17. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,CD⊥AB于点D,CE平分∠ACD交AB于点E,则下列结论一定成立的是 ( )

A.BC= EC
B.EC= BE
C.BC= BE
D.AE= EC

C

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B。
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE=∠ACD/2=∠B/2。
∵∠CEB=∠A+∠ACE，∠A=90°-∠B，
∴∠CEB=90°-∠B+∠B/2=90°-∠B/2。
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°-∠B+∠B/2=90°-∠B/2，
∴∠CEB=∠BCE，
∴BC=BE。
C

18. 如图,∠ACB= ∠ADB= 90°,E为AB的中点,连接CD,CE,DE.若∠CDE= 56°,则∠DCE的度数是 ( )

A.56°
B.62°
C.63°
D.72°

A

∵∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$AB，
∴△CDE是等腰三角形，
∴∠DCE=∠CDE=56°。
A

19. 如图,在△ABC中,点D在BC上,且BD,CD的垂直平分线分别与AB,AC相交于点E,F.若△ABC的三个内角都不相等,则在∠1,∠2,∠3,∠4中,相等的角为______(用“=”连接).

∠2=∠4

20. (2024·新疆)如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,∠A= 30°,AB= 8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD= 30°,则AD的长为______.

6或12

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，
∴BC=AB×sin30°=8×$\frac{1}{2}$=4，
AC=AB×cos30°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，∠B=60°.
情况1：点D在AB延长线上
∵∠BCD=30°，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=120°.
在△ACD中，∠A=30°，∠ACD=120°，
∴∠ADC=30°，
∴∠A=∠ADC，
∴AC=CD=4$\sqrt{3}$.
过点C作CE⊥AB于点E，
在Rt△ACE中，∠A=30°，AC=4$\sqrt{3}$，
∴CE=AC×sin30°=4$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=2$\sqrt{3}$，
AE=AC×cos30°=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6.
在Rt△CDE中，CD=4$\sqrt{3}$，CE=2$\sqrt{3}$，
∴DE=$\sqrt{CD^2-CE^2}$=$\sqrt{(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}$=$\sqrt{48-12}$=$\sqrt{36}$=6，
∴AD=AE+DE=6+6=12.
情况2：点D在BA延长线上
∵∠BCD=30°，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=60°.
在△ACD中，∠A=30°，∠ACD=60°，
∴∠ADC=90°，
∴△ADC是直角三角形.
在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4$\sqrt{3}$，
∴CD=AC×sin30°=4$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=2$\sqrt{3}$，
AD=AC×cos30°=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6.
综上，AD的长为6或12.
6或12

21. 如图,在△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC= CD= BD= BE,∠A= 50°,求∠CDE的度数.
]

∵ AC=CD=BD=BE,∠A=50°,
∴ ∠A=∠CDA=50°,∠B=∠DCB,∠EDB=∠DEB.
∵ ∠CDA是△BDC的外角,
∴ ∠CDA=∠B+∠DCB,
∴ ∠B=25°.
∵ 在△BDE中,∠B+∠EDB+∠DEB=180°,
∴ ∠EDB=$\frac{1}{2}$×(180° - 25°)=77.5°,
∴ ∠CDE=180° - ∠CDA - ∠EDB=180° - 50° - 77.5°=52.5°

22. (2024·新疆)已知△ABC和△ADE都是等边三角形.
(1)如图①,当点D在BC上时,连接CE.请探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由.
(2)如图②,当点D在线段BC的延长线上时,连接CE,则CA,CE和CD之间的数量关系是______.
]

（1）CE+CD=CA 理由：
∵ △ABC和△ADE都是等边三角形,
∴ AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴ ∠BAC - ∠DAC=∠DAE - ∠DAC,
∴ ∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中,AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴ △ABD≌△ACE(SAS),
∴ BD=CE.
∵ BD+CD=BC,
∴ CE+CD=CA. （2）CA+CD=CE