立两条直线的解析式，解方程组得到交点坐标，再利用两点间距离公式（本质是勾股定理）计算两点距离，即为所求线段长度。
【解析】
(1) 设直线$l_1$的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
将$A(5,0)$、$B(0,5)$代入表达式得：
$\begin{cases}5k+b=0\\b=5\end{cases}$
把$b=5$代入$5k+b=0$，得$5k+5=0$，解得$k=-1$，
因此直线$l_1$的函数表达式为$y=-x+5$。
(2) 联立直线$l_1$和$l_2$的解析式：
$\begin{cases}y=-x+5\\y=3x-3\end{cases}$
令$-x+5=3x-3$，解得$4x=8$，即$x=2$，
将$x=2$代入$y=-x+5$，得$y=-2+5=3$，
因此两直线的交点坐标为$(2,3)$。
直线$l_1$与y轴交点为$B(0,5)$，根据两点间距离公式，所截线段长为：
$\sqrt{(2-0)^2+(3-5)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
【答案】
(1)$y=-x+5$；(2)$2\sqrt{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点求解，两点间距离计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，核心考查一次函数解析式的确定方法、函数交点的求解逻辑，将代数计算和几何线段长度计算结合，解题思路清晰，只要掌握基础方法就能顺利解答，是一次函数板块的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

14.如图4，在$□ ABCD$中，过点D作$DE⊥ AB$于点E，点F在边CD上，$DF=BE$，连接AF，BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若$CF=3$，$BF=4$，$DF=5$，求证：AF平分$∠ DAB$.

证明：
(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD//AB，即 $DF// BE$，
又 ∵ $DF=BE$，
∴ 四边形BFDE是平行四边形，
∵ $DE⊥ AB$，
∴ $∠ DEB=90°$，
∴ 平行四边形BFDE是矩形。
(2) 由(1)知四边形BFDE是矩形，
∴ $BF⊥ CD$，即 $∠ BFC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$CF=3$，$BF=4$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{CF^2+BF^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD=BC=5$，$AB// CD$，
∵ $DF=5$，
∴ $AD=DF$，
∴ $∠ DAF=∠ DFA$，
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ DFA=∠ FAB$，
∴ $∠ DAF=∠ FAB$，
即AF平分$∠ DAB$。

【分析】
(1) 证明四边形是矩形可遵循“先证平行四边形，再证存在直角”的思路：首先利用平行四边形ABCD对边平行的性质可得$DF// BE$，结合已知$DF=BE$，可判定四边形BFDE是平行四边形；再由$DE⊥ AB$得到$∠ DEB=90°$，即可证得该平行四边形是矩形。
(2) 证明AF平分$∠ DAB$，本质是证明$∠ DAF=∠ FAB$：先借助(1)中矩形的性质得$BF⊥ CD$，在$Rt△ BCF$中用勾股定理求出BC的长度，再利用平行四边形对边相等得到$AD=BC$，结合已知$DF=5$可推出$AD=DF$，由等边对等角得$∠ DAF=∠ DFA$；最后利用$AB// CD$得到内错角$∠ DFA=∠ FAB$，通过等量代换即可得到两角相等，证明AF是角平分线。
【解析】
(1) $\because$ 四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore CD// AB$，即 $DF// BE$，
又 $\because DF=BE$，
$\therefore$ 四边形BFDE是平行四边形，
$\because DE⊥ AB$，
$\therefore ∠ DEB=90°$，
$\therefore$ 平行四边形BFDE是矩形。
(2) 由(1)知四边形BFDE是矩形，
$\therefore BF⊥ CD$，即 $∠ BFC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$CF=3$，$BF=4$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{CF^2+BF^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore AD=BC=5$，$AB// CD$，
$\because DF=5$，
$\therefore AD=DF$，
$\therefore ∠ DAF=∠ DFA$，
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ DFA=∠ FAB$，
$\therefore ∠ DAF=∠ FAB$，
即AF平分$∠ DAB$。
【答案】
(1) 四边形BFDE是矩形，得证；
(2) AF平分$∠ DAB$，得证。
（证明过程同解析）
【知识点】
平行四边形的性质与判定，矩形的判定，勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，围绕特殊四边形的判定、性质展开，同时结合了勾股定理、等腰三角形性质的应用，解题时要注意前后问题的关联，第一问的结论可直接作为第二问的已知条件使用，能够很好地考察学生对基础几何定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7