6. △ABC的位置如图所示，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，已知点B平移后的对应点B'的坐标是(4,2)，在y轴上存在点D，使△DAC'的面积等于△ABC面积的2倍，满足条件的点D的坐标是（）

A.(0,5)
B.(0,6)
C.(0,5)或(0,6)
D.(0,5)或(0,−5)

6.D

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先从图中读取△ABC三个顶点的原始坐标，再结合点B平移后的坐标推导平移规律，进而求出平移后点C'的坐标；第二步，计算△ABC的面积，得到△DAC'需要满足的目标面积；第三步，设y轴上点D的坐标为(0,y)，利用y轴上线段为底时的面积计算方法列方程，求解得到y的取值即可确定D的坐标。
【解析】
1. 确定初始坐标：由图可得$A(0,0)$，$B(3,0)$，$C(5,5)$。
2. 推导平移规律：已知B平移后对应点$B'(4,2)$，横坐标变化为$4-3=1$，纵坐标变化为$2-0=2$，即平移规则为横坐标加1，纵坐标加2。
3. 求$C'$坐标：将$C(5,5)$按平移规则计算，得$C'$的横坐标为$5+1=6$，纵坐标为$5+2=7$，即$C'(6,7)$。
4. 计算$△ ABC$的面积：$AB$边长为$3-0=3$，$AB$边上的高为点$C$的纵坐标5，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 3 × 5=\frac{15}{2}$，则目标面积$S_{△ DAC'}=2×\frac{15}{2}=15$。
5. 求点D坐标：设$D(0,y)$，线段$AD$在y轴上，长度为$|y|$，点$C'$到y轴的距离为其横坐标6（即AD边上的高为6），因此$S_{△ DAC'}=\frac{1}{2}×|y|×6=3|y|$。列方程$3|y|=15$，解得$y=\pm5$，即点D坐标为$(0,5)$或$(0,-5)$。
【答案】
D
【知识点】
坐标与平移变化；坐标系内面积计算；解绝对值方程
【点评】
本题易错点是求解y时容易忽略绝对值对应的负数值，解题时要注意结合坐标系的特点，理解y轴上点的坐标特征，避免漏解。
【难度系数】
0.7

7.如图,在平面直角坐标系中,△A₁B₁C₁是由△ABC平移得到的,若点(a,b)是△ABC内部的一点,平移后的对应点为P₁.
(1)分别写出各点的坐标:A₁ ,B₁ ,C₁ ,P₁ ;
(2)若在x轴上存在一点E,使得△ABE的面积为3,求点E的坐标.

7.(1)(-4,1) (-3,4) (-1,3) (a-5,b+4)
(2)解:设 E(m,0),则有 $\frac{1}{2}×3×|m-2|=3$,
解得 m=4 或 m=0,
∴点 E 的坐标为(4,0)或(0,0).

【分析】
(1)首先从平面直角坐标系中直接读出△A₁B₁C₁三个顶点的坐标，再找到△ABC的对应顶点A的坐标，对比两个点的横、纵坐标变化，得到平移规则：向左平移5个单位，向上平移4个单位，最后根据该平移规则写出点(a,b)平移后的坐标。
(2)点E和点B都在x轴上，因此△ABE的底为BE的长度，高为点A到x轴的距离（即点A纵坐标的绝对值），设E的坐标为(m,0)，用含m的绝对值表示BE的长度，代入三角形面积公式列方程求解即可，注意分E在B的左侧、右侧两种情况讨论，不要漏解。
【解析】
(1)观察坐标系可得：A₁(-4,1)，B₁(-3,4)，C₁(-1,3)；
△ABC中对应点A的坐标为(1,-3)，对比A到A₁的坐标变化：横坐标1→-4，减少了5；纵坐标-3→1，增加了4，因此平移规则为：向左平移5个单位，向上平移4个单位。
则△ABC内部点(a,b)平移后的对应点P₁的坐标为(a-5, b+4)。
(2)由图可知点B坐标为(2,0)，点A坐标为(1,-3)。
∵点E在x轴上，
∴设E的坐标为(m,0)，
则BE的长度为|m - 2|，△ABE的高为点A到x轴的距离，即|-3|=3，
根据三角形面积公式可得：$\frac{1}{2}×|m-2|×3=3$，
整理得：|m-2|=2，
∴m-2=2或m-2=-2，
解得：m=4或m=0，
即点E的坐标为(4,0)或(0,0)。
【答案】
(1)(-4,1)；(-3,4)；(-1,3)；(a-5,b+4)
(2)(4,0)或(0,0)
【知识点】
1. 平移的坐标变化规律
2. 坐标轴上点的坐标特征
3. 三角形面积计算
【点评】
本题基础且典型，既考查了平移时坐标的变化规律，又考查了坐标平面内的面积计算，解题时要注意x轴上两点的距离用横坐标差的绝对值表示，避免漏解。
【难度系数】
0.7

8.如图,在平面直角坐标系中,已知线段AB,且A(-4,0),B(-3,-3),平移线段AB到线段CD,使点A的对应点是点D,点B的对应点是点C.
(1)若点C的坐标为(1,1),则点D的坐标为,此时△ACD的面积为;
(2)若点C在第四象限,点D在y轴上,连接AC,BD交于点P,且$S_{△ PCD}=3.5$,求点C,D的坐标.

8.(1)(0,4) 8
(2)解:当点 D 在 x 轴上方时,连接 AD,BC,OC,如答图①.
∵点 D 在 y 轴上,
∴点 A 向右平移了 4 个单位长度,
∴B(-3,-3)向右平移 4 个单位长度,则点 C 的横坐标为 1.
由平移可知,AB//DC,AD//BC,
∴四边形 ABCD 是平行四边形,
∴P 为 AC 的中点.
$\because S_{△ PCD}=3.5,\therefore S_{△ ACD}=7,$
设 $OD=m$,则 $D(0,m),C(1,-3+m)$,
$\therefore \frac{1}{2}×4m+\frac{1}{2}×1×m+\frac{1}{2}×4×(3-m)=7,$
解得 m=2,
∴点 D 的坐标为(0,2),点 C 的坐标为(1,-1);
当点 D 在 x 轴下方时,连接 AD,BC,OC,如答图②.
设 $OD=n$,则 $D(0,-n),C(1,-3-n)$,
$\therefore \frac{1}{2}×4×(3+n)-\frac{1}{2}×4×n-\frac{1}{2}×1×n=7,$
解得 n=-2,不符合题意,舍去.
综上所述,点 C 的坐标为(1,-1),点 D 的坐标为(0,2).

【分析】
(1) 利用平移的坐标变化规律求解：平移过程中所有对应点的横坐标、纵坐标变化量均相同。先根据B到C的坐标计算平移的横、纵增量，再将该增量应用到A点上，即可得到D的坐标。求△ACD面积时，采用八年级常用的割补法，将三角形置于矩形中，用矩形面积减去周围多余直角三角形的面积即可。
(2) 首先由D在y轴上（横坐标为0），可算出A点平移的横坐标增量，进而得到C点的横坐标。再根据平移性质判定四边形ABCD是平行四边形，可得对角线交点P是AC中点，因此△ACD面积是△PCD的2倍。接下来分D在x轴上方、下方两种情况设参数，用割补法表示△ACD的面积列方程求解，最后结合C在第四象限的要求舍去不符合的解。
【解析】
(1) 计算平移增量：点B(-3,-3)平移后对应C(1,1)，横坐标增量为$1-(-3)=4$，纵坐标增量为$1-(-3)=4$。
点A(-4,0)按相同规律平移，得D的坐标为$(-4+4,0+4)$，即$(0,4)$。
求△ACD的面积：构造以$x=-4$到$x=1$、$y=0$到$y=4$为边的矩形，面积为$[1-(-4)]×(4-0)=20$，减去周围三个直角三角形的面积：
$S_1=\frac{1}{2}×4×4=8$，$S_2=\frac{1}{2}×1×3=1.5$，$S_3=\frac{1}{2}×5×1=2.5$，
因此$S_{△ ACD}=20-8-1.5-2.5=8$。
(2) 解：
∵点D在y轴上，横坐标为0，点A(-4,0)平移得到D，
∴平移的横坐标增量为$0-(-4)=4$，
∴点B(-3,-3)平移后点C的横坐标为$-3+4=1$。
由平移性质得$AB// DC$，$AD// BC$，
∴四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于P，故P为AC中点，
∴$S_{△ ACD}=2S_{△ PCD}=2×3.5=7$。
①当点D在x轴上方时，设$OD=m$（$m＞0$），则$D(0,m)$，平移纵坐标增量为$m-0=m$，故点C坐标为$(1,-3+m)$，
列面积方程：$\frac{1}{2}×4m+\frac{1}{2}×1× m+\frac{1}{2}×4×(3-m)=7$，
解得$m=2$，此时$D(0,2)$，$C(1,-1)$，C在第四象限，符合题意。
②当点D在x轴下方时，设$OD=n$（$n＞0$），则$D(0,-n)$，平移纵坐标增量为$-n$，故点C坐标为$(1,-3-n)$，
列面积方程：$\frac{1}{2}×4×(3+n)-\frac{1}{2}×4× n-\frac{1}{2}×1× n=7$，
解得$n=-2$，不符合$n＞0$的设定，舍去。
综上可得C、D的坐标。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(0,4)}$；$\boldsymbol{8}$
(2) 点C的坐标为$\boldsymbol{(1,-1)}$，点D的坐标为$\boldsymbol{(0,2)}$

【知识点】
平移的性质；平行四边形的性质；坐标与面积计算
【点评】
本题是坐标与几何结合的典型题，综合考查了平移的坐标变化规律、平行四边形的判定性质和割补法求面积，解题时要注意分类讨论点D的位置，同时结合点所在象限的坐标特征对解进行取舍，考查学生的逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6