9.(10分)在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BD$为$△ ABC$的中线，且$BD$将$△ ABC$的周长分为12 cm与15 cm两部分，求$△ ABC$的各边长。

9.解:如答图.
∵DB为△ABC的中线,
∴AD=CD.
设AD=CD=x,则AB=2x.
若x+2x=12,BC+x=15,解得x=4,BC=11.
此时△ABC的三边长为AB=AC=8,BC=11;
若x+2x=15,BC+x=12,解得x=5,BC=7,
此时△ABC的三边长为AB=AC=10,BC=7.

【分析】
首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，BD是中线可得AD=CD，BD将△ABC的周长分为AB+AD和BC+CD两部分，题目未明确两部分分别对应哪个长度，因此需要分两种情况讨论求解，最后要验证得到的三边长是否满足三角形三边关系，确保能构成合法的三角形。
【解析】
解：
∵BD为△ABC的中线，
∴AD=CD。
设AD=CD=x cm，则AB=AC=2x cm，分两种情况讨论：
1. 当AB+AD=12 cm，BC+CD=15 cm时：
列方程得$2x+x=12$，解得$x=4$，
代入$BC+x=15$，得$BC=15-4=11$ cm，
此时三边长为AB=AC=8 cm，BC=11 cm，
验证：$8+8＞11$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
2. 当AB+AD=15 cm，BC+CD=12 cm时：
列方程得$2x+x=15$，解得$x=5$，
代入$BC+x=12$，得$BC=12-5=7$ cm，
此时三边长为AB=AC=10 cm，BC=7 cm，
验证：$10+10＞7$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
【答案】
9.解:如答图.
∵DB为△ABC的中线,
∴AD=CD.
设AD=CD=x,则AB=2x.
若x+2x=12,BC+x=15,解得x=4,BC=11.
此时△ABC的三边长为AB=AC=8,BC=11;
若x+2x=15,BC+x=12,解得x=5,BC=7,
此时△ABC的三边长为AB=AC=10,BC=7.
【知识点】
等腰三角形性质、三角形中线定义、三角形三边关系
【点评】
本题考查等腰三角形和中线的综合应用，解题核心是要考虑到周长分法的两种可能性，避免漏解，同时求出边长后需要验证是否符合三角形三边关系，排除无法构成三角形的无效解。
【难度系数】
0.7

10.(16分)如图,在△ABC中,AD是高,CE是中线,G是CE的中点,DG⊥CE,垂足为G.
(1)求证:DC=BE;
(2)若∠AEC=66°,求∠BCE的度数.

10.(1)证明:
∵G是CE的中点,DG⊥CE,
∴DG是CE的垂直平分线,
∴DE=DC.
∵AD是高,CE是中线,
∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线,
∴DE=BE=$\dfrac{1}{2}$AB,
∴DC=BE.
(2)解:
∵DE=DC,
∴∠DEC=∠BCE,
∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE.
∵DE=BE,
∴∠B=∠EDB,
∴∠B=2∠BCE,
∴∠AEC=∠B+∠BCE=3∠BCE=66°,
∴∠BCE=22°.

【分析】
(1) 要证明DC=BE，可通过中间线段DE进行等量代换：首先由G是CE中点且DG⊥CE，可知DG是CE的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得DE=DC；再结合AD是高可知△ADB为直角三角形，CE是AB边上的中线，因此DE是Rt△ADB斜边AB的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得DE=BE，即可证得DC=BE。
(2) 求∠BCE的度数，可利用等边对等角和三角形外角的性质推导角度关系：首先由DE=DC得∠DEC=∠BCE，因此△DEC的外角∠EDB=2∠BCE；再由DE=BE得∠B=∠EDB，即∠B=2∠BCE；最后△BEC的外角∠AEC=∠B+∠BCE=3∠BCE，代入已知∠AEC=66°即可求出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵G是CE的中点，DG⊥CE，
∴DG是CE的垂直平分线，
∴DE=DC。
∵AD是高，CE是中线，
∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，
∴DE=BE=$\dfrac{1}{2}$AB，
∴DC=BE。
(2) 解：
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE。
∵DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
∴∠B=2∠BCE，
∴∠AEC=∠B+∠BCE=3∠BCE=66°，
∴∠BCE=22°。
【答案】
(1) DC=BE得证；
(2) $\boxed{22°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题关键是利用线段垂直平分线、直角三角形斜边中线的性质转化线段相等关系，再结合等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质梳理角度的代换逻辑，能有效锻炼几何推理能力。
【难度系数】
0.65

11.(26分)如图①，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上.
(1)求证:BF//AC；
(2)过点E作EG//BC交AC于点G，试判断△AEG的形状，并说明理由；
(3)如图②，若点D在射线CA上，且ED=EC，求证:AB=AD+BF.

11.(1)证明:
∵△ABC和△EFC都是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=∠ECF=60°,AC=BC,
CE=CF,
∴∠ACE=∠BCF.
在△ACE和△BCF中,$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCF, \\ CE=CF, \end{cases}$
∴△ACE≌△BCF(SAS),
∴∠A=∠CBF=60°.
∵∠ABC=60°,
∴∠A+∠ABC+∠CBF=180°,
即∠A+∠ABF=180°,
∴AC//BF.
(2)解:△AEG是等边三角形.理由如下:
过点E作EG//BC交AC于点G.如答图①.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°.
∵EG//BC,
∴∠AEG=∠ABC=60°,∠AGE=∠ACB=60°,
∴∠A=∠AEG=∠AGE=60°,
∴△AEG是等边三角形.
(3)证明:如答图②,过点E作EM//BC交AC于点M,
则∠AEM=∠ABC=60°,∠AME=∠ACB=60°.
∵∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠BAC=∠AEM=∠AME=60°,
∴△AEM是等边三角形,
∴AE=EM=AM,
∴∠DAE=∠EMC=120°.
∵DE=CE,
∴∠D=∠MCE.
在△ADE和△MCE中,$\begin{cases} ∠DAE=∠CME, \\ ∠D=∠MCE, \\ AE=ME, \end{cases}$
∴△ADE≌△MCE(AAS),
∴AD=MC.
由(1)得△ACE≌△BCF,
∴AE=BF,
∴BF=AM.
∵AC=AM+CM,
∴AC=BF+AD,
∴AB=AD+BF.

【分析】
(1) 要证BF//AC，可通过证明两直线被第三条直线所截的同旁内角互补推导。已知△ABC和△EFC都是等边三角形，可先利用等边三角形边相等、内角均为60°的性质，推导出∠ACE=∠BCF，进而证明△ACE≌△BCF，得到∠CBF=∠A=60°，计算可得∠A+∠ABF=180°，即可证得平行；
(2) 判断△AEG的形状，已知EG//BC，结合等边△ABC的三个内角都是60°，根据平行线的同位角相等性质，可得△AEG的三个内角均为60°，即可判定它是等边三角形；
(3) 要证AB=AD+BF，可通过构造辅助线转化线段关系。作EM//BC交AC于M，先证△AEM为等边三角形，再证明△ADE≌△MCE得到AD=MC，结合(1)中全等结论可得BF=AE=AM，利用AC=AM+MC，且等边△ABC中AB=AC，即可推导出待证结论。
【解析】
(1)证明:
∵△ABC和△EFC都是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=∠ECF=60°,AC=BC,
CE=CF,
∴∠ACE=∠BCF.
在△ACE和△BCF中,$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCF, \\ CE=CF, \end{cases}$
∴△ACE≌△BCF(SAS),
∴∠A=∠CBF=60°.
∵∠ABC=60°,
∴∠A+∠ABC+∠CBF=180°,
即∠A+∠ABF=180°,
∴AC//BF.
(2)解:△AEG是等边三角形.理由如下:
过点E作EG//BC交AC于点G.如答图①.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°.
∵EG//BC,
∴∠AEG=∠ABC=60°,∠AGE=∠ACB=60°,
∴∠A=∠AEG=∠AGE=60°,
∴△AEG是等边三角形.
(3)证明:如答图②,过点E作EM//BC交AC于点M,
则∠AEM=∠ABC=60°,∠AME=∠ACB=60°.
∵∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠BAC=∠AEM=∠AME=60°,
∴△AEM是等边三角形,
∴AE=EM=AM,
∴∠DAE=∠EMC=120°.
∵DE=CE,
∴∠D=∠MCE.
在△ADE和△MCE中,$\begin{cases} ∠DAE=∠CME, \\ ∠D=∠MCE, \\ AE=ME, \end{cases}$
∴△ADE≌△MCE(AAS),
∴AD=MC.
由(1)得△ACE≌△BCF,
∴AE=BF,
∴BF=AM.
∵AC=AM+CM,
∴AC=BF+AD,
∴AB=AD+BF.
【答案】
(1) 证明见上述解析，BF//AC成立；
(2) △AEG是等边三角形，理由见上述解析；
(3) 证明见上述解析，AB=AD+BF成立。
【知识点】
等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题为几何综合题，围绕等边三角形、全等三角形、平行线的核心知识点设计，三个小问难度逐层提升，前两问侧重基础性质的直接应用，第三问需要通过构造辅助线转化线段关系，能够很好地考查几何逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6