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例4.解方程：
(1)$(x+1)^2 - 9 = 0$；
解：$\because (x+1)^2 - 9 = 0, (x+1)^2 = 9, \therefore x+1 = \pm3, 即 x = -1\pm3, \therefore x_1 = -4, x_2 = 2$
(2)$\frac{1}{4}(x+1)^2 = 25$.
解：$\because \frac{1}{4}(x+1)^2 = 25, (x+1)^2 = 100, x+1 = \pm10, \therefore x_1 = -11, x_2 = 9$
分析：(1)由原式移项后可得$(x+1)^2 = 9$，用直接开平方法即可得；(2)先将系数化为1，进一步利用直接开平方法解方程.
(1)$(x+1)^2 - 9 = 0$；
解：$\because (x+1)^2 - 9 = 0, (x+1)^2 = 9, \therefore x+1 = \pm3, 即 x = -1\pm3, \therefore x_1 = -4, x_2 = 2$
(2)$\frac{1}{4}(x+1)^2 = 25$.
解：$\because \frac{1}{4}(x+1)^2 = 25, (x+1)^2 = 100, x+1 = \pm10, \therefore x_1 = -11, x_2 = 9$
分析：(1)由原式移项后可得$(x+1)^2 = 9$，用直接开平方法即可得；(2)先将系数化为1，进一步利用直接开平方法解方程.
答案
解：
(1)
$\because (x+1)^2 - 9 = 0$
移项，得$(x+1)^2 = 9$
$\therefore x+1 = \pm3$
即 $x = -1\pm3$
$\therefore x_1 = -4,\ x_2 = 2$
(2)
$\because \frac{1}{4}(x+1)^2 = 25$
系数化为1，得$(x+1)^2 = 100$
$\therefore x+1 = \pm10$
$\therefore x_1 = -11,\ x_2 = 9$
(1)
$\because (x+1)^2 - 9 = 0$
移项，得$(x+1)^2 = 9$
$\therefore x+1 = \pm3$
即 $x = -1\pm3$
$\therefore x_1 = -4,\ x_2 = 2$
(2)
$\because \frac{1}{4}(x+1)^2 = 25$
系数化为1，得$(x+1)^2 = 100$
$\therefore x+1 = \pm10$
$\therefore x_1 = -11,\ x_2 = 9$
解析
【分析】
这两道题均采用直接开平方法求解。第(1)题先通过移项，把常数项移到等号右侧，得到左边是完全平方式、右边是非负常数的形式，再根据平方根的定义对等式两边开平方，注意正数的平方根有2个且互为相反数，最后解两个一元一次方程即可得到方程的根；第(2)题先利用等式的性质将完全平方式的系数化为1，再和第(1)题的后续解法一致，开平方后求解一元一次方程即可。
【解析】
(1)
$\because (x+1)^2 - 9 = 0$
移项，得$(x+1)^2 = 9$
$\therefore x+1 = \pm3$
即 $x = -1\pm3$
$\therefore x_1 = -4,\ x_2 = 2$
(2)
$\because \frac{1}{4}(x+1)^2 = 25$
系数化为1，得$(x+1)^2 = 100$
$\therefore x+1 = \pm10$
$\therefore x_1 = -11,\ x_2 = 9$
【答案】
(1)$x_1=-4，x_2=2$；(2)$x_1=-11，x_2=9$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、等式的基本性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题核心是将方程变形为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，再通过开平方将一元二次方程降次为一元一次方程求解，计算时要注意开平方后取正负两个值，避免漏解。
【难度系数】
0.85
这两道题均采用直接开平方法求解。第(1)题先通过移项，把常数项移到等号右侧，得到左边是完全平方式、右边是非负常数的形式，再根据平方根的定义对等式两边开平方，注意正数的平方根有2个且互为相反数，最后解两个一元一次方程即可得到方程的根；第(2)题先利用等式的性质将完全平方式的系数化为1，再和第(1)题的后续解法一致，开平方后求解一元一次方程即可。
【解析】
(1)
$\because (x+1)^2 - 9 = 0$
移项，得$(x+1)^2 = 9$
$\therefore x+1 = \pm3$
即 $x = -1\pm3$
$\therefore x_1 = -4,\ x_2 = 2$
(2)
$\because \frac{1}{4}(x+1)^2 = 25$
系数化为1，得$(x+1)^2 = 100$
$\therefore x+1 = \pm10$
$\therefore x_1 = -11,\ x_2 = 9$
【答案】
(1)$x_1=-4，x_2=2$；(2)$x_1=-11，x_2=9$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、等式的基本性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题核心是将方程变形为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，再通过开平方将一元二次方程降次为一元一次方程求解，计算时要注意开平方后取正负两个值，避免漏解。
【难度系数】
0.85
4.一元二次方程$2(x-1)^2=3$的解是 （
A.$x_1=2,x_2=3$
B.$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$
C.$x_1=\frac{\sqrt{6}}{2}+1,x_2=-\frac{\sqrt{6}}{2}+1$
D.$x_1=\frac{\sqrt{6}}{2}-1,x_2=-\frac{\sqrt{6}}{2}-1$
C
）A.$x_1=2,x_2=3$
B.$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$
C.$x_1=\frac{\sqrt{6}}{2}+1,x_2=-\frac{\sqrt{6}}{2}+1$
D.$x_1=\frac{\sqrt{6}}{2}-1,x_2=-\frac{\sqrt{6}}{2}-1$
答案
4.C
解析
【分析】
这道题考查形如$a(x-h)^2=b$（$a≠0$，$ab≥0$）的一元二次方程的解法，解题思路清晰：首先要把完全平方式的系数化为1，再利用直接开平方法降次，最后求解未知数即可。第一步先把方程两边同时除以2，把左边$(x-1)^2$的系数变成1；第二步对变形后的方程两边开平方，注意正数的平方根有两个，要带±号；第三步移项求出x的两个解，再和选项对比即可。
【解析】
解：对方程$2(x-1)^2=3$进行求解：
1. 系数化为1：方程两边同时除以2，得
$(x-1)^2=\frac{3}{2}$
2. 直接开平方：两边同时开平方，得
$x-1=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}$
3. 化简二次根式：对$\sqrt{\frac{3}{2}}$分母有理化，得$\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，因此
$x-1=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$
4. 移项求解：
$x=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$
即$x_1=\frac{\sqrt{6}}{2}+1$，$x_2=-\frac{\sqrt{6}}{2}+1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、二次根式化简
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心是掌握直接开平方法的适用条件，解题时要注意开平方时不要遗漏负根，同时要熟练掌握二次根式的分母有理化化简，避免因根式化简错误或移项时符号出错选错答案。
【难度系数】
0.8
这道题考查形如$a(x-h)^2=b$（$a≠0$，$ab≥0$）的一元二次方程的解法，解题思路清晰：首先要把完全平方式的系数化为1，再利用直接开平方法降次，最后求解未知数即可。第一步先把方程两边同时除以2，把左边$(x-1)^2$的系数变成1；第二步对变形后的方程两边开平方，注意正数的平方根有两个，要带±号；第三步移项求出x的两个解，再和选项对比即可。
【解析】
解：对方程$2(x-1)^2=3$进行求解：
1. 系数化为1：方程两边同时除以2，得
$(x-1)^2=\frac{3}{2}$
2. 直接开平方：两边同时开平方，得
$x-1=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}$
3. 化简二次根式：对$\sqrt{\frac{3}{2}}$分母有理化，得$\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，因此
$x-1=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$
4. 移项求解：
$x=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$
即$x_1=\frac{\sqrt{6}}{2}+1$，$x_2=-\frac{\sqrt{6}}{2}+1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、二次根式化简
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心是掌握直接开平方法的适用条件，解题时要注意开平方时不要遗漏负根，同时要熟练掌握二次根式的分母有理化化简，避免因根式化简错误或移项时符号出错选错答案。
【难度系数】
0.8
5.一元二次方程$(x+6)^2=16$可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是$x+6=4$,则另一个一元一次方程是
.
.
答案
5.$x+6=-4$
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路是根据平方根的性质：若一个数的平方等于正数a，则这个数为a的两个平方根，二者互为相反数。本题中将$x+6$看作整体，它的平方等于16，因此$x+6$是16的两个平方根，已知其中一个是$x+6=4$，另一个就是16的负平方根对应的等式。
【解析】
解：已知一元二次方程为$(x+6)^2=16$，根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，可得：
$x+6=\pm\sqrt{16}$
即$x+6=\pm4$
拆分后得到两个一元一次方程：$x+6=4$和$x+6=-4$，因此另一个一元一次方程为$x+6=-4$。
【答案】
$x+6=-4$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心是掌握正数有两个互为相反数的平方根，开平方时要注意不要遗漏负根。
【难度系数】
0.9
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路是根据平方根的性质：若一个数的平方等于正数a，则这个数为a的两个平方根，二者互为相反数。本题中将$x+6$看作整体，它的平方等于16，因此$x+6$是16的两个平方根，已知其中一个是$x+6=4$，另一个就是16的负平方根对应的等式。
【解析】
解：已知一元二次方程为$(x+6)^2=16$，根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，可得：
$x+6=\pm\sqrt{16}$
即$x+6=\pm4$
拆分后得到两个一元一次方程：$x+6=4$和$x+6=-4$，因此另一个一元一次方程为$x+6=-4$。
【答案】
$x+6=-4$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心是掌握正数有两个互为相反数的平方根，开平方时要注意不要遗漏负根。
【难度系数】
0.9
6.用直接开平方法解一元二次方程.
(1)$2(x+3)^2 - 4 = 0$;
(2)$(2x+1)^2 = (x-1)^2$.
(1)$2(x+3)^2 - 4 = 0$;
(2)$(2x+1)^2 = (x-1)^2$.
答案
6.(1)$x_1=-3+\sqrt{2},x_2=-3-\sqrt{2}$
(2)$x_1=0,x_2=-2$
(2)$x_1=0,x_2=-2$
解析
【分析】
直接开平方法解一元二次方程的核心是将方程转化为“完全平方式等于非负常数”的形式，再利用平方根的性质把二次方程降次为两个一元一次方程求解。对于(1)，先通过移项、系数化为1，把方程整理为$(x+3)^2=2$的形式，再开平方求解；对于(2)，方程左右两边都是完全平方式，可直接开平方，注意平方相等的两个数相等或互为相反数，分两种情况求解即可。
【解析】
(1) 移项，得 $2(x+3)^2=4$
两边同时除以2，得 $(x+3)^2=2$
开平方，得 $x+3=\pm\sqrt{2}$
即 $x+3=\sqrt{2}$ 或 $x+3=-\sqrt{2}$
解得 $x_1=-3+\sqrt{2}$，$x_2=-3-\sqrt{2}$
(2) 开平方，得 $2x+1=\pm(x-1)$
分两种情况计算：
① 当$2x+1=x-1$时，移项得$2x-x=-1-1$，解得$x=-2$
② 当$2x+1=-(x-1)$时，去括号得$2x+1=-x+1$，移项合并同类项得$3x=0$，解得$x=0$
【答案】
(1)$x_1=-3+\sqrt{2},x_2=-3-\sqrt{2}$
(2)$x_1=0,x_2=-2$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题时需先把方程整理为符合直接开平方的形式，开平方时要注意考虑正负两种情况，避免漏解，掌握降次思路是解一元二次方程的核心基础。
【难度系数】
0.8
直接开平方法解一元二次方程的核心是将方程转化为“完全平方式等于非负常数”的形式，再利用平方根的性质把二次方程降次为两个一元一次方程求解。对于(1)，先通过移项、系数化为1，把方程整理为$(x+3)^2=2$的形式，再开平方求解；对于(2)，方程左右两边都是完全平方式，可直接开平方，注意平方相等的两个数相等或互为相反数，分两种情况求解即可。
【解析】
(1) 移项，得 $2(x+3)^2=4$
两边同时除以2，得 $(x+3)^2=2$
开平方，得 $x+3=\pm\sqrt{2}$
即 $x+3=\sqrt{2}$ 或 $x+3=-\sqrt{2}$
解得 $x_1=-3+\sqrt{2}$，$x_2=-3-\sqrt{2}$
(2) 开平方，得 $2x+1=\pm(x-1)$
分两种情况计算：
① 当$2x+1=x-1$时，移项得$2x-x=-1-1$，解得$x=-2$
② 当$2x+1=-(x-1)$时，去括号得$2x+1=-x+1$，移项合并同类项得$3x=0$，解得$x=0$
【答案】
(1)$x_1=-3+\sqrt{2},x_2=-3-\sqrt{2}$
(2)$x_1=0,x_2=-2$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题时需先把方程整理为符合直接开平方的形式，开平方时要注意考虑正负两种情况，避免漏解，掌握降次思路是解一元二次方程的核心基础。
【难度系数】
0.8
例5.对于方程 $x^2 = m - 1$.
(1)若方程有两个不相等的实数根,则 $m$ ;
(2)若方程有两个相等的实数根,则 $m$ ;
(3)若方程无实数根,则 $m$ .
分析:根据方程右边分别为正数,0,负数时,可求出 $m$ 的取值范围.
解:(1)$＞1$;(2)$=1$;(3)$＜1$
(1)若方程有两个不相等的实数根,则 $m$ ;
(2)若方程有两个相等的实数根,则 $m$ ;
(3)若方程无实数根,则 $m$ .
分析:根据方程右边分别为正数,0,负数时,可求出 $m$ 的取值范围.
解:(1)$＞1$;(2)$=1$;(3)$＜1$
答案
(1) $\boldsymbol{＞1}$；(2) $\boldsymbol{=1}$；(3) $\boldsymbol{＜1}$
解析
【分析】
我们知道任意实数的平方都是非负数，即$x^2 ≥ 0$，因此方程$x^2 = m - 1$的根的情况由等号右侧的$m-1$的符号决定：当$m-1$为正数时，方程有两个不相等的实数根；当$m-1$为0时，方程有两个相等的实数根；当$m-1$为负数时，方程没有实数根。我们只需要分别根据三种根的情况列出关于$m$的不等式或等式，求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
根据平方的非负性可知，对任意实数$x$，都有$x^2 ≥ 0$，结合方程根的情况分析如下：
(1) 若方程有两个不相等的实数根，则$m - 1 ＞ 0$，移项可得$m ＞ 1$；
(2) 若方程有两个相等的实数根，则$m - 1 = 0$，解得$m = 1$；
(3) 若方程无实数根，则$m - 1 ＜ 0$，移项可得$m ＜ 1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{＞1}$；(2) $\boldsymbol{=1}$；(3) $\boldsymbol{＜1}$
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 一元二次方程根的判定
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的情况判定的基础题型，核心是利用平方的非负性建立关于参数的关系式求解，解题思路清晰，属于必须熟练掌握的基础考点。
【难度系数】
0.8
我们知道任意实数的平方都是非负数，即$x^2 ≥ 0$，因此方程$x^2 = m - 1$的根的情况由等号右侧的$m-1$的符号决定：当$m-1$为正数时，方程有两个不相等的实数根；当$m-1$为0时，方程有两个相等的实数根；当$m-1$为负数时，方程没有实数根。我们只需要分别根据三种根的情况列出关于$m$的不等式或等式，求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
根据平方的非负性可知，对任意实数$x$，都有$x^2 ≥ 0$，结合方程根的情况分析如下：
(1) 若方程有两个不相等的实数根，则$m - 1 ＞ 0$，移项可得$m ＞ 1$；
(2) 若方程有两个相等的实数根，则$m - 1 = 0$，解得$m = 1$；
(3) 若方程无实数根，则$m - 1 ＜ 0$，移项可得$m ＜ 1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{＞1}$；(2) $\boldsymbol{=1}$；(3) $\boldsymbol{＜1}$
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 一元二次方程根的判定
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的情况判定的基础题型，核心是利用平方的非负性建立关于参数的关系式求解，解题思路清晰，属于必须熟练掌握的基础考点。
【难度系数】
0.8
7.若方程$(x-4)^2=a$有实数解,则$a$的取值范围是 （
A.$a≤ 0$
B.$a≥ 0$
C.$a＞0$
D.无法确定
B
）A.$a≤ 0$
B.$a≥ 0$
C.$a＞0$
D.无法确定
答案
7.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆实数平方的性质：任意实数的平方都是非负数，也就是大于等于0。方程左边是$(x-4)$的平方，当x是实数时，$(x-4)$也为实数，它的平方的取值范围恒大于等于0。方程要有实数解，说明右边的a的取值必须和左边的取值范围匹配，因此a需要满足大于等于0，才能找到对应的实数x使等式成立。
【解析】
∵ 对于任意实数x，$(x-4)$都是实数，根据平方的性质，任意实数的平方是非负数，
∴ $(x-4)^2 ≥ 0$
又
∵ 方程$(x-4)^2=a$有实数解，
∴ a的取值范围要满足$a=(x-4)^2 ≥ 0$，即$a≥0$。
因此选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.平方的非负性 2.直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查对平方非负性的理解与应用，只要掌握实数平方的取值特征，就能快速判断a的取值范围。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆实数平方的性质：任意实数的平方都是非负数，也就是大于等于0。方程左边是$(x-4)$的平方，当x是实数时，$(x-4)$也为实数，它的平方的取值范围恒大于等于0。方程要有实数解，说明右边的a的取值必须和左边的取值范围匹配，因此a需要满足大于等于0，才能找到对应的实数x使等式成立。
【解析】
∵ 对于任意实数x，$(x-4)$都是实数，根据平方的性质，任意实数的平方是非负数，
∴ $(x-4)^2 ≥ 0$
又
∵ 方程$(x-4)^2=a$有实数解，
∴ a的取值范围要满足$a=(x-4)^2 ≥ 0$，即$a≥0$。
因此选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.平方的非负性 2.直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查对平方非负性的理解与应用，只要掌握实数平方的取值特征，就能快速判断a的取值范围。
【难度系数】
0.9
8.用直接开平方法解方程$(x+m)^2 = n$，下列结论正确的是 （
A.有两个根，为$x=\pm\sqrt{n}$
B.当$n＞0$时，有两个根，为$x=\pm\sqrt{n}-m$
C.当$x＞0$时，有两个根，为$x=\pm\sqrt{n}+m$
D.当$n≤0$时，无实数根
B
）A.有两个根，为$x=\pm\sqrt{n}$
B.当$n＞0$时，有两个根，为$x=\pm\sqrt{n}-m$
C.当$x＞0$时，有两个根，为$x=\pm\sqrt{n}+m$
D.当$n≤0$时，无实数根
答案
8.B
解析
【分析】
拿到这道题，首先明确考查直接开平方法解一元二次方程，解题核心是依据平方根的性质：只有非负数才有平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。我们需要先对等式右边的n分情况讨论，求出不同取值下方程的解，再逐一匹配选项判断正误。
【解析】
根据平方根的性质，对$(x+m)^2 = n$分情况讨论：
1. 当$n＞0$时，正数有两个互为相反数的平方根，因此$x+m=\pm\sqrt{n}$，移项可得方程的两个根为$x=\pm\sqrt{n}-m$；
2. 当$n=0$时，0的平方根是0，因此$x+m=0$，方程有唯一实根$x=-m$；
3. 当$n＜0$时，负数没有平方根，方程无实数根。
接下来逐一判断选项：
A选项：未考虑n的取值范围，且根的表达式漏了减m，错误；
B选项：符合$n＞0$时的解的情况，正确；
C选项：判断条件错误（应看n的取值而非x的取值），且根的表达式应为减m，错误；
D选项：$n=0$时方程有实数根$x=-m$，因此结论错误。
【答案】
B
【知识点】
1.直接开平方法解方程 2.平方根的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，重点考查对直接开平方法适用条件的理解，易错点是容易忽略n=0时方程有实数根的情况，以及移项时符号处理错误。
【难度系数】
0.7
拿到这道题，首先明确考查直接开平方法解一元二次方程，解题核心是依据平方根的性质：只有非负数才有平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。我们需要先对等式右边的n分情况讨论，求出不同取值下方程的解，再逐一匹配选项判断正误。
【解析】
根据平方根的性质，对$(x+m)^2 = n$分情况讨论：
1. 当$n＞0$时，正数有两个互为相反数的平方根，因此$x+m=\pm\sqrt{n}$，移项可得方程的两个根为$x=\pm\sqrt{n}-m$；
2. 当$n=0$时，0的平方根是0，因此$x+m=0$，方程有唯一实根$x=-m$；
3. 当$n＜0$时，负数没有平方根，方程无实数根。
接下来逐一判断选项：
A选项：未考虑n的取值范围，且根的表达式漏了减m，错误；
B选项：符合$n＞0$时的解的情况，正确；
C选项：判断条件错误（应看n的取值而非x的取值），且根的表达式应为减m，错误；
D选项：$n=0$时方程有实数根$x=-m$，因此结论错误。
【答案】
B
【知识点】
1.直接开平方法解方程 2.平方根的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，重点考查对直接开平方法适用条件的理解，易错点是容易忽略n=0时方程有实数根的情况，以及移项时符号处理错误。
【难度系数】
0.7
9.若代数式 $ x^2 - 2x $ 与 $ 9 - 2x $ 的值相等，则
$ x = \underline{\hspace{5cm}} $.
$ x = \underline{\hspace{5cm}} $.
答案
9.$\pm3$
解析
【分析】
解题时首先抓住题目中“两个代数式的值相等”的核心条件，先列出关于x的等式，再通过移项、合并同类项化简等式，最后根据平方根的定义求出x的取值即可，注意开平方时不要遗漏负根。
【解析】
根据题意可列方程：
$x^2 - 2x = 9 - 2x$
移项，将含$x$的项移到等号左侧，常数项留在右侧：
$x^2 - 2x + 2x = 9$
合并同类项得：
$x^2 = 9$
对等式两边同时开平方，得：
$x = ±3$
【答案】
$\pm3$
【知识点】
1. 依题意列方程
2. 方程化简
3. 直接开平方法解方程
【点评】
本题是基础题型，重点考查学生根据等量关系列方程的能力，计算难度低，解题时注意合并同类项的规则，开平方时要同时考虑正、负两个根，避免漏解。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住题目中“两个代数式的值相等”的核心条件，先列出关于x的等式，再通过移项、合并同类项化简等式，最后根据平方根的定义求出x的取值即可，注意开平方时不要遗漏负根。
【解析】
根据题意可列方程：
$x^2 - 2x = 9 - 2x$
移项，将含$x$的项移到等号左侧，常数项留在右侧：
$x^2 - 2x + 2x = 9$
合并同类项得：
$x^2 = 9$
对等式两边同时开平方，得：
$x = ±3$
【答案】
$\pm3$
【知识点】
1. 依题意列方程
2. 方程化简
3. 直接开平方法解方程
【点评】
本题是基础题型，重点考查学生根据等量关系列方程的能力，计算难度低，解题时注意合并同类项的规则，开平方时要同时考虑正、负两个根，避免漏解。
【难度系数】
0.8
10.已知一元二次方程$(x-3)^2=1$的两个解恰好分别是等腰三角形$ABC$的底边长和腰长,求$△ ABC$的周长.
答案
10.$\because (x-3)^2=1$,$\therefore x-3=\pm1$,解得,$x_1=4,x_2=2$,$\because$一元二次方程$(x-3)^2=1$的两个解恰好分别是等腰三角形$ABC$的底边长和腰长,$\therefore$①当底边长和腰长分别为4和2时,$4=2+2$,此时不能构成三角形;②当底边长和腰长分别是2和4时,能构成三角形,$\therefore△ ABC$的周长为$2+4+4=10$
解析
【分析】
解题时首先需要用直接开平方法解出给定一元二次方程的两个根，再结合等腰三角形底和腰的性质分两种情况讨论：①若其中一个根为底边长，另一个为腰长；②交换底和腰的取值。每种情况都要根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断是否能构成三角形，排除不符合的情况后，对符合要求的情况计算周长即可。
【解析】
解：先求解一元二次方程$(x-3)^2=1$，
两边开平方得，$x-3=\pm1$，
解得$x_1=4$，$x_2=2$。
已知方程的两个解分别是等腰$△ ABC$的底边长和腰长，分两种情况讨论：
① 当底边长为4，腰长为2时，三边长分别为4、2、2，
$\because 2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，$\therefore$ 此时不能构成三角形，舍去；
② 当底边长为2，腰长为4时，三边长分别为2、4、4，
$\because 2+4＞4$，$4+4＞2$，满足三角形三边关系，可构成三角形，
此时$△ ABC$的周长为$2+4+4=10$。
【答案】
10
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题将一元二次方程求解与三角形的性质结合考查，解题时要注意分类讨论思想的应用，得到两种边长组合后必须验证是否满足三角形三边关系，避免未验证直接计算导致的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要用直接开平方法解出给定一元二次方程的两个根，再结合等腰三角形底和腰的性质分两种情况讨论：①若其中一个根为底边长，另一个为腰长；②交换底和腰的取值。每种情况都要根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断是否能构成三角形，排除不符合的情况后，对符合要求的情况计算周长即可。
【解析】
解：先求解一元二次方程$(x-3)^2=1$，
两边开平方得，$x-3=\pm1$，
解得$x_1=4$，$x_2=2$。
已知方程的两个解分别是等腰$△ ABC$的底边长和腰长，分两种情况讨论：
① 当底边长为4，腰长为2时，三边长分别为4、2、2，
$\because 2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，$\therefore$ 此时不能构成三角形，舍去；
② 当底边长为2，腰长为4时，三边长分别为2、4、4，
$\because 2+4＞4$，$4+4＞2$，满足三角形三边关系，可构成三角形，
此时$△ ABC$的周长为$2+4+4=10$。
【答案】
10
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题将一元二次方程求解与三角形的性质结合考查，解题时要注意分类讨论思想的应用，得到两种边长组合后必须验证是否满足三角形三边关系，避免未验证直接计算导致的错误。
【难度系数】
0.7
