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例1.利用配方法解方程$x^2 + 4x - 5 = 0$，经过配方，得到 （）
A.$(x + 2)^2 = 9$
B.$(x - 2)^2 = 9$
C.$(x + 4)^2 = 9$
D.$(x - 4)^2 = 9$
分析:先移项,再配方,变形后即可得出选项.
解:$x^2 + 4x - 5 = 0, x^2 + 4x = 5, x^2 + 4x + 4 = 5 + 4, (x + 2)^2 = 9$,故选:A.
A.$(x + 2)^2 = 9$
B.$(x - 2)^2 = 9$
C.$(x + 4)^2 = 9$
D.$(x - 4)^2 = 9$
分析:先移项,再配方,变形后即可得出选项.
解:$x^2 + 4x - 5 = 0, x^2 + 4x = 5, x^2 + 4x + 4 = 5 + 4, (x + 2)^2 = 9$,故选:A.
答案
解：
$x^2 + 4x - 5 = 0$
移项，得：$x^2 + 4x = 5$
配方，得：$x^2 + 4x + 4 = 5 + 4$
即$(x + 2)^2 = 9$
故选：A
$x^2 + 4x - 5 = 0$
移项，得：$x^2 + 4x = 5$
配方，得：$x^2 + 4x + 4 = 5 + 4$
即$(x + 2)^2 = 9$
故选：A
解析
【分析】
这道题考查配方法变形一元二次方程的能力，解题按照配方法的固定思路推进：第一步先移项，把含x的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；本题二次项系数已经是1，接下来只需要在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，就能把左侧凑成完全平方式，右侧合并常数项后就得到配方后的结果，解题时要注意一次项的符号，避免完全平方式内的符号书写错误。
【解析】
解：$x^2 + 4x - 5 = 0$
移项，得：$x^2 + 4x = 5$
配方，等号两边同时加一次项系数4的一半的平方（即$2^2=4$），得：$x^2 + 4x + 4 = 5 + 4$
根据完全平方公式整理左侧，合并右侧常数项，得：$(x + 2)^2 = 9$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题型，核心考察配方法的标准操作步骤，熟练掌握移项规则、明确配方时所加常数的计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.85
这道题考查配方法变形一元二次方程的能力，解题按照配方法的固定思路推进：第一步先移项，把含x的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；本题二次项系数已经是1，接下来只需要在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，就能把左侧凑成完全平方式，右侧合并常数项后就得到配方后的结果，解题时要注意一次项的符号，避免完全平方式内的符号书写错误。
【解析】
解：$x^2 + 4x - 5 = 0$
移项，得：$x^2 + 4x = 5$
配方，等号两边同时加一次项系数4的一半的平方（即$2^2=4$），得：$x^2 + 4x + 4 = 5 + 4$
根据完全平方公式整理左侧，合并右侧常数项，得：$(x + 2)^2 = 9$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题型，核心考察配方法的标准操作步骤，熟练掌握移项规则、明确配方时所加常数的计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.85
例2.完成下列配方过程：
(1)$x^{2}+12x+\_\_\_\_\_\_=(x+6)^{2}$；
(2)$x^{2}-12x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}$；
(3)$x^{2}-\_\_\_\_\_\_+\dfrac{9}{16}=(x-\dfrac{3}{4})^{2}$；
(4)$x^{2}-2\sqrt{2}x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}$.
分析:原式各项利用完全平方公式的结构特征判断.
解:(1)$36$;(2)$36,6$;(3)$\dfrac{3}{2}x$;(4)$2,\sqrt{2}$
(1)$x^{2}+12x+\_\_\_\_\_\_=(x+6)^{2}$；
(2)$x^{2}-12x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}$；
(3)$x^{2}-\_\_\_\_\_\_+\dfrac{9}{16}=(x-\dfrac{3}{4})^{2}$；
(4)$x^{2}-2\sqrt{2}x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}$.
分析:原式各项利用完全平方公式的结构特征判断.
解:(1)$36$;(2)$36,6$;(3)$\dfrac{3}{2}x$;(4)$2,\sqrt{2}$
答案
解：
(1) $\because (x+6)^2 = x^2 + 2× x ×6 +6^2 = x^2 +12x +36$
$\therefore$ 横线处填36
(2) $\because x^2 -12x + b^2 = (x-b)^2$，可得$2b=12$，解得$b=6$，$b^2=36$
$\therefore$ 依次填36，6
(3) $\because (x-\frac{3}{4})^2 = x^2 - 2× x × \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^2 = x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}$
$\therefore$ 横线处填$\frac{3}{2}x$
(4) $\because x^2 -2\sqrt{2}x +b^2=(x-b)^2$，可得$2b=2\sqrt{2}$，解得$b=\sqrt{2}$，$b^2=(\sqrt{2})^2=2$
$\therefore$ 依次填2，$\sqrt{2}$
(1) $\because (x+6)^2 = x^2 + 2× x ×6 +6^2 = x^2 +12x +36$
$\therefore$ 横线处填36
(2) $\because x^2 -12x + b^2 = (x-b)^2$，可得$2b=12$，解得$b=6$，$b^2=36$
$\therefore$ 依次填36，6
(3) $\because (x-\frac{3}{4})^2 = x^2 - 2× x × \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^2 = x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}$
$\therefore$ 横线处填$\frac{3}{2}x$
(4) $\because x^2 -2\sqrt{2}x +b^2=(x-b)^2$，可得$2b=2\sqrt{2}$，解得$b=\sqrt{2}$，$b^2=(\sqrt{2})^2=2$
$\therefore$ 依次填2，$\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，本题中二次项均为$x^2$，即公式里的$a=x$，解题时对照公式结构匹配对应项即可：若已知一次项，常数项为一次项系数一半的平方；若已知常数项，先通过常数项求出$b$，再推导得到一次项。
【解析】
根据完全平方公式$(x\pm b)^2=x^2\pm2bx+b^2$逐一计算：
(1) 展开$(x+6)^2$得：$(x+6)^2=x^2+2× x×6 +6^2=x^2+12x+36$，因此横线处填36；
(2) 对比公式结构，一次项为$-12x$，即$-2b=-12$，解得$b=6$，常数项为$b^2=6^2=36$，因此依次填36，6；
(3) 展开$(x-\frac{3}{4})^2$得：$(x-\frac{3}{4})^2=x^2-2× x×\frac{3}{4}+(\frac{3}{4})^2=x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}$，因此横线处填$\frac{3}{2}x$；
(4) 对比公式结构，一次项为$-2\sqrt{2}x$，即$-2b=-2\sqrt{2}$，解得$b=\sqrt{2}$，常数项为$b^2=(\sqrt{2})^2=2$，因此依次填2，$\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{36}$；(2)$\boldsymbol{36}$，$\boldsymbol{6}$；(3)$\boldsymbol{\frac{3}{2}x}$；(4)$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{\sqrt{2}}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础训练题，核心是掌握完全平方公式的结构特征，熟练掌握该类题型是后续用配方法解一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，本题中二次项均为$x^2$，即公式里的$a=x$，解题时对照公式结构匹配对应项即可：若已知一次项，常数项为一次项系数一半的平方；若已知常数项，先通过常数项求出$b$，再推导得到一次项。
【解析】
根据完全平方公式$(x\pm b)^2=x^2\pm2bx+b^2$逐一计算：
(1) 展开$(x+6)^2$得：$(x+6)^2=x^2+2× x×6 +6^2=x^2+12x+36$，因此横线处填36；
(2) 对比公式结构，一次项为$-12x$，即$-2b=-12$，解得$b=6$，常数项为$b^2=6^2=36$，因此依次填36，6；
(3) 展开$(x-\frac{3}{4})^2$得：$(x-\frac{3}{4})^2=x^2-2× x×\frac{3}{4}+(\frac{3}{4})^2=x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}$，因此横线处填$\frac{3}{2}x$；
(4) 对比公式结构，一次项为$-2\sqrt{2}x$，即$-2b=-2\sqrt{2}$，解得$b=\sqrt{2}$，常数项为$b^2=(\sqrt{2})^2=2$，因此依次填2，$\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{36}$；(2)$\boldsymbol{36}$，$\boldsymbol{6}$；(3)$\boldsymbol{\frac{3}{2}x}$；(4)$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{\sqrt{2}}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础训练题，核心是掌握完全平方公式的结构特征，熟练掌握该类题型是后续用配方法解一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.8
1.一元二次方程$x^2 - 2x - m = 0$，用配方法解该方程，配方后的方程为（
A.$(x - 1)^2 = m^2 + 1$
B.$(x - 1)^2 = m - 1$
C.$(x - 1)^2 = 1 - m$
D.$(x - 1)^2 = m + 1$
D
）A.$(x - 1)^2 = m^2 + 1$
B.$(x - 1)^2 = m - 1$
C.$(x - 1)^2 = 1 - m$
D.$(x - 1)^2 = m + 1$
答案
1.D
解析
【分析】
要使用配方法解该一元二次方程，首先回忆配方法的操作步骤：对于二次项系数为1的一元二次方程，先把常数项移到方程右侧，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左侧凑成完全平方式，得到配方后的方程。本题中方程二次项系数已经是1，所以直接按步骤操作即可。
【解析】
解：原方程为$x^2 - 2x - m = 0$
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 2x = m$
第二步：配方，一次项系数为-2，其一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2=1$，在等号两边同时加1，得：
$x^2 - 2x + 1 = m + 1$
第三步：将左侧整理为完全平方形式，得：
$(x - 1)^2 = m + 1$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.完全平方公式
【点评】
本题属于基础题，主要考查配方法的基本操作，熟练掌握配方法的步骤就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要使用配方法解该一元二次方程，首先回忆配方法的操作步骤：对于二次项系数为1的一元二次方程，先把常数项移到方程右侧，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左侧凑成完全平方式，得到配方后的方程。本题中方程二次项系数已经是1，所以直接按步骤操作即可。
【解析】
解：原方程为$x^2 - 2x - m = 0$
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 2x = m$
第二步：配方，一次项系数为-2，其一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2=1$，在等号两边同时加1，得：
$x^2 - 2x + 1 = m + 1$
第三步：将左侧整理为完全平方形式，得：
$(x - 1)^2 = m + 1$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.完全平方公式
【点评】
本题属于基础题，主要考查配方法的基本操作，熟练掌握配方法的步骤就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
2.用配方法配成一个完全平方式：
$x^2 + 4x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
$x^2 - 3x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$。
$x^2 + 4x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
$x^2 - 3x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$。
答案
2.$4\quad 2\quad \dfrac{9}{4}\quad \dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
我们可以结合完全平方公式的结构来解题，完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。对于形如$x^2+bx$的式子，配成完全平方式需要添加的常数是一次项系数$b$一半的平方，等号右侧括号里的常数就是一次项系数的一半，我们分别对两个式子按这个规则计算即可。
【解析】
1. 处理第一个式子$x^2 + 4x$：
一次项系数为4，它的一半是$4÷2=2$，一半的平方为$2^2=4$，因此可得$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$，前两个空依次填4、2。
2. 处理第二个式子$x^2 - 3x$：
一次项系数为-3，它的一半是$-3÷2=-\frac{3}{2}$，一半的平方为$(-\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，因此可得$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = (x - \frac{3}{2})^2$，后两个空依次填$\frac{9}{4}$、$\frac{3}{2}$。
【答案】
$4\quad 2\quad \dfrac{9}{4}\quad \dfrac{3}{2}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题属于配方法的基础题型，核心考查对完全平方公式结构特征的掌握，熟练掌握配常数的规则即可快速求解，是后续用配方法解一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.9
我们可以结合完全平方公式的结构来解题，完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。对于形如$x^2+bx$的式子，配成完全平方式需要添加的常数是一次项系数$b$一半的平方，等号右侧括号里的常数就是一次项系数的一半，我们分别对两个式子按这个规则计算即可。
【解析】
1. 处理第一个式子$x^2 + 4x$：
一次项系数为4，它的一半是$4÷2=2$，一半的平方为$2^2=4$，因此可得$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$，前两个空依次填4、2。
2. 处理第二个式子$x^2 - 3x$：
一次项系数为-3，它的一半是$-3÷2=-\frac{3}{2}$，一半的平方为$(-\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，因此可得$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = (x - \frac{3}{2})^2$，后两个空依次填$\frac{9}{4}$、$\frac{3}{2}$。
【答案】
$4\quad 2\quad \dfrac{9}{4}\quad \dfrac{3}{2}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题属于配方法的基础题型，核心考查对完全平方公式结构特征的掌握，熟练掌握配常数的规则即可快速求解，是后续用配方法解一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.9
3.已知$x^2 + 6x = -1$可以配成$(x + p)^2 = q$的形式，则$q=\underline{\hspace{5em}}$.
答案
3.8
解析
【分析】
本题考查配方法的应用，解题思路如下：首先回忆配方法的步骤，对于二次项系数为1的一元二次方程，配方法的核心是在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方的形式，再和题目给出的$(x+p)^2=q$的形式对比，就能求出q的值。
【解析】
已知方程$x^2 + 6x = -1$，
第一步，确定一次项系数为6，它的一半是$\frac{6}{2}=3$，平方为$3^2=9$；
第二步，等式两边同时加上9，得：
$x^2 + 6x + 9 = -1 + 9$，
根据完全平方公式，左边可改写为$(x+3)^2$，右边计算得8，即：
$(x+3)^2=8$，
对比$(x+p)^2=q$的形式，可得$q=8$。
【答案】
8
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题关键是熟练掌握配方法的操作步骤，明确需给等式两边同时加一次项系数一半的平方才能将含未知数的项凑成完全平方式，易错点是忘记给等式右边也加上相同的常数。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法的应用，解题思路如下：首先回忆配方法的步骤，对于二次项系数为1的一元二次方程，配方法的核心是在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方的形式，再和题目给出的$(x+p)^2=q$的形式对比，就能求出q的值。
【解析】
已知方程$x^2 + 6x = -1$，
第一步，确定一次项系数为6，它的一半是$\frac{6}{2}=3$，平方为$3^2=9$；
第二步，等式两边同时加上9，得：
$x^2 + 6x + 9 = -1 + 9$，
根据完全平方公式，左边可改写为$(x+3)^2$，右边计算得8，即：
$(x+3)^2=8$，
对比$(x+p)^2=q$的形式，可得$q=8$。
【答案】
8
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题关键是熟练掌握配方法的操作步骤，明确需给等式两边同时加一次项系数一半的平方才能将含未知数的项凑成完全平方式，易错点是忘记给等式右边也加上相同的常数。
【难度系数】
0.8
例3.解方程:
(1)$x^2 - 2x = 4$;
解:配方 $x^2 - 2x + 1 = 4 + 1$, $\therefore (x - 1)^2 = 5$, $\therefore x = 1 \pm \sqrt{5}$, $\therefore x_1 = 1 + \sqrt{5}$, $x_2 = 1 - \sqrt{5}$
(2)$2x^2 - 4x - 5 = 0$;
解:$2x^2 - 4x = 5$, $\therefore x^2 - 2x = \frac{5}{2}$, $\therefore x^2 - 2x + 1 = \frac{5}{2} + 1$, 即 $(x - 1)^2 = \frac{7}{2}$, $\therefore x - 1 = \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$, $x = 1 \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$, $\therefore x_1 = \frac{2 + \sqrt{14}}{2}$, $x_2 = \frac{2 - \sqrt{14}}{2}$
(3)$3(x - 1)(x + 2) = x + 4$;
解:原方程变形为 $3x^2 + 2x - 10 = 0$.两边都除以3得 $x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{10}{3} = 0$, 配方得 $x^2 + \frac{2}{3}x + (\frac{1}{3})^2 = \frac{10}{3} + \frac{1}{9}$. 即 $(x + \frac{1}{3})^2 = \frac{31}{9}$, 则 $x + \frac{1}{3} = \pm \frac{\sqrt{31}}{3}$, 所以 $x_1 = -\frac{1 + \sqrt{31}}{3}$, $x_2 = \frac{\sqrt{31} - 1}{3}$
(4)$3x^2 - 6x = 8$.
解:方程两边都除以3得 $x^2 - 2x = \frac{8}{3}$, 配方得 $x^2 - 2x + 1 = \frac{8}{3} + 1$, 即 $(x - 1)^2 = \frac{11}{3}$, 所以 $x - 1 = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$, 解得 $x_1 = \frac{\sqrt{33}}{3} + 1$, $x_2 = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$
分析:配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
(1)$x^2 - 2x = 4$;
解:配方 $x^2 - 2x + 1 = 4 + 1$, $\therefore (x - 1)^2 = 5$, $\therefore x = 1 \pm \sqrt{5}$, $\therefore x_1 = 1 + \sqrt{5}$, $x_2 = 1 - \sqrt{5}$
(2)$2x^2 - 4x - 5 = 0$;
解:$2x^2 - 4x = 5$, $\therefore x^2 - 2x = \frac{5}{2}$, $\therefore x^2 - 2x + 1 = \frac{5}{2} + 1$, 即 $(x - 1)^2 = \frac{7}{2}$, $\therefore x - 1 = \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$, $x = 1 \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$, $\therefore x_1 = \frac{2 + \sqrt{14}}{2}$, $x_2 = \frac{2 - \sqrt{14}}{2}$
(3)$3(x - 1)(x + 2) = x + 4$;
解:原方程变形为 $3x^2 + 2x - 10 = 0$.两边都除以3得 $x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{10}{3} = 0$, 配方得 $x^2 + \frac{2}{3}x + (\frac{1}{3})^2 = \frac{10}{3} + \frac{1}{9}$. 即 $(x + \frac{1}{3})^2 = \frac{31}{9}$, 则 $x + \frac{1}{3} = \pm \frac{\sqrt{31}}{3}$, 所以 $x_1 = -\frac{1 + \sqrt{31}}{3}$, $x_2 = \frac{\sqrt{31} - 1}{3}$
(4)$3x^2 - 6x = 8$.
解:方程两边都除以3得 $x^2 - 2x = \frac{8}{3}$, 配方得 $x^2 - 2x + 1 = \frac{8}{3} + 1$, 即 $(x - 1)^2 = \frac{11}{3}$, 所以 $x - 1 = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$, 解得 $x_1 = \frac{\sqrt{33}}{3} + 1$, $x_2 = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$
分析:配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
答案
解：
(1) $x^2 - 2x = 4$
配方，得 $x^2 - 2x + 1 = 4 + 1$，
$\therefore (x - 1)^2 = 5$，
开平方得 $x - 1 = \pm \sqrt{5}$，
$\therefore x = 1 \pm \sqrt{5}$，
$\therefore x_1 = 1 + \sqrt{5}$，$x_2 = 1 - \sqrt{5}$。
(2) $2x^2 - 4x - 5 = 0$
移项得 $2x^2 - 4x = 5$，
二次项系数化为1得 $x^2 - 2x = \frac{5}{2}$，
配方得 $x^2 - 2x + 1 = \frac{5}{2} + 1$，
即 $(x - 1)^2 = \frac{7}{2}$，
开平方得 $x - 1 = \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$，
$\therefore x = 1 \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$，
$\therefore x_1 = \frac{2 + \sqrt{14}}{2}$，$x_2 = \frac{2 - \sqrt{14}}{2}$。
(3) $3(x - 1)(x + 2) = x + 4$
原方程整理变形得 $3x^2 + 2x - 10 = 0$，
移项得 $3x^2 + 2x = 10$，
两边都除以3得 $x^2 + \frac{2}{3}x = \frac{10}{3}$，
配方得 $x^2 + \frac{2}{3}x + (\frac{1}{3})^2 = \frac{10}{3} + \frac{1}{9}$，
即 $(x + \frac{1}{3})^2 = \frac{31}{9}$，
开平方得 $x + \frac{1}{3} = \pm \frac{\sqrt{31}}{3}$，
$\therefore x_1 = \frac{-1 + \sqrt{31}}{3}$，$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{31}}{3}$。
(4) $3x^2 - 6x = 8$
方程两边都除以3得 $x^2 - 2x = \frac{8}{3}$，
配方得 $x^2 - 2x + 1 = \frac{8}{3} + 1$，
即 $(x - 1)^2 = \frac{11}{3}$，
开平方得 $x - 1 = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$，
解得 $x_1 = 1 + \frac{\sqrt{33}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$。
(1) $x^2 - 2x = 4$
配方，得 $x^2 - 2x + 1 = 4 + 1$，
$\therefore (x - 1)^2 = 5$，
开平方得 $x - 1 = \pm \sqrt{5}$，
$\therefore x = 1 \pm \sqrt{5}$，
$\therefore x_1 = 1 + \sqrt{5}$，$x_2 = 1 - \sqrt{5}$。
(2) $2x^2 - 4x - 5 = 0$
移项得 $2x^2 - 4x = 5$，
二次项系数化为1得 $x^2 - 2x = \frac{5}{2}$，
配方得 $x^2 - 2x + 1 = \frac{5}{2} + 1$，
即 $(x - 1)^2 = \frac{7}{2}$，
开平方得 $x - 1 = \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$，
$\therefore x = 1 \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$，
$\therefore x_1 = \frac{2 + \sqrt{14}}{2}$，$x_2 = \frac{2 - \sqrt{14}}{2}$。
(3) $3(x - 1)(x + 2) = x + 4$
原方程整理变形得 $3x^2 + 2x - 10 = 0$，
移项得 $3x^2 + 2x = 10$，
两边都除以3得 $x^2 + \frac{2}{3}x = \frac{10}{3}$，
配方得 $x^2 + \frac{2}{3}x + (\frac{1}{3})^2 = \frac{10}{3} + \frac{1}{9}$，
即 $(x + \frac{1}{3})^2 = \frac{31}{9}$，
开平方得 $x + \frac{1}{3} = \pm \frac{\sqrt{31}}{3}$，
$\therefore x_1 = \frac{-1 + \sqrt{31}}{3}$，$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{31}}{3}$。
(4) $3x^2 - 6x = 8$
方程两边都除以3得 $x^2 - 2x = \frac{8}{3}$，
配方得 $x^2 - 2x + 1 = \frac{8}{3} + 1$，
即 $(x - 1)^2 = \frac{11}{3}$，
开平方得 $x - 1 = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$，
解得 $x_1 = 1 + \frac{\sqrt{33}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$。
解析
【分析】
这几道题均需使用配方法求解一元二次方程，解题遵循配方法通用思路即可：首先将方程整理为一元二次方程的一般形式，把常数项移到等号右侧；再将二次项系数化为1；接着等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧凑成完全平方式；最后对完全平方式开平方，转化为一元一次方程求解，计算过程中注意符号处理和根式化简。
【解析】
(1) $x^2 - 2x = 4$
配方，得 $x^2 - 2x + 1 = 4 + 1$，
$\therefore (x - 1)^2 = 5$，
开平方得 $x - 1 = \pm \sqrt{5}$，
$\therefore x = 1 \pm \sqrt{5}$，
$\therefore x_1 = 1 + \sqrt{5}$，$x_2 = 1 - \sqrt{5}$。
(2) $2x^2 - 4x - 5 = 0$
移项得 $2x^2 - 4x = 5$，
二次项系数化为1得 $x^2 - 2x = \frac{5}{2}$，
配方得 $x^2 - 2x + 1 = \frac{5}{2} + 1$，
即 $(x - 1)^2 = \frac{7}{2}$，
开平方得 $x - 1 = \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$，
$\therefore x = 1 \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$，
$\therefore x_1 = \frac{2 + \sqrt{14}}{2}$，$x_2 = \frac{2 - \sqrt{14}}{2}$。
(3) $3(x - 1)(x + 2) = x + 4$
原方程整理变形得 $3x^2 + 2x - 10 = 0$，
移项得 $3x^2 + 2x = 10$，
两边都除以3得 $x^2 + \frac{2}{3}x = \frac{10}{3}$，
配方得 $x^2 + \frac{2}{3}x + (\frac{1}{3})^2 = \frac{10}{3} + \frac{1}{9}$，
即 $(x + \frac{1}{3})^2 = \frac{31}{9}$，
开平方得 $x + \frac{1}{3} = \pm \frac{\sqrt{31}}{3}$，
$\therefore x_1 = \frac{-1 + \sqrt{31}}{3}$，$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{31}}{3}$。
(4) $3x^2 - 6x = 8$
方程两边都除以3得 $x^2 - 2x = \frac{8}{3}$，
配方得 $x^2 - 2x + 1 = \frac{8}{3} + 1$，
即 $(x - 1)^2 = \frac{11}{3}$，
开平方得 $x - 1 = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$，
解得 $x_1 = 1 + \frac{\sqrt{33}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$。
【答案】
(1)$x_1 = 1 + \sqrt{5}$，$x_2 = 1 - \sqrt{5}$；
(2)$x_1 = \frac{2 + \sqrt{14}}{2}$，$x_2 = \frac{2 - \sqrt{14}}{2}$；
(3)$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{31}}{3}$，$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{31}}{3}$；
(4)$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{33}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，核心考查配方法的标准操作步骤，其中展开整理方程、二次项系数化1、配方时常数项的计算是常见易错点，熟练掌握配方法流程后即可快速准确求解。
【难度系数】
0.7
这几道题均需使用配方法求解一元二次方程，解题遵循配方法通用思路即可：首先将方程整理为一元二次方程的一般形式，把常数项移到等号右侧；再将二次项系数化为1；接着等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧凑成完全平方式；最后对完全平方式开平方，转化为一元一次方程求解，计算过程中注意符号处理和根式化简。
【解析】
(1) $x^2 - 2x = 4$
配方，得 $x^2 - 2x + 1 = 4 + 1$，
$\therefore (x - 1)^2 = 5$，
开平方得 $x - 1 = \pm \sqrt{5}$，
$\therefore x = 1 \pm \sqrt{5}$，
$\therefore x_1 = 1 + \sqrt{5}$，$x_2 = 1 - \sqrt{5}$。
(2) $2x^2 - 4x - 5 = 0$
移项得 $2x^2 - 4x = 5$，
二次项系数化为1得 $x^2 - 2x = \frac{5}{2}$，
配方得 $x^2 - 2x + 1 = \frac{5}{2} + 1$，
即 $(x - 1)^2 = \frac{7}{2}$，
开平方得 $x - 1 = \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$，
$\therefore x = 1 \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$，
$\therefore x_1 = \frac{2 + \sqrt{14}}{2}$，$x_2 = \frac{2 - \sqrt{14}}{2}$。
(3) $3(x - 1)(x + 2) = x + 4$
原方程整理变形得 $3x^2 + 2x - 10 = 0$，
移项得 $3x^2 + 2x = 10$，
两边都除以3得 $x^2 + \frac{2}{3}x = \frac{10}{3}$，
配方得 $x^2 + \frac{2}{3}x + (\frac{1}{3})^2 = \frac{10}{3} + \frac{1}{9}$，
即 $(x + \frac{1}{3})^2 = \frac{31}{9}$，
开平方得 $x + \frac{1}{3} = \pm \frac{\sqrt{31}}{3}$，
$\therefore x_1 = \frac{-1 + \sqrt{31}}{3}$，$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{31}}{3}$。
(4) $3x^2 - 6x = 8$
方程两边都除以3得 $x^2 - 2x = \frac{8}{3}$，
配方得 $x^2 - 2x + 1 = \frac{8}{3} + 1$，
即 $(x - 1)^2 = \frac{11}{3}$，
开平方得 $x - 1 = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$，
解得 $x_1 = 1 + \frac{\sqrt{33}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$。
【答案】
(1)$x_1 = 1 + \sqrt{5}$，$x_2 = 1 - \sqrt{5}$；
(2)$x_1 = \frac{2 + \sqrt{14}}{2}$，$x_2 = \frac{2 - \sqrt{14}}{2}$；
(3)$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{31}}{3}$，$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{31}}{3}$；
(4)$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{33}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，核心考查配方法的标准操作步骤，其中展开整理方程、二次项系数化1、配方时常数项的计算是常见易错点，熟练掌握配方法流程后即可快速准确求解。
【难度系数】
0.7
