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1. 已知正比例函数$y= -\frac{x}{2}$,则下列结论正确的是( )
A.图象是一条射线
B.图象必经过点$(-1,2)$
C.图象经过第一、三象限
D.$y随x$的增大而减小
A.图象是一条射线
B.图象必经过点$(-1,2)$
C.图象经过第一、三象限
D.$y随x$的增大而减小
答案
D
解析
A. 正比例函数图象是一条直线，不是射线，A错误；
B. 当$x=-1$时，$y=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}\neq2$，B错误；
C. 比例系数$k=-\frac{1}{2}＜0$，图象经过第二、四象限，C错误；
D. 比例系数$k=-\frac{1}{2}＜0$，$y$随$x$的增大而减小，D正确。
结论：D
B. 当$x=-1$时，$y=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}\neq2$，B错误；
C. 比例系数$k=-\frac{1}{2}＜0$，图象经过第二、四象限，C错误；
D. 比例系数$k=-\frac{1}{2}＜0$，$y$随$x$的增大而减小，D正确。
结论：D
2. (2024·山西)已知点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})都在正比例函数y= 3x$的图象上,若$x_{1}＜x_{2}$,则$y_{1}与y_{2}$的大小关系是( )
A.$y_{1}＞y_{2}$
B.$y_{1}＜y_{2}$
C.$y_{1}= y_{2}$
D.$y_{1}\geq y_{2}$
A.$y_{1}＞y_{2}$
B.$y_{1}＜y_{2}$
C.$y_{1}= y_{2}$
D.$y_{1}\geq y_{2}$
答案
B
解析
因为点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$都在正比例函数$y = 3x$的图象上，所以$y_{1}=3x_{1}$，$y_{2}=3x_{2}$。
$y_{1}-y_{2}=3x_{1}-3x_{2}=3(x_{1}-x_{2})$。
已知$x_{1}＜x_{2}$，则$x_{1}-x_{2}＜0$，所以$3(x_{1}-x_{2})＜0$，即$y_{1}-y_{2}＜0$，故$y_{1}＜y_{2}$。
B
$y_{1}-y_{2}=3x_{1}-3x_{2}=3(x_{1}-x_{2})$。
已知$x_{1}＜x_{2}$，则$x_{1}-x_{2}＜0$，所以$3(x_{1}-x_{2})＜0$，即$y_{1}-y_{2}＜0$，故$y_{1}＜y_{2}$。
B
3. 在函数$y= kx$($k$是常数,$k≠0$)的图象所在的每个象限内,$y的值随x$值的增大而减小,那么这个函数图象有可能经过的点是( )
A.$(2,3)$
B.$(-2,3)$
C.$(2,0)$
D.$(0,3)$
A.$(2,3)$
B.$(-2,3)$
C.$(2,0)$
D.$(0,3)$
答案
B
解析
在函数$y = kx$（$k$是常数，$k≠0$）中，
因为其图象所在的每个象限内，$y$的值随$x$值的增大而减小，
所以$k＞0$。
A. 若点$(2,3)$在函数图象上，则$3 = 2k$，解得$k=\frac{3}{2}＞0$，符合$k＞0$。
B. 若点$(-2,3)$在函数图象上，则$3=-2k$，解得$k=-\frac{3}{2}＜0$，不符合$k＞0$。
C. 点$(2,0)$代入函数得$0 = 2k$，解得$k = 0$，与$k≠0$矛盾，不在函数图象上。
D. 点$(0,3)$代入函数得$3=0×k$，不成立，不在函数图象上。
综上，这个函数图象有可能经过的点是A。
因为其图象所在的每个象限内，$y$的值随$x$值的增大而减小，
所以$k＞0$。
A. 若点$(2,3)$在函数图象上，则$3 = 2k$，解得$k=\frac{3}{2}＞0$，符合$k＞0$。
B. 若点$(-2,3)$在函数图象上，则$3=-2k$，解得$k=-\frac{3}{2}＜0$，不符合$k＞0$。
C. 点$(2,0)$代入函数得$0 = 2k$，解得$k = 0$，与$k≠0$矛盾，不在函数图象上。
D. 点$(0,3)$代入函数得$3=0×k$，不成立，不在函数图象上。
综上，这个函数图象有可能经过的点是A。
4. (2024·天津)若正比例函数$y= kx$($k$是常数,$k≠0$)的图象经过第一、三象限,则$k$的值可以是______(写出一个即可).
答案
1(答案不唯一)
5. 在正比例函数$y= kx$中,$y的值随x$值的增大而减小,则点$P(3,k)$在第______象限.
答案
四
解析
在正比例函数$y=kx$中，$y$的值随$x$值的增大而减小，所以$k＜0$。点$P(3,k)$的横坐标为$3＞0$，纵坐标为$k＜0$，因此点$P$在第四象限。
四
四
6. 若正比例函数$y= (m-3)x的图象经过点A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$,当$x_{1}＜x_{2}$时,$y_{1}＞y_{2}$,则$m$的取值范围是______.
答案
m＜3
解析
因为正比例函数$y=(m - 3)x$的图象经过点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，当$x_1 ＜ x_2$时，$y_1 ＞ y_2$，所以$y$随$x$的增大而减小，所以$m - 3 ＜ 0$，解得$m ＜ 3$。
$m ＜ 3$
$m ＜ 3$
7. 如果正比例函数$y= (m-1)x^{m^{2}-1}$的图象经过第二、四象限,那么$m$的值为______.
答案
−√2
解析
因为函数是正比例函数，所以$m^{2}-1=1$且$m - 1\neq0$。
由$m^{2}-1=1$，得$m^{2}=2$，解得$m=\sqrt{2}$或$m=-\sqrt{2}$。
又因为$m - 1\neq0$，所以$m\neq1$。
因为函数图象经过第二、四象限，所以比例系数$m - 1\lt0$，即$m\lt1$。
综上，$m=-\sqrt{2}$。
$-\sqrt{2}$
由$m^{2}-1=1$，得$m^{2}=2$，解得$m=\sqrt{2}$或$m=-\sqrt{2}$。
又因为$m - 1\neq0$，所以$m\neq1$。
因为函数图象经过第二、四象限，所以比例系数$m - 1\lt0$，即$m\lt1$。
综上，$m=-\sqrt{2}$。
$-\sqrt{2}$
8. 已知正比例函数$y= kx$($k≠0$)的图象经过点$(3,-6)$.
(1)求出该正比例函数的表达式；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(3)判断点$A(4,-2),B(-1.5,3)$是否在这个函数的图象上；
(4)若图象经过$C(x_{1},y_{1}),D(x_{2},y_{2})$两点,且$x_{1}＞x_{2}$,比较$y_{1},y_{2}$的大小.
(1)求出该正比例函数的表达式；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(3)判断点$A(4,-2),B(-1.5,3)$是否在这个函数的图象上；
(4)若图象经过$C(x_{1},y_{1}),D(x_{2},y_{2})$两点,且$x_{1}＞x_{2}$,比较$y_{1},y_{2}$的大小.
答案
(1)将(3,−6)代入y=kx(k≠0),得−6=3k,解得k=−2.
∴该正比例函数的表达式为y=−2x
(2)如图所示
(3)将x=4代入y=−2x,得y=−2×4=−8≠−2.
∴点A不在这个函数的图象上.将x=−1.5代入y=−2x,得y=−2×(−1.5)=3.
∴点B在这个函数的图象上
(4)
∵k=−2＜0,
∴y的值随着x值的增大而减小.
∵x₁＞x₂,
∴y₁＜y₂
9. (分类讨论思想)已知正比例函数$y= kx$,当$-4\leq x\leq4$时,函数有最大值3,求$k$的值.
答案
当k＞0时,函数值y随x的增大而增大,
∴当x=4时,y=3,
∴4k=3,解得k=3/4.当k＜0时,函数值y随x的增大而减小,
∴当x=−4时,y=3,
∴−4k=3,解得k=−3/4.综上所述，k的值为3/4或−3/4
∴当x=4时,y=3,
∴4k=3,解得k=3/4.当k＜0时,函数值y随x的增大而减小,
∴当x=−4时,y=3,
∴−4k=3,解得k=−3/4.综上所述，k的值为3/4或−3/4
