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⑧已知点$P(2m+4,m-1)$，请分别根据下列条件，求出点$P$的坐标.
(1)点$P$在$x$轴上；
(2)点$P$的纵坐标比横坐标大3；
(3)点$P$在过点$A(2,-4)$且与$y$轴平行的直线上.
(1)点$P$在$x$轴上；
(2)点$P$的纵坐标比横坐标大3；
(3)点$P$在过点$A(2,-4)$且与$y$轴平行的直线上.
答案
8.(1)$P(6,0)$；
(2)$P(-12,-9)$；
(3)$P(2,-2)$.
(2)$P(-12,-9)$；
(3)$P(2,-2)$.
解析
【分析】
解题时结合平面直角坐标系中不同位置点的坐标特征，对应每个条件列方程求解参数m，再代入计算点P的横纵坐标即可：
(1)x轴上的点纵坐标为0，据此列方程求m，再计算横坐标；
(2)根据“纵坐标 - 横坐标=3”的数量关系列方程求解m，再代入得坐标；
(3)平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，因此点P的横坐标等于点A的横坐标2，列方程求m后代入计算纵坐标。
【解析】
(1)
∵点P在x轴上，x轴上的点纵坐标为0
∴$m-1=0$，解得$m=1$
∴横坐标$2m+4=2×1+4=6$
∴点P的坐标为$(6,0)$
(2)
∵点P的纵坐标比横坐标大3
∴$(m-1)-(2m+4)=3$
去括号得：$m-1-2m-4=3$
合并同类项得：$-m-5=3$
移项解得：$m=-8$
∴横坐标$2m+4=2×(-8)+4=-12$，纵坐标$m-1=-8-1=-9$
∴点P的坐标为$(-12,-9)$
(3)
∵点P在过点$A(2,-4)$且与y轴平行的直线上，平行于y轴的直线上的点横坐标相等
∴$2m+4=2$，解得$m=-1$
∴纵坐标$m-1=-1-1=-2$
∴点P的坐标为$(2,-2)$
【答案】
(1)$(6,0)$；(2)$(-12,-9)$；(3)$(2,-2)$
【知识点】
x轴上点的坐标特征；平行于y轴的直线上点的坐标特征；一元一次方程的应用
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标规律，解题关键是熟练掌握特殊位置点的坐标性质，结合题意列方程求解参数，计算量小，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时结合平面直角坐标系中不同位置点的坐标特征，对应每个条件列方程求解参数m，再代入计算点P的横纵坐标即可：
(1)x轴上的点纵坐标为0，据此列方程求m，再计算横坐标；
(2)根据“纵坐标 - 横坐标=3”的数量关系列方程求解m，再代入得坐标；
(3)平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，因此点P的横坐标等于点A的横坐标2，列方程求m后代入计算纵坐标。
【解析】
(1)
∵点P在x轴上，x轴上的点纵坐标为0
∴$m-1=0$，解得$m=1$
∴横坐标$2m+4=2×1+4=6$
∴点P的坐标为$(6,0)$
(2)
∵点P的纵坐标比横坐标大3
∴$(m-1)-(2m+4)=3$
去括号得：$m-1-2m-4=3$
合并同类项得：$-m-5=3$
移项解得：$m=-8$
∴横坐标$2m+4=2×(-8)+4=-12$，纵坐标$m-1=-8-1=-9$
∴点P的坐标为$(-12,-9)$
(3)
∵点P在过点$A(2,-4)$且与y轴平行的直线上，平行于y轴的直线上的点横坐标相等
∴$2m+4=2$，解得$m=-1$
∴纵坐标$m-1=-1-1=-2$
∴点P的坐标为$(2,-2)$
【答案】
(1)$(6,0)$；(2)$(-12,-9)$；(3)$(2,-2)$
【知识点】
x轴上点的坐标特征；平行于y轴的直线上点的坐标特征；一元一次方程的应用
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标规律，解题关键是熟练掌握特殊位置点的坐标性质，结合题意列方程求解参数，计算量小，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
⑨如图,在平面直角坐标系中,已知$A(0,a),B(b,0),C(b,c)$三点,其中$a,b,c$满足关系式$\sqrt{a-1}+(b-2)^2+|c-3|=0$.
(1)求$a,b,c$的值;
(2)如果在第二象限内有一点$P(m,\frac{1}{2})$,那么请用含$m$的式子表示四边形$ABOP$的面积;
(3)在(2)的条件下,是否存在点$P$,使四边形$ABOP$的面积与三角形$ABC$的面积相等?若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求$a,b,c$的值;
(2)如果在第二象限内有一点$P(m,\frac{1}{2})$,那么请用含$m$的式子表示四边形$ABOP$的面积;
(3)在(2)的条件下,是否存在点$P$,使四边形$ABOP$的面积与三角形$ABC$的面积相等?若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
9.(1)$a=1,b=2,c=3$；
(2)$S_{四边形ABOP}=1-\frac{1}{2}m$；
(3)存在,$P(-4,\frac{1}{2})$.
(2)$S_{四边形ABOP}=1-\frac{1}{2}m$；
(3)存在,$P(-4,\frac{1}{2})$.
解析
【分析】
(1) 算术平方根、平方、绝对值都是非负数，当几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，据此列方程即可求出a、b、c的值。
(2) 计算不规则四边形ABOP的面积可以用割补法，将其拆为$△ AOB$和$△ AOP$两个规则三角形，分别计算两个三角形的面积再求和即可，注意点P在第二象限，横坐标m为负数，计算高时要转化为正数。
(3) 先根据B、C两点横坐标相同，得到BC为竖直线段，求出$△ ABC$的面积，再令四边形ABOP的面积与其相等，列方程求解m，验证m的符号符合第二象限要求即可判断是否存在点P。
【解析】
(1) $\because \sqrt{a-1}≥0$，$(b-2)^2≥0$，$|c-3|≥0$，且$\sqrt{a-1}+(b-2)^2+|c-3|=0$
$\therefore \begin{cases}a-1=0\\b-2=0\\c-3=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1\\b=2\\c=3\end{cases}$
(2) 由(1)得$A(0,1)$，$O(0,0)$，$B(2,0)$
$S_{四边形ABOP}=S_{△ AOB}+S_{△ AOP}$
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×1×2=1$
$\because$点$P(m,\frac{1}{2})$在第二象限，$\therefore m＜0$，点P到y轴的距离为$|m|=-m$
$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA× |m|=\frac{1}{2}×1×(-m)=-\frac{1}{2}m$
$\therefore S_{四边形ABOP}=1-\frac{1}{2}m$
(3) 由$B(2,0)$，$C(2,3)$得$BC=3-0=3$，点A到BC的水平距离为2
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC×2=\frac{1}{2}×3×2=3$
令$1-\frac{1}{2}m=3$，解得$m=-4$
$\because m=-4＜0$，符合点P在第二象限的要求
$\therefore$存在点P，坐标为$(-4,\frac{1}{2})$
【答案】
(1)$a=1,b=2,c=3$；
(2)$S_{四边形ABOP}=1-\frac{1}{2}m$；
(3)存在，$P(-4,\frac{1}{2})$
【知识点】
非负数的性质，割补法求面积，坐标与图形性质
【点评】
本题综合考查了非负数的性质和平面直角坐标系中图形面积的计算，核心解题思路是用割补法将不规则图形转化为规则图形计算面积，计算时要注意坐标符号对线段长度的影响。
【难度系数】
0.7
(1) 算术平方根、平方、绝对值都是非负数，当几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，据此列方程即可求出a、b、c的值。
(2) 计算不规则四边形ABOP的面积可以用割补法，将其拆为$△ AOB$和$△ AOP$两个规则三角形，分别计算两个三角形的面积再求和即可，注意点P在第二象限，横坐标m为负数，计算高时要转化为正数。
(3) 先根据B、C两点横坐标相同，得到BC为竖直线段，求出$△ ABC$的面积，再令四边形ABOP的面积与其相等，列方程求解m，验证m的符号符合第二象限要求即可判断是否存在点P。
【解析】
(1) $\because \sqrt{a-1}≥0$，$(b-2)^2≥0$，$|c-3|≥0$，且$\sqrt{a-1}+(b-2)^2+|c-3|=0$
$\therefore \begin{cases}a-1=0\\b-2=0\\c-3=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1\\b=2\\c=3\end{cases}$
(2) 由(1)得$A(0,1)$，$O(0,0)$，$B(2,0)$
$S_{四边形ABOP}=S_{△ AOB}+S_{△ AOP}$
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×1×2=1$
$\because$点$P(m,\frac{1}{2})$在第二象限，$\therefore m＜0$，点P到y轴的距离为$|m|=-m$
$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA× |m|=\frac{1}{2}×1×(-m)=-\frac{1}{2}m$
$\therefore S_{四边形ABOP}=1-\frac{1}{2}m$
(3) 由$B(2,0)$，$C(2,3)$得$BC=3-0=3$，点A到BC的水平距离为2
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC×2=\frac{1}{2}×3×2=3$
令$1-\frac{1}{2}m=3$，解得$m=-4$
$\because m=-4＜0$，符合点P在第二象限的要求
$\therefore$存在点P，坐标为$(-4,\frac{1}{2})$
【答案】
(1)$a=1,b=2,c=3$；
(2)$S_{四边形ABOP}=1-\frac{1}{2}m$；
(3)存在，$P(-4,\frac{1}{2})$
【知识点】
非负数的性质，割补法求面积，坐标与图形性质
【点评】
本题综合考查了非负数的性质和平面直角坐标系中图形面积的计算，核心解题思路是用割补法将不规则图形转化为规则图形计算面积，计算时要注意坐标符号对线段长度的影响。
【难度系数】
0.7
