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三、判断题。
1. 三个角都是$60°$的三角形既是等边三角形，也是等腰三角形。 （
2. 等腰三角形不仅两条腰相等，而且两个底角也相等。 （
3. 一个三角形有一个角是$90°$，则这个三角形是直角三角形。 （
4. 等腰三角形和等边三角形都是锐角三角形。 （
1. 三个角都是$60°$的三角形既是等边三角形，也是等腰三角形。 （
√
）2. 等腰三角形不仅两条腰相等，而且两个底角也相等。 （
√
）3. 一个三角形有一个角是$90°$，则这个三角形是直角三角形。 （
√
）4. 等腰三角形和等边三角形都是锐角三角形。 （
×
）答案
1.√ 2.√ 3.√ 4.×
解析
【分析】
做这类判断题，需要先回忆各类三角形的定义和特征，再逐条对照题目描述判断正误，遇到表述比较绝对的题目可以尝试找反例验证：
1. 先回忆等边三角形、等腰三角形的定义，判断三个角都是60°的三角形是否符合两者的特征；
2. 回忆等腰三角形的基本性质，核对题目描述；
3. 回忆直角三角形的定义，判断有一个角是90°的三角形是否符合定义；
4. 回忆锐角三角形的定义，判断是否所有等腰、等边三角形都满足三个角都是锐角，找反例验证即可。
【解析】
1. 三个角都是60°的三角形，三条边长度相等，符合等边三角形的定义；而等腰三角形的定义是至少有两条边相等的三角形，等边三角形三条边都相等，属于特殊的等腰三角形，因此描述正确。
2. 根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两条腰长度相等，两个底角的度数也相等，因此描述正确。
3. 直角三角形的定义是有一个角为直角（90°）的三角形，因此有一个角是90°的三角形就是直角三角形，描述正确。
4. 锐角三角形的定义是三个角都是锐角（小于90°）的三角形。等边三角形三个角都是60°，属于锐角三角形，但等腰三角形的顶角可以是直角或者钝角，比如等腰直角三角形有一个角是90°，属于直角三角形，不是锐角三角形，因此描述错误。
【答案】
1.√ 2.√ 3.√ 4.×
【知识点】
三角形的分类、等腰三角形性质、等边三角形性质
【点评】
本题重点考查对不同类型三角形定义、特征的区分和掌握，做题时要牢记特殊三角形的反例，避免对概念理解片面导致出错。
【难度系数】
0.8
做这类判断题，需要先回忆各类三角形的定义和特征，再逐条对照题目描述判断正误，遇到表述比较绝对的题目可以尝试找反例验证：
1. 先回忆等边三角形、等腰三角形的定义，判断三个角都是60°的三角形是否符合两者的特征；
2. 回忆等腰三角形的基本性质，核对题目描述；
3. 回忆直角三角形的定义，判断有一个角是90°的三角形是否符合定义；
4. 回忆锐角三角形的定义，判断是否所有等腰、等边三角形都满足三个角都是锐角，找反例验证即可。
【解析】
1. 三个角都是60°的三角形，三条边长度相等，符合等边三角形的定义；而等腰三角形的定义是至少有两条边相等的三角形，等边三角形三条边都相等，属于特殊的等腰三角形，因此描述正确。
2. 根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两条腰长度相等，两个底角的度数也相等，因此描述正确。
3. 直角三角形的定义是有一个角为直角（90°）的三角形，因此有一个角是90°的三角形就是直角三角形，描述正确。
4. 锐角三角形的定义是三个角都是锐角（小于90°）的三角形。等边三角形三个角都是60°，属于锐角三角形，但等腰三角形的顶角可以是直角或者钝角，比如等腰直角三角形有一个角是90°，属于直角三角形，不是锐角三角形，因此描述错误。
【答案】
1.√ 2.√ 3.√ 4.×
【知识点】
三角形的分类、等腰三角形性质、等边三角形性质
【点评】
本题重点考查对不同类型三角形定义、特征的区分和掌握，做题时要牢记特殊三角形的反例，避免对概念理解片面导致出错。
【难度系数】
0.8
四、选一选，填一填。
锐角三角形有；钝角三角形有；
直角三角形有；等腰三角形有；
等边三角形有。
锐角三角形有；钝角三角形有；
直角三角形有；等腰三角形有；
等边三角形有。
答案
锐角三角形有①④⑥⑨；钝角三角形有②⑧；
直角三角形有③⑤⑦；等腰三角形有④⑥⑦⑧；
等边三角形有⑥。
直角三角形有③⑤⑦；等腰三角形有④⑥⑦⑧；
等边三角形有⑥。
解析
【分析】
解题时首先要明确各类三角形的定义，再逐个判断每个三角形的类型：1. 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形；2. 钝角三角形：有1个角是钝角的三角形；3. 直角三角形：有1个角是直角的三角形；4. 等腰三角形：至少有两条边长度相等的三角形，直观上看图形沿某条中线左右对称；5. 等边三角形：三条边长度都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。接下来按照定义依次给9个三角形归类即可。
【解析】
我们逐个判断每个三角形的类型：
①：三个角都是锐角，属于锐角三角形；
②：有一个角是钝角，属于钝角三角形；
③：有一个直角，属于直角三角形；
④：三个角都是锐角，且两条腰长度相等，属于锐角三角形、等腰三角形；
⑤：有一个直角，属于直角三角形；
⑥：三个角都是锐角，三条边长度都相等，属于锐角三角形、等腰三角形、等边三角形；
⑦：有一个直角，且两条直角边长度相等，属于直角三角形、等腰三角形；
⑧：有一个角是钝角，且两条腰长度相等，属于钝角三角形、等腰三角形；
⑨：三个角都是锐角，属于锐角三角形。
据此完成归类即可。
【答案】
锐角三角形有①④⑥⑨；钝角三角形有②⑧；
直角三角形有③⑤⑦；等腰三角形有④⑥⑦⑧；
等边三角形有⑥。
【知识点】
三角形的分类；按角判定三角形；按边判定三角形
【点评】
本题重点考查对不同三角形特征的理解与识别，解题时需牢记各类三角形的判定标准，逐一核对图形特征即可，注意等边三角形属于特殊的等腰三角形，不要在归类等腰三角形时漏选。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确各类三角形的定义，再逐个判断每个三角形的类型：1. 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形；2. 钝角三角形：有1个角是钝角的三角形；3. 直角三角形：有1个角是直角的三角形；4. 等腰三角形：至少有两条边长度相等的三角形，直观上看图形沿某条中线左右对称；5. 等边三角形：三条边长度都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。接下来按照定义依次给9个三角形归类即可。
【解析】
我们逐个判断每个三角形的类型：
①：三个角都是锐角，属于锐角三角形；
②：有一个角是钝角，属于钝角三角形；
③：有一个直角，属于直角三角形；
④：三个角都是锐角，且两条腰长度相等，属于锐角三角形、等腰三角形；
⑤：有一个直角，属于直角三角形；
⑥：三个角都是锐角，三条边长度都相等，属于锐角三角形、等腰三角形、等边三角形；
⑦：有一个直角，且两条直角边长度相等，属于直角三角形、等腰三角形；
⑧：有一个角是钝角，且两条腰长度相等，属于钝角三角形、等腰三角形；
⑨：三个角都是锐角，属于锐角三角形。
据此完成归类即可。
【答案】
锐角三角形有①④⑥⑨；钝角三角形有②⑧；
直角三角形有③⑤⑦；等腰三角形有④⑥⑦⑧；
等边三角形有⑥。
【知识点】
三角形的分类；按角判定三角形；按边判定三角形
【点评】
本题重点考查对不同三角形特征的理解与识别，解题时需牢记各类三角形的判定标准，逐一核对图形特征即可，注意等边三角形属于特殊的等腰三角形，不要在归类等腰三角形时漏选。
【难度系数】
0.8
五、解答题。
1. 如图，一个等腰三角形顶角的度数正好是一个底角度数的3倍，这个三角形的三个内角各是多少度？
1. 如图，一个等腰三角形顶角的度数正好是一个底角度数的3倍，这个三角形的三个内角各是多少度？
答案
180°÷(3+1+1) = 36°
36°×3 = 108°
答：这个三角形的两个底角都是36°，顶角是108°。
36°×3 = 108°
答：这个三角形的两个底角都是36°，顶角是108°。
解析
【分析】
解题时首先明确两个基础知识点：一是等腰三角形的两个底角度数相等，二是三角形的内角和为180°。根据题目“顶角是一个底角度数的3倍”，我们可以把1个底角的度数看作1份，那么另一个底角也对应1份，顶角对应3份，三个内角的总份数为3+1+1=5份，这5份对应的总度数就是180°，先算出1份的度数即底角的度数，再乘3就能得到顶角的度数。
【解析】
把等腰三角形的一个底角度数看作1份，两个底角共2份，顶角为3份，三个内角总份数：
$3+1+1=5$
底角的度数：
$180°÷5=36°$
顶角的度数：
$36°×3=108°$
【答案】
这个三角形的两个底角都是$36°$，顶角是$108°$。
【知识点】
三角形内角和；等腰三角形特征；倍数应用
【点评】
本题是基础几何知识和倍数计算的结合题型，解题的核心是挖掘等腰三角形两底角相等的隐藏条件，将角度关系转化为份数关系后结合三角形内角和计算，能很好地考察学生对基础几何性质的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两个基础知识点：一是等腰三角形的两个底角度数相等，二是三角形的内角和为180°。根据题目“顶角是一个底角度数的3倍”，我们可以把1个底角的度数看作1份，那么另一个底角也对应1份，顶角对应3份，三个内角的总份数为3+1+1=5份，这5份对应的总度数就是180°，先算出1份的度数即底角的度数，再乘3就能得到顶角的度数。
【解析】
把等腰三角形的一个底角度数看作1份，两个底角共2份，顶角为3份，三个内角总份数：
$3+1+1=5$
底角的度数：
$180°÷5=36°$
顶角的度数：
$36°×3=108°$
【答案】
这个三角形的两个底角都是$36°$，顶角是$108°$。
【知识点】
三角形内角和；等腰三角形特征；倍数应用
【点评】
本题是基础几何知识和倍数计算的结合题型，解题的核心是挖掘等腰三角形两底角相等的隐藏条件，将角度关系转化为份数关系后结合三角形内角和计算，能很好地考察学生对基础几何性质的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
2.一个直角三角形中,其中一个锐角是$50°$,另一个锐角是多少度?
答案
180° - 90° - 50° = 40°
答：另一个锐角是40度。
答：另一个锐角是40度。
解析
【分析】
要计算直角三角形中未知锐角的度数，首先我们要明确两个核心知识点：一是任意三角形的内角和都是180°，二是直角三角形有一个固定的直角，度数为90°。解题时我们只需要用三角形内角和依次减去直角的度数、已知锐角的度数，就能得到未知锐角的度数。
【解析】
三角形的内角和为180°，直角三角形包含1个90°的直角。
已知其中一个锐角为50°，因此另一个锐角的度数为：
180° - 90° - 50°
= 90° - 50°
= 40°
【答案】
另一个锐角是40度。
【知识点】
1. 三角形内角和 2. 直角三角形特征
【点评】
本题是基础的几何计算类题目，主要考察对三角形内角和性质、直角三角形特点的掌握，计算过程简单，熟练掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要计算直角三角形中未知锐角的度数，首先我们要明确两个核心知识点：一是任意三角形的内角和都是180°，二是直角三角形有一个固定的直角，度数为90°。解题时我们只需要用三角形内角和依次减去直角的度数、已知锐角的度数，就能得到未知锐角的度数。
【解析】
三角形的内角和为180°，直角三角形包含1个90°的直角。
已知其中一个锐角为50°，因此另一个锐角的度数为：
180° - 90° - 50°
= 90° - 50°
= 40°
【答案】
另一个锐角是40度。
【知识点】
1. 三角形内角和 2. 直角三角形特征
【点评】
本题是基础的几何计算类题目，主要考察对三角形内角和性质、直角三角形特点的掌握，计算过程简单，熟练掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
