23. (2024·安徽)在凸五边形ABCDE中,AB= AE,BC= DE,F是CD的中点.补充下列条件后,不能得到AF与CD一定垂直的是 A. ∠ABC= ∠AED
B. ∠BAF= ∠EAF
C. ∠BCF= ∠EDF
D. ∠ABD= ∠AEC

D

A. 连接AC、AD，
∵AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=DE，
∴△ABC≌△AED(SAS)，
∴AC=AD，
∵F是CD中点，
∴AF⊥CD；
B. 连接BF、EF，
∵AB=AE，∠BAF=∠EAF，AF=AF，
∴△ABF≌△AEF(SAS)，
∴BF=EF，
∵BC=DE，F是CD中点，CF=DF，
∴△BCF≌△EDF(SSS)，
∴∠BFC=∠EFD，
∵∠BFC+∠EFD=180°，
∴∠BFC=∠EFD=90°，
∴∠AFC=∠AFD=90°，
∴AF⊥CD；
C.
∵BC=DE，∠BCF=∠EDF，F是CD中点，CF=DF，
∴△BCF≌△EDF(ASA)，
∴BF=EF，∠BFC=∠EFD，连接BE，
∵∠BFC=∠EFD，
∴∠BFE=∠CFD=180°，即B、F、E共线，F是BE中点，又AB=AE，
∴AF⊥BE，即AF⊥CD；
D. 不能得到AF与CD一定垂直。
答案：D

24. 如图,P为△ABC内一点,过点P的线段MN分别交AB,BC于点M,N,且点M,N分别在PA,PC的垂直平分线上.若∠ABC= 80°,则∠APC的度数为 ( )

A.120°
B.125°
C.130°
D.135°

C

连接PM，PN。
∵点M在PA的垂直平分线上，
∴MA=MP，
∴∠MAP=∠MPA。
设∠MAP=∠MPA=α。
∵点N在PC的垂直平分线上，
∴NC=NP，
∴∠NCP=∠NPC。
设∠NCP=∠NPC=β。
在△ABC中，∠ABC=80°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-80°=100°，
即∠MAP+∠NCP=100°，
∴α+β=100°。
在△APC中，∠APC=180°-(∠PAC+∠PCA)=180°-(α+β)=180°-100°=80°。
（注：以上解答过程存在错误，正确答案应为130°，正确过程如下：
连接PM，PN。
∵点M在PA的垂直平分线上，
∴MA=MP，
∴∠MAP=∠MPA。设∠MAP=∠MPA=α，则∠BMP=∠MAP+∠MPA=2α。
∵点N在PC的垂直平分线上，
∴NC=NP，
∴∠NCP=∠NPC。设∠NCP=∠NPC=β，则∠BNP=∠NCP+∠NPC=2β。
在△BMN中，∠B+∠BMP+∠BNP=180°，∠B=80°，
∴80°+2α+2β=180°，
∴2(α+β)=100°，
∴α+β=50°。
在△ABC中，∠BAC+∠BCA=180°-∠B=100°，
即∠MAP+∠PAC+∠NCP+∠PCA=100°，
而∠PAC+∠PCA=180°-∠APC，
∠MAP=α，∠NCP=β，
∴α+β+180°-∠APC=100°，
∵α+β=50°，
∴50°+180°-∠APC=100°，
∴∠APC=130°。）
∠APC的度数为130°。
C

25. (2024·临夏改编)如图,在△ABC中,AB= AC= 2,∠BAC= 120°,将△ABC沿其底边的中线AD向下平移,使点A的对应点A'满足AA'= AD, A'B'与BD的交点为M,则B'M的长为______.

$\frac{2}{3}$

26. 如图,在四边形ABCD中,AB= AD,AC= 5,∠DAB= ∠DCB= 90°,则四边形ABCD的面积为______.

12.5 解析：如图,过点A作AE⊥AC,交CB的延长线于点E,则∠CAE=∠DAB=90°.
∴ ∠CAE - ∠CAB=∠DAB - ∠CAB,即∠BAE=∠DAC.
∵ ∠CAE=90°,
∴ ∠ACB+∠E=90°.
∵ ∠DCB=90°,
∴ ∠ACD+∠ACB=90°,
∴ ∠E=∠ACD. 在△ABE和△ADC中,∠E=∠ACD,∠BAE=∠DAC,AB=AD,
∴ △ABE≌△ADC(AAS),
∴ AE=AC=5,S△ABE=S△ADC,
∴ S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=S△ABE+S△ABC=S△ACE=$\frac{1}{2}$AC·AE=$\frac{1}{2}$×5×5=12.5.

27. (2024·宿城段考)如图,AB= 4 cm,AC= BD= 3 cm,∠CAB= ∠DBA= 60°,点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.设它们运动的时间为t s,点Q的运动速度为x cm/s.若△ACP与△BPQ全等,则x的值为______.

1或1.5

由题意得，$AP = t \, cm$，$BP = AB - AP = (4 - t) \, cm$，$BQ = xt \, cm$。
情况一：当}\triangle ACP \cong \triangle BPQ\text{时
则有$AC = BP$，$AP = BQ$。
$\because AC = 3 \, cm$，$\therefore 4 - t = 3$，解得$t = 1$。
又$\because AP = BQ$，即$t = xt$，将$t = 1$代入得$1 = x \cdot 1$，$\therefore x = 1$。
情况二：当}\triangle ACP \cong \triangle BQP\text{时
则有$AC = BQ$，$AP = BP$。
$\because AP = BP$，$\therefore t = 4 - t$，解得$t = 2$。
又$\because AC = BQ$，即$3 = xt$，将$t = 2$代入得$3 = 2x$，$\therefore x = \frac{3}{2} = 1.5$。
综上，$x$的值为$1$或$1.5$。
$1$或$1.5$

28. (2023·滨州)已知P是等边三角形ABC的边BC上的一点.若∠APC= 104°,则在以线段AP,BP,CP为边的三角形中,最小内角的度数为______.

解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，BC=AC。
在△APC中，∠APC=104°，∠ACB=60°，
∴∠PAC=180°-∠APC-∠ACB=180°-104°-60°=16°。
将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，连接PQ。
则AQ=AP，CQ=BP，∠PAQ=60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴PQ=AP。
∴△PQC的三边分别为PQ=AP，CQ=BP，PC，即△PQC是以AP，BP，CP为边的三角形。
∠ACQ=∠ABP=60°，
∠PCQ=∠ACB+∠ACQ=60°+60°=120°。
在△PQC中，∠PCQ=120°，
∴最小内角为(180°-120°)÷2=30°。
答案：30°

29. 如图,在△ABC中,AB= AC= 2,∠B= 40°,点D在线段BC上运动(不与点B,C重合),连接AD,作∠ADE= 40°,DE交线段AC于点E.
(1)当DC= 2时,求证:△ABD≌△DCE.
(2)(分类讨论思想)在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,当∠BAD的度数为多少时,△ADE是等腰三角形?请说明理由.
]

（1）
∵ AB=AC,
∴ ∠B=∠C.
∵ ∠ADC是△ABD的外角,
∴ ∠ADC=∠B+∠BAD,即∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD.
∵ ∠B=40°,∠ADE=40°,
∴ ∠CDE=∠BAD.
∵ AB=2,DC=2,
∴ AB=DC. 在△ABD和△DCE中,∠BAD=∠CDE,AB=DC,∠B=∠C,
∴ △ABD≌△DCE(ASA) （2）当∠BAD的度数为30°或60°时,△ADE是等腰三角形 理由：
∵ 在△ABC中,AB=AC,
∴ ∠B=∠C=40°. ① 若AD=AE,则∠AED=∠ADE=40°.
∵ ∠AED是△DEC的外角,
∴ ∠AED=∠EDC+∠C,
∴ ∠EDC=0°,此时点D,B重合,不符合题意,舍去. ② 若AD=ED,则∠DAE=∠DEA=$\frac{1}{2}$(180° - ∠ADE)=$\frac{1}{2}$×(180° - 40°)=70°.
∵ ∠AED=∠EDC+∠C,
∴ ∠EDC=30°,
∴ ∠BAD=∠EDC=30°. ③ 若AE=DE,则∠DAE=∠ADE=40°.
∵ △ABC的内角和为180°,
∴ ∠BAC=180° - 2×40°=100°,
∴ ∠BAD=100° - 40°=60°. 综上所述,当∠BAD的度数为30°或60°时,△ADE是等腰三角形.