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1.已知$a,b,c$为常数，点$P(a,c)$在第四象限，则关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0$的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
答案
A
解析
【分析】
解题可按以下思路推进：首先，根据第四象限内点的坐标特征，确定a、c的符号，同时a＞0说明给定方程是一元二次方程，可通过根的判别式判断根的情况；其次，由a、c的符号推导ac的正负；最后，结合平方数的非负性分析根的判别式Δ的正负，即可得出方程根的情况。
【解析】
解：
∵点P(a,c)在第四象限，
∴横坐标a＞0，纵坐标c＜0，
∴ac＜0，且a≠0，方程$ax^2+bx+c=0$为一元二次方程。
一元二次方程根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$，
∵$b^2≥0$，$ac＜0$，
∴$-4ac＞0$，
∴$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
∴方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
象限内点的坐标特征；一元二次方程根的判别式；有理数乘法符号法则
【点评】
本题属于基础综合题，将平面直角坐标系的性质与一元二次方程根的判定结合考查，解题的关键是先通过点的位置确定a、c的符号，再推导判别式的正负，是根的判别式应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路推进：首先，根据第四象限内点的坐标特征，确定a、c的符号，同时a＞0说明给定方程是一元二次方程，可通过根的判别式判断根的情况；其次，由a、c的符号推导ac的正负；最后，结合平方数的非负性分析根的判别式Δ的正负，即可得出方程根的情况。
【解析】
解：
∵点P(a,c)在第四象限，
∴横坐标a＞0，纵坐标c＜0，
∴ac＜0，且a≠0，方程$ax^2+bx+c=0$为一元二次方程。
一元二次方程根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$，
∵$b^2≥0$，$ac＜0$，
∴$-4ac＞0$，
∴$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
∴方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
象限内点的坐标特征；一元二次方程根的判别式；有理数乘法符号法则
【点评】
本题属于基础综合题，将平面直角坐标系的性质与一元二次方程根的判定结合考查，解题的关键是先通过点的位置确定a、c的符号，再推导判别式的正负，是根的判别式应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
2.若关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^2 +4x +2=0$有两个实数根，则$m$的取值范围是（
A.$m≤4$
B.$m≥4$
C.$m≥-4$且$m≠2$
D.$m≤4$且$m≠2$
D
）A.$m≤4$
B.$m≥4$
C.$m≥-4$且$m≠2$
D.$m≤4$且$m≠2$
答案
D
解析
【分析】
要解这道题，需结合两个核心限制条件推导：①题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有两个实数根，说明根的判别式Δ≥0。我们先分别根据这两个条件列出关于m的不等式，再合并两个不等式的解集，即可得到m的最终取值范围。
【解析】
1. 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得：
$m-2≠0$，解得$m≠2$；
2. 方程有两个实数根，根据根的判别式规则$\Delta =b^2-4ac≥0$，代入$a=m-2$、$b=4$、$c=2$得：
$\Delta=4^2-4×(m-2)×2≥0$
计算化简：
$16-8(m-2)≥0$
$16-8m+16≥0$
$32-8m≥0$
解得$m≤4$；
3. 合并两个限制条件，可得$m$的取值范围是$m≤4$且$m≠2$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；不等式求解
【点评】
本题是根的判别式应用的典型易错题，很多学生容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式得到$m≤4$就错选A，解决此类问题时要先确认方程类型的前置限制，再结合判别式计算。
【难度系数】
0.7
要解这道题，需结合两个核心限制条件推导：①题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有两个实数根，说明根的判别式Δ≥0。我们先分别根据这两个条件列出关于m的不等式，再合并两个不等式的解集，即可得到m的最终取值范围。
【解析】
1. 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得：
$m-2≠0$，解得$m≠2$；
2. 方程有两个实数根，根据根的判别式规则$\Delta =b^2-4ac≥0$，代入$a=m-2$、$b=4$、$c=2$得：
$\Delta=4^2-4×(m-2)×2≥0$
计算化简：
$16-8(m-2)≥0$
$16-8m+16≥0$
$32-8m≥0$
解得$m≤4$；
3. 合并两个限制条件，可得$m$的取值范围是$m≤4$且$m≠2$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；不等式求解
【点评】
本题是根的判别式应用的典型易错题，很多学生容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式得到$m≤4$就错选A，解决此类问题时要先确认方程类型的前置限制，再结合判别式计算。
【难度系数】
0.7
3. 关于$x$的一元二次方程$mx^2 - 2x -1=0$无实数根，则一次函数$y=mx+2$的图象不经过（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
【解析】
∵一元二次方程$mx^2 - 2x -1=0$无实数根，
∴$m≠0$，且$\Delta=(-2)^2 -4m·(-1)＜0$，解得$m＜-1$，
∴一次函数$y=mx+2$的图象经过第一、第二、第四象限，
∴一次函数$y=mx+2$的图象不经过第三象限。
∵一元二次方程$mx^2 - 2x -1=0$无实数根，
∴$m≠0$，且$\Delta=(-2)^2 -4m·(-1)＜0$，解得$m＜-1$，
∴一次函数$y=mx+2$的图象经过第一、第二、第四象限，
∴一次函数$y=mx+2$的图象不经过第三象限。
解析
【分析】
解题时首先根据“一元二次方程无实数根”的条件确定求解方向：首先一元二次方程要求二次项系数不为0，其次无实根对应根的判别式Δ＜0，联立两个条件可求出参数m的取值范围；再结合一次函数的图象性质，根据斜率m和截距的正负判断函数图象经过的象限，即可得出结论。
【解析】
∵关于$x$的一元二次方程$mx^2 - 2x -1=0$无实数根，
∴$m≠0$，且根的判别式$\Delta=(-2)^2 -4m·(-1)＜0$，
计算得$4 + 4m ＜ 0$，解得$m ＜ -1$，
对于一次函数$y=mx+2$，斜率$m ＜ -1 ＜ 0$，截距$2＞0$，
∴该一次函数的图象经过第一、第二、第四象限，
∴一次函数$y=mx+2$的图象不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根的情况与一次函数图象性质结合考查，解题关键是先根据方程根的情况求出参数m的取值范围，再结合一次函数k、b的符号判断图象经过的象限。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据“一元二次方程无实数根”的条件确定求解方向：首先一元二次方程要求二次项系数不为0，其次无实根对应根的判别式Δ＜0，联立两个条件可求出参数m的取值范围；再结合一次函数的图象性质，根据斜率m和截距的正负判断函数图象经过的象限，即可得出结论。
【解析】
∵关于$x$的一元二次方程$mx^2 - 2x -1=0$无实数根，
∴$m≠0$，且根的判别式$\Delta=(-2)^2 -4m·(-1)＜0$，
计算得$4 + 4m ＜ 0$，解得$m ＜ -1$，
对于一次函数$y=mx+2$，斜率$m ＜ -1 ＜ 0$，截距$2＞0$，
∴该一次函数的图象经过第一、第二、第四象限，
∴一次函数$y=mx+2$的图象不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根的情况与一次函数图象性质结合考查，解题关键是先根据方程根的情况求出参数m的取值范围，再结合一次函数k、b的符号判断图象经过的象限。
【难度系数】
0.7
4.已知关于x的方程$x^2 -4x +3a -1=0$有两个实数根.
(1)求实数a的取值范围.
(2)若a为正整数,求方程的根.
(1)求实数a的取值范围.
(2)若a为正整数,求方程的根.
答案
解:(1)
∵关于$x$的方程$x^2 -4x +3a -1=0$有两个实数根，
∴$\Delta=(-4)^2 -4(3a -1)≥0$，解得$a≤\dfrac{5}{3}$，
∴$a$的取值范围为$a≤\dfrac{5}{3}$。
(2)
∵$a≤\dfrac{5}{3}$，且$a$为正整数，
∴$a=1$，
∴方程$x^2 -4x +3a -1=0$可化为$x^2 -4x +2=0$，
∴此方程的根为$x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$。
∵关于$x$的方程$x^2 -4x +3a -1=0$有两个实数根，
∴$\Delta=(-4)^2 -4(3a -1)≥0$，解得$a≤\dfrac{5}{3}$，
∴$a$的取值范围为$a≤\dfrac{5}{3}$。
(2)
∵$a≤\dfrac{5}{3}$，且$a$为正整数，
∴$a=1$，
∴方程$x^2 -4x +3a -1=0$可化为$x^2 -4x +2=0$，
∴此方程的根为$x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$。
解析
【分析】
(1) 一元二次方程有两个实数根时，根的判别式$\Delta ≥ 0$，我们只需确定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式列出关于a的不等式，求解即可得到a的取值范围。(2) 结合第一问得到的a的取值范围，以及a为正整数的限制条件，先确定a的具体值，再将a代入原方程，用配方法或求根公式求解方程的根即可。
【解析】
(1) 已知关于$x$的方程$x^2 -4x +3a -1=0$有两个实数根，
根据一元二次方程根的判别式与根的关系可得$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，
代入$a=1$，$b=-4$，$c=3a-1$得：
$\Delta=(-4)^2 -4(3a -1)≥0$
计算化简得：$16-12a+4≥0$，即$20≥12a$，
解得$a≤\dfrac{5}{3}$。
(2) 已知$a≤\dfrac{5}{3}$且a为正整数，因此符合条件的正整数$a=1$，
将$a=1$代入原方程得：$x^2 -4x +3×1 -1=0$，即$x^2 -4x +2=0$，
配方得$(x-2)^2=2$，
开方得$x-2=\pm\sqrt{2}$，
解得$x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$a≤\dfrac{5}{3}$；(2)$x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.解一元二次方程 3.不等式求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，解题时需注意题干的限制条件，准确确定参数取值后代入解方程即可，需熟练掌握判别式的应用以及解一元二次方程的常用方法。
【难度系数】
0.8
(1) 一元二次方程有两个实数根时，根的判别式$\Delta ≥ 0$，我们只需确定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式列出关于a的不等式，求解即可得到a的取值范围。(2) 结合第一问得到的a的取值范围，以及a为正整数的限制条件，先确定a的具体值，再将a代入原方程，用配方法或求根公式求解方程的根即可。
【解析】
(1) 已知关于$x$的方程$x^2 -4x +3a -1=0$有两个实数根，
根据一元二次方程根的判别式与根的关系可得$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，
代入$a=1$，$b=-4$，$c=3a-1$得：
$\Delta=(-4)^2 -4(3a -1)≥0$
计算化简得：$16-12a+4≥0$，即$20≥12a$，
解得$a≤\dfrac{5}{3}$。
(2) 已知$a≤\dfrac{5}{3}$且a为正整数，因此符合条件的正整数$a=1$，
将$a=1$代入原方程得：$x^2 -4x +3×1 -1=0$，即$x^2 -4x +2=0$，
配方得$(x-2)^2=2$，
开方得$x-2=\pm\sqrt{2}$，
解得$x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$a≤\dfrac{5}{3}$；(2)$x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.解一元二次方程 3.不等式求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，解题时需注意题干的限制条件，准确确定参数取值后代入解方程即可，需熟练掌握判别式的应用以及解一元二次方程的常用方法。
【难度系数】
0.8
5.关于$x$的方程$x^2 -2x +4 -m=0$有两个不等的实数根.
(1)求$m$的取值范围.
(2)化简:$\dfrac{1 - m^2}{|m - 3|} ÷ \dfrac{m - 1}{2} · \dfrac{m - 3}{m + 1}$.
(1)求$m$的取值范围.
(2)化简:$\dfrac{1 - m^2}{|m - 3|} ÷ \dfrac{m - 1}{2} · \dfrac{m - 3}{m + 1}$.
答案
解:(1)
∵关于$x$的方程$x^2 -2x +4 -m=0$有两个不等的实数根，
∴$\Delta=(-2)^2 -4×1×(4 - m)＞0$，解得$m＞3$。
(2)
∵$m＞3$，
∴$\dfrac{1 - m^2}{|m - 3|} ÷ \dfrac{m - 1}{2} · \dfrac{m - 3}{m + 1} = \dfrac{-(m+1)(m-1)}{m-3} · \dfrac{2}{m-1} · \dfrac{m-3}{m+1} = -2$。
∵关于$x$的方程$x^2 -2x +4 -m=0$有两个不等的实数根，
∴$\Delta=(-2)^2 -4×1×(4 - m)＞0$，解得$m＞3$。
(2)
∵$m＞3$，
∴$\dfrac{1 - m^2}{|m - 3|} ÷ \dfrac{m - 1}{2} · \dfrac{m - 3}{m + 1} = \dfrac{-(m+1)(m-1)}{m-3} · \dfrac{2}{m-1} · \dfrac{m-3}{m+1} = -2$。
解析
【分析】
第(1)问：已知一元二次方程有两个不等实数根，可直接利用根的判别式与根的个数的关系求解：当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根，代入对应系数列不等式即可求出$m$的取值范围。第(2)问：先根据第(1)问得到的$m$的范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号，再将分式除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分即可得到化简结果，运算时注意符号处理。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 -2x +4 -m=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=4-m$。
∵方程有两个不等的实数根，
∴$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(4 - m) ＞ 0$，
计算得：$4 - 16 + 4m ＞ 0$，
整理得$4m ＞ 12$，解得$m ＞ 3$。
(2) 由(1)得$m ＞ 3$，因此$m - 3 ＞ 0$，故$|m - 3| = m - 3$。
对分式进行化简：
$\dfrac{1 - m^2}{|m - 3|} ÷ \dfrac{m - 1}{2} · \dfrac{m - 3}{m + 1}$
将除法转化为乘法，同时对$1-m^2$因式分解得$-(m+1)(m-1)$，代入得：
$=\dfrac{-(m+1)(m-1)}{m - 3} · \dfrac{2}{m - 1} · \dfrac{m - 3}{m + 1}$
约分后可得结果为$-2$。
【答案】
(1) $m ＞ 3$；(2) $-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，分式化简，绝对值的性质
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程根的判别式应用和分式运算结合，解题核心是先通过判别式求出$m$的取值范围，再结合范围去掉绝对值，分式运算时要注意运算顺序、因式分解的正确性，尤其要注意负号的处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
第(1)问：已知一元二次方程有两个不等实数根，可直接利用根的判别式与根的个数的关系求解：当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根，代入对应系数列不等式即可求出$m$的取值范围。第(2)问：先根据第(1)问得到的$m$的范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号，再将分式除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分即可得到化简结果，运算时注意符号处理。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 -2x +4 -m=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=4-m$。
∵方程有两个不等的实数根，
∴$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(4 - m) ＞ 0$，
计算得：$4 - 16 + 4m ＞ 0$，
整理得$4m ＞ 12$，解得$m ＞ 3$。
(2) 由(1)得$m ＞ 3$，因此$m - 3 ＞ 0$，故$|m - 3| = m - 3$。
对分式进行化简：
$\dfrac{1 - m^2}{|m - 3|} ÷ \dfrac{m - 1}{2} · \dfrac{m - 3}{m + 1}$
将除法转化为乘法，同时对$1-m^2$因式分解得$-(m+1)(m-1)$，代入得：
$=\dfrac{-(m+1)(m-1)}{m - 3} · \dfrac{2}{m - 1} · \dfrac{m - 3}{m + 1}$
约分后可得结果为$-2$。
【答案】
(1) $m ＞ 3$；(2) $-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，分式化简，绝对值的性质
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程根的判别式应用和分式运算结合，解题核心是先通过判别式求出$m$的取值范围，再结合范围去掉绝对值，分式运算时要注意运算顺序、因式分解的正确性，尤其要注意负号的处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
6. (2025—2026 南昌西湖区检测)已知关于$x$的一元二次方程$(a+c)x^2 + 2bx + a - c = 0$，其中$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长.
(1)如果$x=-1$是方程的根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由.
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由.
(3)如果$△ ABC$是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
(1)如果$x=-1$是方程的根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由.
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由.
(3)如果$△ ABC$是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
答案
解:(1)$△ ABC$是等腰三角形。
理由:
∵$x=-1$是方程的根，
∴$(a+c)×(-1)^2 -2b +a -c=0$，
∴$a+c -2b +a -c=0$，
∴$a -b=0$，
∴$a=b$，
∴$△ ABC$是等腰三角形。
(2)$△ ABC$是直角三角形。
理由:
∵方程有两个相等的实数根，
∴$(2b)^2 -4(a+c)(a -c)=0$，
∴$4b^2 -4a^2 +4c^2=0$，
∴$a^2 = b^2 + c^2$，
∴$△ ABC$是直角三角形。
(3)
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$a=b=c$，
∴$(a+c)x^2 + 2bx + a - c = 0$可整理为$2ax^2 + 2ax = 0$。
∵$a≠0$，
∴$x^2 +x=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=-1$。
理由:
∵$x=-1$是方程的根，
∴$(a+c)×(-1)^2 -2b +a -c=0$，
∴$a+c -2b +a -c=0$，
∴$a -b=0$，
∴$a=b$，
∴$△ ABC$是等腰三角形。
(2)$△ ABC$是直角三角形。
理由:
∵方程有两个相等的实数根，
∴$(2b)^2 -4(a+c)(a -c)=0$，
∴$4b^2 -4a^2 +4c^2=0$，
∴$a^2 = b^2 + c^2$，
∴$△ ABC$是直角三角形。
(3)
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$a=b=c$，
∴$(a+c)x^2 + 2bx + a - c = 0$可整理为$2ax^2 + 2ax = 0$。
∵$a≠0$，
∴$x^2 +x=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=-1$。
解析
【分析】
本题是一元二次方程与三角形性质结合的综合题，解题思路如下：
(1) 利用方程根的定义，将x=-1代入原方程，化简得到边a和b的数量关系，即可判断三角形形状；
(2) 一元二次方程有两个相等的实数根，对应根的判别式Δ=0，代入系数化简得到三边的平方关系，结合勾股定理逆定理判断形状；
(3) 等边三角形三边相等，即a=b=c，将其代入原方程化简为普通一元二次方程，结合a≠0（三角形边长为正数）解方程即可得到根。
【解析】
(1) △ABC是等腰三角形，理由如下：
∵$x=-1$是方程的根，
∴将$x=-1$代入方程得：$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + a - c = 0$，
化简得：$a+c -2b +a -c = 0$，
合并同类项得：$2a - 2b = 0$，即$a = b$，
∴△ABC是等腰三角形。
(2) △ABC是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta=0$，即$(2b)^2 - 4(a+c)(a - c) = 0$，
展开计算得：$4b^2 - 4(a^2 - c^2) = 0$，
整理得：$b^2 + c^2 = a^2$，
符合勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形。
(3) 当△ABC是等边三角形时，$a = b = c$，
将$a = b = c$代入原方程得：$(a+a)x^2 + 2a x + a - a = 0$，
化简得：$2ax^2 + 2ax = 0$，
∵a是△ABC的边长，
∴$a≠0$，
方程两边同时除以2a得：$x^2 + x = 0$，
因式分解得：$x(x+1)=0$，
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = -1$。
【答案】
(1) △ABC是等腰三角形；
(2) △ABC是直角三角形；
(3) 方程的根为$x_1=0$，$x_2=-1$。
【知识点】
一元二次方程根的意义；根的判别式；特殊三角形判定
【点评】
本题结合一元二次方程性质和三角形分类知识，考查代数运算与几何性质的综合应用能力，解题的关键是将题目给出的方程相关条件转化为三角形三边的数量关系，整体难度不大，计算时注意符号避免出错即可。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程与三角形性质结合的综合题，解题思路如下：
(1) 利用方程根的定义，将x=-1代入原方程，化简得到边a和b的数量关系，即可判断三角形形状；
(2) 一元二次方程有两个相等的实数根，对应根的判别式Δ=0，代入系数化简得到三边的平方关系，结合勾股定理逆定理判断形状；
(3) 等边三角形三边相等，即a=b=c，将其代入原方程化简为普通一元二次方程，结合a≠0（三角形边长为正数）解方程即可得到根。
【解析】
(1) △ABC是等腰三角形，理由如下：
∵$x=-1$是方程的根，
∴将$x=-1$代入方程得：$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + a - c = 0$，
化简得：$a+c -2b +a -c = 0$，
合并同类项得：$2a - 2b = 0$，即$a = b$，
∴△ABC是等腰三角形。
(2) △ABC是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta=0$，即$(2b)^2 - 4(a+c)(a - c) = 0$，
展开计算得：$4b^2 - 4(a^2 - c^2) = 0$，
整理得：$b^2 + c^2 = a^2$，
符合勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形。
(3) 当△ABC是等边三角形时，$a = b = c$，
将$a = b = c$代入原方程得：$(a+a)x^2 + 2a x + a - a = 0$，
化简得：$2ax^2 + 2ax = 0$，
∵a是△ABC的边长，
∴$a≠0$，
方程两边同时除以2a得：$x^2 + x = 0$，
因式分解得：$x(x+1)=0$，
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = -1$。
【答案】
(1) △ABC是等腰三角形；
(2) △ABC是直角三角形；
(3) 方程的根为$x_1=0$，$x_2=-1$。
【知识点】
一元二次方程根的意义；根的判别式；特殊三角形判定
【点评】
本题结合一元二次方程性质和三角形分类知识，考查代数运算与几何性质的综合应用能力，解题的关键是将题目给出的方程相关条件转化为三角形三边的数量关系，整体难度不大，计算时注意符号避免出错即可。
【难度系数】
0.7
