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1（2025无锡期末）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$AC=4$，则$AB^2 - BC^2$等于（
A.4
B.16
C.20
D.25
B
）A.4
B.16
C.20
D.25
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查勾股定理的应用，解题时首先结合直角三角形的直角顶点确定斜边：∠C=90°，所以AB是Rt△ABC的斜边。再根据勾股定理列出三边关系，对关系式变形就能推导出所求式子与已知边AC的关系，代入数值计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
将等式移项变形得：
$AB^2 - BC^2 = AC^2$
已知$AC=4$，代入得：
$AB^2 - BC^2 = 4^2 = 16$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是准确识别直角对应的斜边，熟练掌握勾股定理的基本形式和变形使用，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
本题考查勾股定理的应用，解题时首先结合直角三角形的直角顶点确定斜边：∠C=90°，所以AB是Rt△ABC的斜边。再根据勾股定理列出三边关系，对关系式变形就能推导出所求式子与已知边AC的关系，代入数值计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
将等式移项变形得：
$AB^2 - BC^2 = AC^2$
已知$AC=4$，代入得：
$AB^2 - BC^2 = 4^2 = 16$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是准确识别直角对应的斜边，熟练掌握勾股定理的基本形式和变形使用，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2 易错题 在$△ ABC$中,角$A$,$B$,$C$所对的边分别为$a$,$b$,$c$,则下列说法中正确的是 (
A.若$∠ A=90°$,则$a^2+b^2=c^2$
B.若$∠ B=90°$,则$a^2+b^2=c^2$
C.若$∠ C=90°$,则$a^2+c^2=b^2$
D.若$∠ A=90°$,则$c^2+b^2=a^2$
D
)A.若$∠ A=90°$,则$a^2+b^2=c^2$
B.若$∠ B=90°$,则$a^2+b^2=c^2$
C.若$∠ C=90°$,则$a^2+c^2=b^2$
D.若$∠ A=90°$,则$c^2+b^2=a^2$
答案
2. D
解析
【分析】
解决本题首先要明确两个核心知识点：一是△ABC中角与对边的对应关系，即角A对应边a，角B对应边b，角C对应边c；二是勾股定理的内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，其中斜边是直角所对的边，是直角三角形的最长边。解题时逐个分析每个选项中的直角，确定对应斜边，再写出勾股定理的表达式和选项对比即可判断正误。
【解析】
根据勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，直角所对的边为斜边，逐个分析选项：
A. 若∠A=90°，则斜边为∠A对应的边a，可得$b^2 + c^2 = a^2$，选项表达式错误，不符合要求；
B. 若∠B=90°，则斜边为∠B对应的边b，可得$a^2 + c^2 = b^2$，选项表达式错误，不符合要求；
C. 若∠C=90°，则斜边为∠C对应的边c，可得$a^2 + b^2 = c^2$，选项表达式错误，不符合要求；
D. 若∠A=90°，则斜边为a，可得$c^2 + b^2 = a^2$，选项表达式正确，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形边角对应
【点评】
本题是勾股定理的基础易错题，易错点为混淆直角对应的斜边，解题时只要牢记“斜边是直角所对的边，平方单独在等号一侧”，就能有效避免错误。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确两个核心知识点：一是△ABC中角与对边的对应关系，即角A对应边a，角B对应边b，角C对应边c；二是勾股定理的内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，其中斜边是直角所对的边，是直角三角形的最长边。解题时逐个分析每个选项中的直角，确定对应斜边，再写出勾股定理的表达式和选项对比即可判断正误。
【解析】
根据勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，直角所对的边为斜边，逐个分析选项：
A. 若∠A=90°，则斜边为∠A对应的边a，可得$b^2 + c^2 = a^2$，选项表达式错误，不符合要求；
B. 若∠B=90°，则斜边为∠B对应的边b，可得$a^2 + c^2 = b^2$，选项表达式错误，不符合要求；
C. 若∠C=90°，则斜边为∠C对应的边c，可得$a^2 + b^2 = c^2$，选项表达式错误，不符合要求；
D. 若∠A=90°，则斜边为a，可得$c^2 + b^2 = a^2$，选项表达式正确，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形边角对应
【点评】
本题是勾股定理的基础易错题，易错点为混淆直角对应的斜边，解题时只要牢记“斜边是直角所对的边，平方单独在等号一侧”，就能有效避免错误。
【难度系数】
0.7
3（1）在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$c=13$，$b=12$，则$a=$
（2）在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$a:b=3:4$，$c=10$，则$a=$
5
；（2）在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$a:b=3:4$，$c=10$，则$a=$
6
，$b=$8
；答案
3. (1) 5 (2) 6 8
解析
【分析】
这两小问都在直角三角形的背景下，核心使用勾股定理解题：
（1）已知直角三角形的斜边c和一条直角边b，求另一条直角边a，直接代入勾股定理的变形公式计算即可；
（2）已知两直角边的比例关系和斜边长，先根据比例设每份为k，用含k的式子表示a和b，再代入勾股定理列方程求出k的值，最后反推得到a、b的长度。
【解析】
（1）
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，c为斜边，
根据勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$，
∴$a=\sqrt{c^2-b^2}$，代入$c=13$，$b=12$得：
$a=\sqrt{13^2 - 12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$。
（2）
∵$a:b=3:4$，
∴设$a=3k$，$b=4k$（$k＞0$），
∵∠C=90°，$c=10$，由勾股定理得：
$(3k)^2 + (4k)^2 = 10^2$，
即$9k^2 + 16k^2 = 100$，
$25k^2=100$，
$k^2=4$，
∵$k＞0$，
∴$k=2$，
∴$a=3×2=6$，$b=4×2=8$。
【答案】
（1）5；（2）6，8
【知识点】
勾股定理；按比例设元
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，第一问考查勾股定理的直接代入计算，第二问结合比例关系考查方程思想的运用，解题时要注意区分直角三角形的直角边和斜边，避免代入公式时混淆边的位置。
【难度系数】
0.85
这两小问都在直角三角形的背景下，核心使用勾股定理解题：
（1）已知直角三角形的斜边c和一条直角边b，求另一条直角边a，直接代入勾股定理的变形公式计算即可；
（2）已知两直角边的比例关系和斜边长，先根据比例设每份为k，用含k的式子表示a和b，再代入勾股定理列方程求出k的值，最后反推得到a、b的长度。
【解析】
（1）
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，c为斜边，
根据勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$，
∴$a=\sqrt{c^2-b^2}$，代入$c=13$，$b=12$得：
$a=\sqrt{13^2 - 12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$。
（2）
∵$a:b=3:4$，
∴设$a=3k$，$b=4k$（$k＞0$），
∵∠C=90°，$c=10$，由勾股定理得：
$(3k)^2 + (4k)^2 = 10^2$，
即$9k^2 + 16k^2 = 100$，
$25k^2=100$，
$k^2=4$，
∵$k＞0$，
∴$k=2$，
∴$a=3×2=6$，$b=4×2=8$。
【答案】
（1）5；（2）6，8
【知识点】
勾股定理；按比例设元
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，第一问考查勾股定理的直接代入计算，第二问结合比例关系考查方程思想的运用，解题时要注意区分直角三角形的直角边和斜边，避免代入公式时混淆边的位置。
【难度系数】
0.85
（3）易错题（2025南京秦淮期中）已知直角三角形的两边长分别为3，5，则另一边长是
$\sqrt{34}$或4
。答案
3. (3) $\sqrt{34}$或4
解析
【分析】
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：一是长为5的边为斜边，二是3和5均为直角边，再结合勾股定理计算第三边，注意边长为正数，需舍去负值。
【解析】
设第三边长为$x$，根据勾股定理分情况讨论：
1. 当长为5的边是斜边时，3和$x$为直角边：
$3^2 + x^2 = 5^2$
即$9 + x^2 = 25$，解得$x^2 = 16$
因为边长为正数，所以$x = 4$
2. 当长为3和5的边都是直角边时，$x$为斜边：
$3^2 + 5^2 = x^2$
即$9 + 25 = x^2$，解得$x^2 = 34$
因为边长为正数，所以$x = \sqrt{34}$
综上，第三边长为$\sqrt{34}$或4。
【答案】
$\sqrt{34}$或4
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是明确直角三角形中未指明边的类型时，要分已知边为斜边、直角边两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：一是长为5的边为斜边，二是3和5均为直角边，再结合勾股定理计算第三边，注意边长为正数，需舍去负值。
【解析】
设第三边长为$x$，根据勾股定理分情况讨论：
1. 当长为5的边是斜边时，3和$x$为直角边：
$3^2 + x^2 = 5^2$
即$9 + x^2 = 25$，解得$x^2 = 16$
因为边长为正数，所以$x = 4$
2. 当长为3和5的边都是直角边时，$x$为斜边：
$3^2 + 5^2 = x^2$
即$9 + 25 = x^2$，解得$x^2 = 34$
因为边长为正数，所以$x = \sqrt{34}$
综上，第三边长为$\sqrt{34}$或4。
【答案】
$\sqrt{34}$或4
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是明确直角三角形中未指明边的类型时，要分已知边为斜边、直角边两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
4 教材P89练习T2·变式（2025无锡宜兴月考）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，分别以$△ ABC$的三条边为边向外作正方形，若两个大正方形的面积分别为144和108，则小正方形$M$的边长为
6
。答案
4. 6
解析
【分析】
首先观察图形，三个正方形的面积分别对应Rt△ABC三条边长的平方。已知∠ABC=90°，△ABC为直角三角形，满足勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方。先确定各正方形对应的三角形边：面积为144的正方形边长是斜边AC，故AC²=144；面积为108的正方形边长是直角边BC，故BC²=108；小正方形M的边长是另一条直角边AB。我们可以先根据勾股定理求出AB²，也就是小正方形M的面积，再开平方即可得到M的边长。
【解析】
解：
∵ 以AC为边的正方形面积为144，
∴ AC² = 144，
同理可得BC² = 108，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，根据勾股定理得：
AB² + BC² = AC²，
∴ AB² = AC² - BC² = 144 - 108 = 36，
∵ 正方形M的边长为AB，且AB＞0，
∴ AB = √36 = 6。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理；正方形面积公式
【点评】
本题主要考查勾股定理的应用，解题关键是理解“向外作正方形时，正方形的面积等于对应三角形边长的平方”，将正方形面积和直角三角形的边长关系结合起来即可快速求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，三个正方形的面积分别对应Rt△ABC三条边长的平方。已知∠ABC=90°，△ABC为直角三角形，满足勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方。先确定各正方形对应的三角形边：面积为144的正方形边长是斜边AC，故AC²=144；面积为108的正方形边长是直角边BC，故BC²=108；小正方形M的边长是另一条直角边AB。我们可以先根据勾股定理求出AB²，也就是小正方形M的面积，再开平方即可得到M的边长。
【解析】
解：
∵ 以AC为边的正方形面积为144，
∴ AC² = 144，
同理可得BC² = 108，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，根据勾股定理得：
AB² + BC² = AC²，
∴ AB² = AC² - BC² = 144 - 108 = 36，
∵ 正方形M的边长为AB，且AB＞0，
∴ AB = √36 = 6。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理；正方形面积公式
【点评】
本题主要考查勾股定理的应用，解题关键是理解“向外作正方形时，正方形的面积等于对应三角形边长的平方”，将正方形面积和直角三角形的边长关系结合起来即可快速求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
5 教材P88例2·变式 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为
$3-\sqrt{5}$
。答案
5. $3-\sqrt{5}$
解析
【分析】
要求CD的长度，首先观察到CD在水平网格线上，可通过线段和差求解：先利用圆的半径相等得到AD=AB，再构造以AD为斜边的直角三角形，用勾股定理求出D点到点A的水平距离，最后用A到C的水平总长度减去该水平距离即可得到CD的长。
【解析】
连接AD，由题意可知，AD=AB=3。
过点D作DE⊥AB，垂足为E，易得DE=2（网格中小正方形边长为1，D到AB的竖直距离为2个单位长度）。
在Rt△ADE中，根据勾股定理：$AE^2 + DE^2 = AD^2$，
代入数值计算得：$AE=\sqrt{AD^2 - DE^2}=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$。
因为点C到点A的水平距离为3，CD在水平网格线上，所以$CD=3 - AE=3-\sqrt{5}$。
【答案】
$3-\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；圆的半径相等
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题，结合网格和圆的性质考察学生的构图能力，解题的关键是合理构造直角三角形，将未知线段转化为可通过勾股定理及线段和差求解的形式。
【难度系数】
0.7
要求CD的长度，首先观察到CD在水平网格线上，可通过线段和差求解：先利用圆的半径相等得到AD=AB，再构造以AD为斜边的直角三角形，用勾股定理求出D点到点A的水平距离，最后用A到C的水平总长度减去该水平距离即可得到CD的长。
【解析】
连接AD，由题意可知，AD=AB=3。
过点D作DE⊥AB，垂足为E，易得DE=2（网格中小正方形边长为1，D到AB的竖直距离为2个单位长度）。
在Rt△ADE中，根据勾股定理：$AE^2 + DE^2 = AD^2$，
代入数值计算得：$AE=\sqrt{AD^2 - DE^2}=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$。
因为点C到点A的水平距离为3，CD在水平网格线上，所以$CD=3 - AE=3-\sqrt{5}$。
【答案】
$3-\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；圆的半径相等
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题，结合网格和圆的性质考察学生的构图能力，解题的关键是合理构造直角三角形，将未知线段转化为可通过勾股定理及线段和差求解的形式。
【难度系数】
0.7
6 (2025 宿迁宿豫期末)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D,DE//AB 交 AC 于点 E.若 CE=1,CD=$\sqrt{3}$,则 AE 的长为
2
.答案
6. 2
解析
【分析】
首先我们先在Rt△CDE中，利用勾股定理求出DE的长度；再结合角平分线的定义和平行线内错角相等的性质，推导得到∠ADE=∠CAD，进而根据等角对等边得出AE=DE，即可求出AE的长度。
【解析】
在Rt△CDE中，∠C=90°，CE=1，CD=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{CD^2 + CE^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}=\sqrt{3+1}=2$。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE//AB，
∴∠BAD=∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∴∠ADE=∠CAD，
∴AE=DE（等角对等边），
∴AE=2。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题关键是通过角平分线和平行线的性质完成角的等量代换，识别出等腰三角形，再结合勾股定理计算线段长度，要求熟练掌握几何基础性质并灵活应用。
【难度系数】
0.7
首先我们先在Rt△CDE中，利用勾股定理求出DE的长度；再结合角平分线的定义和平行线内错角相等的性质，推导得到∠ADE=∠CAD，进而根据等角对等边得出AE=DE，即可求出AE的长度。
【解析】
在Rt△CDE中，∠C=90°，CE=1，CD=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{CD^2 + CE^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}=\sqrt{3+1}=2$。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE//AB，
∴∠BAD=∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∴∠ADE=∠CAD，
∴AE=DE（等角对等边），
∴AE=2。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题关键是通过角平分线和平行线的性质完成角的等量代换，识别出等腰三角形，再结合勾股定理计算线段长度，要求熟练掌握几何基础性质并灵活应用。
【难度系数】
0.7
7 数学思想方程思想（2025南通海安月考）如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=8$，$D$是$BC$上一点，$AD=BD=5$，求$CD$的长。
答案
7. 解:因为$∠ C=90°$,所以$△ ACD$和$△ ACB$是直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,因为$AC^2+CD^2=AD^2$,
所以$AC^2=AD^2-CD^2$.
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,因为$AC^2+CB^2=AB^2$,
所以$AC^2=AB^2-CB^2$.
所以$AD^2-CD^2=AB^2-CB^2$.
设$CD=x$,则$BC=5+x$,
$5^2-x^2=8^2-(5+x)^2$,
解得$x=1.4$. 即$CD$的长为1.4.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,因为$AC^2+CD^2=AD^2$,
所以$AC^2=AD^2-CD^2$.
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,因为$AC^2+CB^2=AB^2$,
所以$AC^2=AB^2-CB^2$.
所以$AD^2-CD^2=AB^2-CB^2$.
设$CD=x$,则$BC=5+x$,
$5^2-x^2=8^2-(5+x)^2$,
解得$x=1.4$. 即$CD$的长为1.4.
解析
【分析】
观察图形可知，△ACB和△ACD都是直角三角形，且二者共用直角边AC。我们可以借助勾股定理分别在两个直角三角形中表示出AC²，从而得到关于CD的等量关系，再设CD的长为未知数，用含未知数的式子表示出BC的长度，代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
∵ ∠C=90°，
∴ △ACD和△ACB都是直角三角形。
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：$AC^2 + CD^2 = AD^2$，即$AC^2 = AD^2 - CD^2$。
在Rt△ACB中，根据勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，即$AC^2 = AB^2 - BC^2$。
由此可得等量关系：$AD^2 - CD^2 = AB^2 - BC^2$。
设$CD=x$，
∵ $BD=5$，
∴ $BC=BD+CD=5+x$。
将$AD=5$，$AB=8$，$CD=x$，$BC=5+x$代入上述等式得：
$5^2 - x^2 = 8^2 - (5+x)^2$
展开计算：
$25 - x^2 = 64 - (25 + 10x + x^2)$
$25 - x^2 = 39 - 10x - x^2$
消去等式两边的$-x^2$，得$25 = 39 - 10x$，
解得$x=1.4$。
【答案】
CD的长为1.4
【知识点】
勾股定理；方程思想
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，解题核心是利用两个直角三角形的公共边搭建等量关系，结合方程思想求解未知线段，很好地考查了数形结合和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
观察图形可知，△ACB和△ACD都是直角三角形，且二者共用直角边AC。我们可以借助勾股定理分别在两个直角三角形中表示出AC²，从而得到关于CD的等量关系，再设CD的长为未知数，用含未知数的式子表示出BC的长度，代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
∵ ∠C=90°，
∴ △ACD和△ACB都是直角三角形。
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：$AC^2 + CD^2 = AD^2$，即$AC^2 = AD^2 - CD^2$。
在Rt△ACB中，根据勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，即$AC^2 = AB^2 - BC^2$。
由此可得等量关系：$AD^2 - CD^2 = AB^2 - BC^2$。
设$CD=x$，
∵ $BD=5$，
∴ $BC=BD+CD=5+x$。
将$AD=5$，$AB=8$，$CD=x$，$BC=5+x$代入上述等式得：
$5^2 - x^2 = 8^2 - (5+x)^2$
展开计算：
$25 - x^2 = 64 - (25 + 10x + x^2)$
$25 - x^2 = 39 - 10x - x^2$
消去等式两边的$-x^2$，得$25 = 39 - 10x$，
解得$x=1.4$。
【答案】
CD的长为1.4
【知识点】
勾股定理；方程思想
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，解题核心是利用两个直角三角形的公共边搭建等量关系，结合方程思想求解未知线段，很好地考查了数形结合和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
