三 拓展应用
在没有量角器和激光测距仪的古代，人们是如何等分角、测量生活中不规则物品的尺寸，以及如何测量河流和湖泊的宽度呢？

解：
1. 等分角：利用尺规作图结合全等三角形性质操作：
以已知角的顶点为圆心，取任意长度为半径画弧，与角的两条边分别交于两点；再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧在角的内部交于一点，连接该点与角的顶点，得到的射线就将原角二等分，重复该操作即可完成多次等分。
2. 测量不规则物品尺寸：采用化曲为直的方法，用无弹性的细绳贴合待测的不规则轮廓，标记出与待测轮廓完全重合的绳段两端，将细绳拉直后，用标准长度量具测量该标记段的长度，即可得到不规则轮廓的对应尺寸。
3. 测量河流、湖泊的宽度：利用全等三角形对应边相等的性质，无需跨越水域即可测量：
在靠近水域的岸边取点A，使对岸的目标点B与点A的连线AB垂直于岸边，AB即为待测宽度；沿岸边平直方向取线段AC，标记AC的中点O；从点C沿垂直于AC、远离水域的方向行走，直到观测到点D、O、B三点共线，此时可证△ABO≌△CDO，直接测量CD的长度就得到了AB的长度，也就是水域的宽度。
答：古代人分别通过尺规等分角、化曲为直测量不规则尺寸、全等三角形测距的方法完成上述测量操作。

古时的“规”和“矩”不仅能画几何图形，还可以用来构造全等三角形并等分已知角.
怎样借助“规”和“矩”作一个角的角平分线呢？有如下三种方法：
① 利用“规”作图.

如上图，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N；分别以M，N为圆心，OM长为半径作弧，两弧交于点C，连接OC.
证明：射线OC是∠AOB的角平分线.

由题意得：$OM=ON$，$NC=MC$，$OC=OC$，
$\therefore △ OMC ≌ △ ONC(\mathrm{SSS})$，$\therefore ∠ MOC = ∠ NOC$，$\therefore$射线$OC$是$∠ AOB$的角平分线.

② 利用“矩”作图.

解：
作法：
1. 将“矩”的直角边对齐OA，移动矩，过∠AOB内部一点C作OA的垂线，垂足为D；
2. 保持点C位置不变，将“矩”的直角边对齐OB，过点C作OB的垂线，垂足为E，保证CD=CE；
3. 过点O、C作射线l，射线l即为所求作的∠AOB的平分线。
依据：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。