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1. 方程$x^2=4$的根是 （
A.$x=2$
B.$x=-2$
C.$x_1=2,x_2=-2$
D.$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
C
）A.$x=2$
B.$x=-2$
C.$x_1=2,x_2=-2$
D.$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
答案
1.C
解析
【分析】
这道题考查直接开平方法解一元二次方程，首先观察方程为$x^2=a(a＞0)$的形式，根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，因此开平方后会得到两个根，解题时注意不要遗漏负根，再对应选项判断即可。
【解析】
解：对于方程$x^2=4$，
两边直接开平方，得$x=\pm\sqrt{4}$，
化简得$x=\pm2$，
即方程的根为$x_1=2$，$x_2=-2$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查直接开平方法的应用，解题时只要牢记正数的平方根有两个，避免漏解负根就能轻松得分。
【难度系数】
0.9
这道题考查直接开平方法解一元二次方程，首先观察方程为$x^2=a(a＞0)$的形式，根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，因此开平方后会得到两个根，解题时注意不要遗漏负根，再对应选项判断即可。
【解析】
解：对于方程$x^2=4$，
两边直接开平方，得$x=\pm\sqrt{4}$，
化简得$x=\pm2$，
即方程的根为$x_1=2$，$x_2=-2$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查直接开平方法的应用，解题时只要牢记正数的平方根有两个，避免漏解负根就能轻松得分。
【难度系数】
0.9
2.(2025·贵州)一元二次方程$x^2 -1=0$的根是
$x_1=1,x_2=-1$
.答案
$x_1=1,x_2=-1$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，观察方程特征可知方程不含一次项，适合选用直接开平方法解答。解题思路为：先将常数项移到方程等号的右侧，再根据平方根的定义对等式两边同时开平方，即可得到方程的两个根。
【解析】
解：对原方程移项，得
$x^2=1$
根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，得
$x=\pm\sqrt{1}$
即$x=\pm1$
因此方程的根为$x_1=1,x_2=-1$。
【答案】
$x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程的基础解法，只要熟练掌握直接开平方法的适用条件和平方根的相关性质，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的求解，观察方程特征可知方程不含一次项，适合选用直接开平方法解答。解题思路为：先将常数项移到方程等号的右侧，再根据平方根的定义对等式两边同时开平方，即可得到方程的两个根。
【解析】
解：对原方程移项，得
$x^2=1$
根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，得
$x=\pm\sqrt{1}$
即$x=\pm1$
因此方程的根为$x_1=1,x_2=-1$。
【答案】
$x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程的基础解法，只要熟练掌握直接开平方法的适用条件和平方根的相关性质，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
3. (2025·宿迁泗洪期中)一元二次方程$x^2 -9=0$的根是
$x_1=3,x_2=-3$
.答案
$x_1=3,x_2=-3$
解析
【分析】
首先观察一元二次方程的结构，该方程不含一次项，适合采用直接开平方法求解。解题思路为：先将常数项移到方程右侧，使左侧只含未知数的平方项，再根据平方根的定义对等式两侧同时开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，避免漏解。
【解析】
解：对原方程$x^2 -9=0$移项，得：
$x^2=9$
对等式两边同时开平方，得：
$x=\pm\sqrt{9}$
即$x=\pm3$
因此方程的根为$x_1=3$，$x_2=-3$。
【答案】
$x_1=3,x_2=-3$
【知识点】
直接开平方法；平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的适用场景和计算细节，解题时需注意开平方后不要遗漏负根。
【难度系数】
0.9
首先观察一元二次方程的结构，该方程不含一次项，适合采用直接开平方法求解。解题思路为：先将常数项移到方程右侧，使左侧只含未知数的平方项，再根据平方根的定义对等式两侧同时开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，避免漏解。
【解析】
解：对原方程$x^2 -9=0$移项，得：
$x^2=9$
对等式两边同时开平方，得：
$x=\pm\sqrt{9}$
即$x=\pm3$
因此方程的根为$x_1=3$，$x_2=-3$。
【答案】
$x_1=3,x_2=-3$
【知识点】
直接开平方法；平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的适用场景和计算细节，解题时需注意开平方后不要遗漏负根。
【难度系数】
0.9
4.(2025·宿迁沭阳期中)方程$(x-1)^2=9$的根是
$x_1=-2,x_2=4$
.答案
$x_1=-2,x_2=4$
解析
【分析】
观察方程结构，左边是关于x的一次式的完全平方，右边是正的常数，符合直接开平方法解一元二次方程的形式。解题时可以把$(x-1)$看作一个整体，根据平方根的定义，先求出9的平方根为±3，将原方程转化为两个一元一次方程，再分别求解即可得到方程的根，注意开平方时不要遗漏负的平方根。
【解析】
解：对$(x-1)^2=9$两边直接开平方，得：
$x-1=\pm\sqrt{9}=\pm3$
即$x-1=3$或$x-1=-3$
当$x-1=3$时，解得$x=4$；
当$x-1=-3$时，解得$x=-2$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=4$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的定义
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心是掌握直接开平方法的适用场景，当方程可化为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式时，即可通过开平方将二次方程降次为一次方程求解，解题时需注意开平方后有正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.9
观察方程结构，左边是关于x的一次式的完全平方，右边是正的常数，符合直接开平方法解一元二次方程的形式。解题时可以把$(x-1)$看作一个整体，根据平方根的定义，先求出9的平方根为±3，将原方程转化为两个一元一次方程，再分别求解即可得到方程的根，注意开平方时不要遗漏负的平方根。
【解析】
解：对$(x-1)^2=9$两边直接开平方，得：
$x-1=\pm\sqrt{9}=\pm3$
即$x-1=3$或$x-1=-3$
当$x-1=3$时，解得$x=4$；
当$x-1=-3$时，解得$x=-2$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=4$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的定义
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心是掌握直接开平方法的适用场景，当方程可化为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式时，即可通过开平方将二次方程降次为一次方程求解，解题时需注意开平方后有正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.9
5.用直接开平方法解下列方程：
(1)$x^2=8$；
(2)$-3x^2+12=0$；
(3)$(x-2)^2=9$；
(4)$(2025·宿迁宿城期末)(x-1)^2-15=0$；
(5)$2(x+1)^2=18$；
(6)$\frac{1}{2}(x+1)^2-14=0$。
(1)$x^2=8$；
(2)$-3x^2+12=0$；
(3)$(x-2)^2=9$；
(4)$(2025·宿迁宿城期末)(x-1)^2-15=0$；
(5)$2(x+1)^2=18$；
(6)$\frac{1}{2}(x+1)^2-14=0$。
答案
(1)$x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$
(2)$x_1=2,x_2=-2$
(3)$x_1=5,x_2=-1$
(4)$x_1=1+\sqrt{15},x_2=1-\sqrt{15}$
(5)$x_1=2,x_2=-4$
(6)$x_1=2\sqrt{7}-1,x_2=-2\sqrt{7}-1$
(2)$x_1=2,x_2=-2$
(3)$x_1=5,x_2=-1$
(4)$x_1=1+\sqrt{15},x_2=1-\sqrt{15}$
(5)$x_1=2,x_2=-4$
(6)$x_1=2\sqrt{7}-1,x_2=-2\sqrt{7}-1$
解析
【分析】
直接开平方法解一元二次方程的核心是将方程转化为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，再利用平方根的定义，两边同时开平方得到两个一元一次方程，进而求解。解题通用步骤为：①移项，将常数项移到等号右侧；②系数化为1，使完全平方式的系数为1；③开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解；④解一元一次方程得到原方程的两个根，各小题均按该思路求解即可。
【解析】
(1) 对$x^2=8$直接开平方，得$x=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$
∴ $x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$
(2) 对$-3x^2+12=0$移项，得$-3x^2=-12$
系数化为1，得$x^2=4$
开平方得$x=\pm2$
∴ $x_1=2,x_2=-2$
(3) 对$(x-2)^2=9$直接开平方，得$x-2=\pm3$
当$x-2=3$时，$x=5$；当$x-2=-3$时，$x=-1$
∴ $x_1=5,x_2=-1$
(4) 对$(x-1)^2-15=0$移项，得$(x-1)^2=15$
开平方得$x-1=\pm\sqrt{15}$
∴ $x=1\pm\sqrt{15}$
∴ $x_1=1+\sqrt{15},x_2=1-\sqrt{15}$
(5) 对$2(x+1)^2=18$系数化为1，得$(x+1)^2=9$
开平方得$x+1=\pm3$
当$x+1=3$时，$x=2$；当$x+1=-3$时，$x=-4$
∴ $x_1=2,x_2=-4$
(6) 对$\frac{1}{2}(x+1)^2-14=0$移项，得$\frac{1}{2}(x+1)^2=14$
两边同乘2得$(x+1)^2=28$
开平方得$x+1=\pm\sqrt{28}=\pm2\sqrt{7}$
∴ $x=-1\pm2\sqrt{7}$
∴ $x_1=2\sqrt{7}-1,x_2=-2\sqrt{7}-1$
【答案】
(1)$x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$
(2)$x_1=2,x_2=-2$
(3)$x_1=5,x_2=-1$
(4)$x_1=1+\sqrt{15},x_2=1-\sqrt{15}$
(5)$x_1=2,x_2=-4$
(6)$x_1=2\sqrt{7}-1,x_2=-2\sqrt{7}-1$
【知识点】
直接开平方法，平方根的性质，一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练题，核心考查直接开平方法的应用，解题关键是熟练掌握“将方程变形为完全平方式等于非负常数，再开平方转化为一次方程求解”的流程，开平方时注意不要遗漏负根，掌握根式化简规则可提升解题正确率。
【难度系数】
0.85
直接开平方法解一元二次方程的核心是将方程转化为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，再利用平方根的定义，两边同时开平方得到两个一元一次方程，进而求解。解题通用步骤为：①移项，将常数项移到等号右侧；②系数化为1，使完全平方式的系数为1；③开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解；④解一元一次方程得到原方程的两个根，各小题均按该思路求解即可。
【解析】
(1) 对$x^2=8$直接开平方，得$x=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$
∴ $x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$
(2) 对$-3x^2+12=0$移项，得$-3x^2=-12$
系数化为1，得$x^2=4$
开平方得$x=\pm2$
∴ $x_1=2,x_2=-2$
(3) 对$(x-2)^2=9$直接开平方，得$x-2=\pm3$
当$x-2=3$时，$x=5$；当$x-2=-3$时，$x=-1$
∴ $x_1=5,x_2=-1$
(4) 对$(x-1)^2-15=0$移项，得$(x-1)^2=15$
开平方得$x-1=\pm\sqrt{15}$
∴ $x=1\pm\sqrt{15}$
∴ $x_1=1+\sqrt{15},x_2=1-\sqrt{15}$
(5) 对$2(x+1)^2=18$系数化为1，得$(x+1)^2=9$
开平方得$x+1=\pm3$
当$x+1=3$时，$x=2$；当$x+1=-3$时，$x=-4$
∴ $x_1=2,x_2=-4$
(6) 对$\frac{1}{2}(x+1)^2-14=0$移项，得$\frac{1}{2}(x+1)^2=14$
两边同乘2得$(x+1)^2=28$
开平方得$x+1=\pm\sqrt{28}=\pm2\sqrt{7}$
∴ $x=-1\pm2\sqrt{7}$
∴ $x_1=2\sqrt{7}-1,x_2=-2\sqrt{7}-1$
【答案】
(1)$x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$
(2)$x_1=2,x_2=-2$
(3)$x_1=5,x_2=-1$
(4)$x_1=1+\sqrt{15},x_2=1-\sqrt{15}$
(5)$x_1=2,x_2=-4$
(6)$x_1=2\sqrt{7}-1,x_2=-2\sqrt{7}-1$
【知识点】
直接开平方法，平方根的性质，一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练题，核心考查直接开平方法的应用，解题关键是熟练掌握“将方程变形为完全平方式等于非负常数，再开平方转化为一次方程求解”的流程，开平方时注意不要遗漏负根，掌握根式化简规则可提升解题正确率。
【难度系数】
0.85
6.(2025·张家港期末)关于x的一元二次方程$(a-1)x^2 + x + a^2 -1=0$的一个根是0，则a的值是（
A.0.5
B.1
C.1或-1
D.-1
D
）A.0.5
B.1
C.1或-1
D.-1
答案
6.D
解析
【分析】
解题时需结合两个关键条件推导：①已知方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，可先得到a的取值限制；②方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，因此将x=0代入原方程可得到关于a的方程，求解后结合前面的取值限制筛选出符合条件的a即可。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即：
$a-1 ≠ 0$，解得 $a ≠ 1$。
第二步：将根$x=0$代入原方程，得：
$(a-1) × 0^2 + 0 + a^2 - 1 = 0$
化简得 $a^2 - 1 = 0$，解得 $a = 1$ 或 $a = -1$。
第三步：结合第一步$a ≠ 1$的限制，排除$a=1$，因此$a=-1$。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.方程的根的概念
3.解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程中常见的易错题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接代入根求解后误选C。解题时要先明确方程的类型，先确定参数的限制条件，再结合根的性质求解，最后要验证结果是否符合限制条件。
【难度系数】
0.6
解题时需结合两个关键条件推导：①已知方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，可先得到a的取值限制；②方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，因此将x=0代入原方程可得到关于a的方程，求解后结合前面的取值限制筛选出符合条件的a即可。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即：
$a-1 ≠ 0$，解得 $a ≠ 1$。
第二步：将根$x=0$代入原方程，得：
$(a-1) × 0^2 + 0 + a^2 - 1 = 0$
化简得 $a^2 - 1 = 0$，解得 $a = 1$ 或 $a = -1$。
第三步：结合第一步$a ≠ 1$的限制，排除$a=1$，因此$a=-1$。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.方程的根的概念
3.解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程中常见的易错题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接代入根求解后误选C。解题时要先明确方程的类型，先确定参数的限制条件，再结合根的性质求解，最后要验证结果是否符合限制条件。
【难度系数】
0.6
7.如果关于$x$的方程$(x-9)^2 = m+4$可以用直接开平方法求解，那么$m$的取值范围是（
A.$m＞3$
B.$m≥3$
C.$m＞-4$
D.$m≥-4$
D
）A.$m＞3$
B.$m≥3$
C.$m＞-4$
D.$m≥-4$
答案
7.D
解析
【分析】
要解答本题，首先需要明确直接开平方法解一元二次方程的适用条件：对于形如$a^2 = b$的方程，只有当$b≥0$时，方程才有实数解，才能用直接开平方法求解，这是因为任意实数的平方都是非负数。本题中方程左边$(x-9)^2$是平方数，本身取值大于等于0，因此只需令右边的$m+4$为非负数，列出不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：$\because$ 方程$(x-9)^2 = m+4$可以用直接开平方法求解
$\therefore$ 根据平方的非负性，等号右侧的代数式必须是非负数，可得：
$m+4 ≥ 0$
移项解得：$m ≥ -4$
因此$m$的取值范围是$m≥-4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，主要考查直接开平方法的适用规则，解题关键是掌握平方数的非负性，据此列不等式求解即可。
【难度系数】
0.9
要解答本题，首先需要明确直接开平方法解一元二次方程的适用条件：对于形如$a^2 = b$的方程，只有当$b≥0$时，方程才有实数解，才能用直接开平方法求解，这是因为任意实数的平方都是非负数。本题中方程左边$(x-9)^2$是平方数，本身取值大于等于0，因此只需令右边的$m+4$为非负数，列出不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：$\because$ 方程$(x-9)^2 = m+4$可以用直接开平方法求解
$\therefore$ 根据平方的非负性，等号右侧的代数式必须是非负数，可得：
$m+4 ≥ 0$
移项解得：$m ≥ -4$
因此$m$的取值范围是$m≥-4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，主要考查直接开平方法的适用规则，解题关键是掌握平方数的非负性，据此列不等式求解即可。
【难度系数】
0.9
8.若关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^2 + 3x + m^2 -4 =0$有一根为$x=0$，则$m$的值为
$-2$
。答案
$-2$
解析
【分析】
解题需结合两个核心条件推导：①x=0是方程的根，根据根的定义，将x=0代入原方程可得到关于m的方程，求出m的初步取值；②原方程是一元二次方程，隐含二次项系数不为0的条件，需对初步求出的m值进行筛选，排除不符合要求的取值，即可得到最终结果。
【解析】
第一步：将x=0代入原方程，得：
$(m-2)×0^2 + 3×0 + m^2 -4 =0$
化简得$m^2 -4=0$，解得$m=2$或$m=-2$。
第二步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，即：
$m-2≠0$，解得$m≠2$。
第三步：结合上述结果，排除$m=2$，因此$m=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 方程的根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础易错题，解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，误将m=2也作为符合条件的结果，审题时要注意挖掘题干中的隐含限制条件，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
解题需结合两个核心条件推导：①x=0是方程的根，根据根的定义，将x=0代入原方程可得到关于m的方程，求出m的初步取值；②原方程是一元二次方程，隐含二次项系数不为0的条件，需对初步求出的m值进行筛选，排除不符合要求的取值，即可得到最终结果。
【解析】
第一步：将x=0代入原方程，得：
$(m-2)×0^2 + 3×0 + m^2 -4 =0$
化简得$m^2 -4=0$，解得$m=2$或$m=-2$。
第二步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，即：
$m-2≠0$，解得$m≠2$。
第三步：结合上述结果，排除$m=2$，因此$m=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 方程的根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础易错题，解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，误将m=2也作为符合条件的结果，审题时要注意挖掘题干中的隐含限制条件，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
9.若$(a^2 + b^2 - 2)^2 = 25$，则$a^2 + b^2$的值为
$7$
。答案
9.7
解析
【分析】
我们可以把$a^2 + b^2$看作一个整体，先利用直接开平方法对等式$(a^2 + b^2 - 2)^2 = 25$降次求解，再结合平方的非负性（$a^2≥0$，$b^2≥0$，因此$a^2 + b^2≥0$）排除不符合题意的解，即可得到最终结果。
【解析】
对等式$(a^2 + b^2 - 2)^2 = 25$两边同时开平方，得：
$a^2 + b^2 - 2 = \pm5$
分两种情况计算：
1. 当$a^2 + b^2 - 2 = 5$时，移项得$a^2 + b^2 = 5 + 2 = 7$，符合$a^2 + b^2≥0$的要求；
2. 当$a^2 + b^2 - 2 = -5$时，移项得$a^2 + b^2 = -5 + 2 = -3$，由于平方数是非负数，两个非负数的和不可能为负数，因此该解舍去。
综上，$a^2 + b^2$的值为7。
【答案】
7
【知识点】
直接开平方法解方程、平方的非负性
【点评】
本题解题关键是将$a^2 + b^2$看作整体求解，同时要注意结合代数式本身的取值范围排除增根，避免漏判导致出错。
【难度系数】
0.7
我们可以把$a^2 + b^2$看作一个整体，先利用直接开平方法对等式$(a^2 + b^2 - 2)^2 = 25$降次求解，再结合平方的非负性（$a^2≥0$，$b^2≥0$，因此$a^2 + b^2≥0$）排除不符合题意的解，即可得到最终结果。
【解析】
对等式$(a^2 + b^2 - 2)^2 = 25$两边同时开平方，得：
$a^2 + b^2 - 2 = \pm5$
分两种情况计算：
1. 当$a^2 + b^2 - 2 = 5$时，移项得$a^2 + b^2 = 5 + 2 = 7$，符合$a^2 + b^2≥0$的要求；
2. 当$a^2 + b^2 - 2 = -5$时，移项得$a^2 + b^2 = -5 + 2 = -3$，由于平方数是非负数，两个非负数的和不可能为负数，因此该解舍去。
综上，$a^2 + b^2$的值为7。
【答案】
7
【知识点】
直接开平方法解方程、平方的非负性
【点评】
本题解题关键是将$a^2 + b^2$看作整体求解，同时要注意结合代数式本身的取值范围排除增根，避免漏判导致出错。
【难度系数】
0.7
10.(2025·泰州靖江期中)已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程$2(x-5)^2 -18=0$的一个根，则这个三角形的周长为
$18$
。答案
10.18
解析
【分析】
要计算三角形的周长，已知两边长，需先求出第三边的长度。解题思路分为三步：第一步先解给定的一元二次方程，得到第三边的可能取值；第二步根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）对求得的根进行验证，舍去不符合条件的根；第三步将符合条件的第三边与已知两边相加得到周长。
【解析】
1. 求解一元二次方程$2(x-5)^2 -18=0$：
移项得：$2(x-5)^2 = 18$
两边同时除以2得：$(x-5)^2 = 9$
开平方得：$x-5 = ±3$
解得：$x_1 = 8$，$x_2 = 2$
2. 验证根是否满足三角形三边关系：
已知三角形两边长为4和6，若第三边长为2：$4+2=6$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，舍去；
若第三边长为8：$4+6＞8$，$6+8＞4$，$4+8＞6$，满足三角形三边关系，符合条件。
3. 计算三角形周长：$4+6+8=18$
【答案】
18
【知识点】
一元二次方程的解法；三角形三边关系
【点评】
本题是方程与几何的综合题，求解时要注意在得到方程的根后，必须结合三角形三边关系进行检验，排除不能构成三角形的根，避免漏检导致错解。
【难度系数】
0.7
要计算三角形的周长，已知两边长，需先求出第三边的长度。解题思路分为三步：第一步先解给定的一元二次方程，得到第三边的可能取值；第二步根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）对求得的根进行验证，舍去不符合条件的根；第三步将符合条件的第三边与已知两边相加得到周长。
【解析】
1. 求解一元二次方程$2(x-5)^2 -18=0$：
移项得：$2(x-5)^2 = 18$
两边同时除以2得：$(x-5)^2 = 9$
开平方得：$x-5 = ±3$
解得：$x_1 = 8$，$x_2 = 2$
2. 验证根是否满足三角形三边关系：
已知三角形两边长为4和6，若第三边长为2：$4+2=6$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，舍去；
若第三边长为8：$4+6＞8$，$6+8＞4$，$4+8＞6$，满足三角形三边关系，符合条件。
3. 计算三角形周长：$4+6+8=18$
【答案】
18
【知识点】
一元二次方程的解法；三角形三边关系
【点评】
本题是方程与几何的综合题，求解时要注意在得到方程的根后，必须结合三角形三边关系进行检验，排除不能构成三角形的根，避免漏检导致错解。
【难度系数】
0.7
11. 新定义 对于实数$a,b$,新定义一种运算“※”,$a※b=\begin{cases}a^2 - 2b & (a ＜ b), \\ b^2 - 2a & (a ≥ b).\end{cases}$ 若$x※2=5$,则$x$的值为 ______ .
答案
11.$-3$
解析
【分析】
本题是新定义运算结合方程求解的题型，解题时需先根据新定义的分段运算规则，分两种情况讨论x和2的大小关系，分别代入对应的运算公式列方程求解，最后检验求得的x值是否符合对应情况的取值范围，舍去不符合的解即可得到正确结果。
【解析】
根据新定义运算规则，分两种情况讨论：
1. 当$x ＜ 2$时，符合$a ＜ b$（$a=x,b=2$）的运算规则，代入得：
$x^2 - 2×2 = 5$
整理得$x^2 = 9$，解得$x_1=3$，$x_2=-3$
因该情况要求$x ＜ 2$，故$x=3$不符合取值范围，舍去，保留$x=-3$。
2. 当$x ≥ 2$时，符合$a ≥ b$（$a=x,b=2$）的运算规则，代入得：
$2^2 - 2x = 5$
整理得$4 - 2x =5$，解得$x=-\frac{1}{2}$
因该情况要求$x ≥ 2$，$x=-\frac{1}{2}$不符合取值范围，舍去。
综上，x的值为-3。
【答案】
$-3$
【知识点】
新定义运算；解一元二次方程；分类讨论思想
【点评】
解题的关键是正确理解新定义的运算规则，注意分段运算的前提条件，解方程后务必验证解是否符合对应区间的要求，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算结合方程求解的题型，解题时需先根据新定义的分段运算规则，分两种情况讨论x和2的大小关系，分别代入对应的运算公式列方程求解，最后检验求得的x值是否符合对应情况的取值范围，舍去不符合的解即可得到正确结果。
【解析】
根据新定义运算规则，分两种情况讨论：
1. 当$x ＜ 2$时，符合$a ＜ b$（$a=x,b=2$）的运算规则，代入得：
$x^2 - 2×2 = 5$
整理得$x^2 = 9$，解得$x_1=3$，$x_2=-3$
因该情况要求$x ＜ 2$，故$x=3$不符合取值范围，舍去，保留$x=-3$。
2. 当$x ≥ 2$时，符合$a ≥ b$（$a=x,b=2$）的运算规则，代入得：
$2^2 - 2x = 5$
整理得$4 - 2x =5$，解得$x=-\frac{1}{2}$
因该情况要求$x ≥ 2$，$x=-\frac{1}{2}$不符合取值范围，舍去。
综上，x的值为-3。
【答案】
$-3$
【知识点】
新定义运算；解一元二次方程；分类讨论思想
【点评】
解题的关键是正确理解新定义的运算规则，注意分段运算的前提条件，解方程后务必验证解是否符合对应区间的要求，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
