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勾股定理:直角三角形两直角边长度的
平方和
等于斜边长度的平方
。如果用a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么$a^2 + b^2 = c^2$
。我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾
，较长的直角边称为股
，斜边称为弦
。因此，人们把上面的结论称为勾股定理
。答案
平方和 平方 $a^2 + b^2 = c^2$ 勾 股 弦 勾股定理
解析
【分析】
本题是基础概念识记类题目，核心考查勾股定理的基础内容、字母表达式以及我国古代对直角三角形各边的传统称谓。解题时无需复杂推导或计算，只需要回忆教材中关于勾股定理的相关表述，逐一对应空缺内容填写即可。
【解析】
根据教材中勾股定理的定义：直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方；若用a、b分别表示两条直角边，c表示斜边，对应的字母表达式为$a^2 + b^2 = c^2$。我国古代对直角三角形的三边有专属称谓：较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，因此上述直角三角形三边的数量关系结论被称为勾股定理。
【答案】
平方和 平方 $a^2 + b^2 = c^2$ 勾 股 弦 勾股定理
【知识点】
勾股定理概念、勾股定理表达式、勾股定理文化常识
【点评】
本题属于基础识记题型，考查的均是勾股定理的核心基础内容，熟练掌握该部分知识点是后续运用勾股定理解决几何计算、实际应用类问题的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题是基础概念识记类题目，核心考查勾股定理的基础内容、字母表达式以及我国古代对直角三角形各边的传统称谓。解题时无需复杂推导或计算，只需要回忆教材中关于勾股定理的相关表述，逐一对应空缺内容填写即可。
【解析】
根据教材中勾股定理的定义：直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方；若用a、b分别表示两条直角边，c表示斜边，对应的字母表达式为$a^2 + b^2 = c^2$。我国古代对直角三角形的三边有专属称谓：较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，因此上述直角三角形三边的数量关系结论被称为勾股定理。
【答案】
平方和 平方 $a^2 + b^2 = c^2$ 勾 股 弦 勾股定理
【知识点】
勾股定理概念、勾股定理表达式、勾股定理文化常识
【点评】
本题属于基础识记题型，考查的均是勾股定理的核心基础内容，熟练掌握该部分知识点是后续运用勾股定理解决几何计算、实际应用类问题的重要基础。
【难度系数】
0.9
1. 如果一个直角三角形以$a,b$为直角边长，$c$为斜边长，那么下列各式不成立的是(
A.$a^2 + b^2 = c^2$
B.$a^2 = c^2 - b^2$
C.$c^2 = b^2 - a^2$
D.$b^2 = c^2 - a^2$
C
)。A.$a^2 + b^2 = c^2$
B.$a^2 = c^2 - b^2$
C.$c^2 = b^2 - a^2$
D.$b^2 = c^2 - a^2$
答案
1.C
解析
【分析】
解题的核心是牢记勾股定理的内容，再通过等式的基本移项变形验证每个选项是否成立。首先明确题目中a、b是直角边，c是斜边，直角三角形满足两条直角边的平方和等于斜边的平方，我们先写出勾股定理的原式，再逐一变形核对选项即可找出不成立的式子。
【解析】
根据勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知直角边为a、b，斜边为c，可得：
$a^2 + b^2 = c^2$，因此A选项成立。
对上述等式移项：
将$b^2$移到等号右侧，可得$a^2 = c^2 - b^2$，因此B选项成立；
将$a^2$移到等号右侧，可得$b^2 = c^2 - a^2$，因此D选项成立。
观察C选项：$c^2 = b^2 - a^2$，变形可得$a^2 + c^2 = b^2$，不符合勾股定理的内容，且斜边c为直角三角形最长边，$c^2$必然大于$a^2$、$b^2$，不可能等于$b^2 - a^2$，因此C选项不成立。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；等式移项变形
【点评】
本题是勾股定理的基础考查题，重点检验对勾股定理基本公式的记忆和简单变形的掌握，难度较低，熟练掌握勾股定理公式即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题的核心是牢记勾股定理的内容，再通过等式的基本移项变形验证每个选项是否成立。首先明确题目中a、b是直角边，c是斜边，直角三角形满足两条直角边的平方和等于斜边的平方，我们先写出勾股定理的原式，再逐一变形核对选项即可找出不成立的式子。
【解析】
根据勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知直角边为a、b，斜边为c，可得：
$a^2 + b^2 = c^2$，因此A选项成立。
对上述等式移项：
将$b^2$移到等号右侧，可得$a^2 = c^2 - b^2$，因此B选项成立；
将$a^2$移到等号右侧，可得$b^2 = c^2 - a^2$，因此D选项成立。
观察C选项：$c^2 = b^2 - a^2$，变形可得$a^2 + c^2 = b^2$，不符合勾股定理的内容，且斜边c为直角三角形最长边，$c^2$必然大于$a^2$、$b^2$，不可能等于$b^2 - a^2$，因此C选项不成立。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；等式移项变形
【点评】
本题是勾股定理的基础考查题，重点检验对勾股定理基本公式的记忆和简单变形的掌握，难度较低，熟练掌握勾股定理公式即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 AC=5，BC=12，则 AB² 的值是（
A.25
B.144
C.169
D.225
C
）。A.25
B.144
C.169
D.225
答案
2.C
解析
【分析】
首先，题目明确给出△ABC是直角三角形，且∠C=90°，根据直角三角形的特征，直角所对的边是斜边，因此AB为斜边，AC、BC为两条直角边。要求AB²的值，可直接运用勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入已知的两条直角边的长度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ AB为斜边，AC、BC是直角边，
根据勾股定理可得：$AB^2 = AC^2 + BC^2$，
将AC=5，BC=12代入得：
$AB^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是正确识别直角三角形的斜边和直角边，熟练掌握勾股定理的公式即可快速得出答案，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
首先，题目明确给出△ABC是直角三角形，且∠C=90°，根据直角三角形的特征，直角所对的边是斜边，因此AB为斜边，AC、BC为两条直角边。要求AB²的值，可直接运用勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入已知的两条直角边的长度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ AB为斜边，AC、BC是直角边，
根据勾股定理可得：$AB^2 = AC^2 + BC^2$，
将AC=5，BC=12代入得：
$AB^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是正确识别直角三角形的斜边和直角边，熟练掌握勾股定理的公式即可快速得出答案，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
3. 如图，已知两个正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（
D
）。答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，三个正方形的边长恰好构成一个直角三角形，我们可以结合正方形面积公式和勾股定理的几何意义来推导：正方形的面积等于边长的平方，因此三个正方形的面积刚好对应直角三角形三条边长的平方。其中面积为289的正方形以直角三角形的斜边为边长，面积为225的正方形和正方形A分别以两条直角边为边长，根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，就可以推出正方形A的面积等于斜边对应正方形的面积减去已知直角边对应正方形的面积。
【解析】
解：
∵正方形的面积等于边长的平方，
∴面积为225的正方形的边长平方为225，面积为289的正方形的边长平方为289。
由图可知，三个正方形的边长为同一个直角三角形的三条边，其中面积为289的正方形的边长是该直角三角形的斜边，另外两个正方形的边长是直角边。
根据勾股定理，设正方形A的面积为S，则：
$225 + S = 289$
解得$S = 289 - 225 = 64$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；正方形的面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的关键是建立正方形面积与直角三角形边长平方的对应关系，直接利用勾股定理计算即可，不需要额外的复杂推导。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征，三个正方形的边长恰好构成一个直角三角形，我们可以结合正方形面积公式和勾股定理的几何意义来推导：正方形的面积等于边长的平方，因此三个正方形的面积刚好对应直角三角形三条边长的平方。其中面积为289的正方形以直角三角形的斜边为边长，面积为225的正方形和正方形A分别以两条直角边为边长，根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，就可以推出正方形A的面积等于斜边对应正方形的面积减去已知直角边对应正方形的面积。
【解析】
解：
∵正方形的面积等于边长的平方，
∴面积为225的正方形的边长平方为225，面积为289的正方形的边长平方为289。
由图可知，三个正方形的边长为同一个直角三角形的三条边，其中面积为289的正方形的边长是该直角三角形的斜边，另外两个正方形的边长是直角边。
根据勾股定理，设正方形A的面积为S，则：
$225 + S = 289$
解得$S = 289 - 225 = 64$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；正方形的面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的关键是建立正方形面积与直角三角形边长平方的对应关系，直接利用勾股定理计算即可，不需要额外的复杂推导。
【难度系数】
0.8
4. 如图，分别以 $Rt△ ABC$ 的三条边为边向外作三个正方形。若正方形Ⅰ、正方形Ⅱ的面积分别为36，64，则正方形Ⅲ的面积为
100
。答案
4.100
解析
【分析】首先观察图形可知，△ABC是直角三角形，三个正方形分别以它的三边为边长向外作出。正方形的面积等于边长的平方，因此三个正方形的面积恰好对应直角三角形三条边长的平方。结合勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，正方形Ⅰ、Ⅱ的面积对应两条直角边的平方，二者求和即可得到正方形Ⅲ对应的斜边平方，也就是正方形Ⅲ的面积。
【解析】解：
∵正方形Ⅰ的面积为36，
∴$AC^2=36$；
∵正方形Ⅱ的面积为64，
∴$BC^2=64$；
又
∵△ABC是直角三角形，∠C为直角，根据勾股定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2=36+64=100$，
正方形Ⅲ的面积等于$AB^2$，因此正方形Ⅲ的面积为100。
【答案】100
【知识点】勾股定理；正方形面积计算
【点评】本题是勾股定理的典型基础应用，将正方形面积与直角三角形的边长性质结合，解题关键是建立正方形面积和直角三角形三边平方的对应关系，熟练掌握勾股定理即可快速求解。
【难度系数】0.9
【解析】解：
∵正方形Ⅰ的面积为36，
∴$AC^2=36$；
∵正方形Ⅱ的面积为64，
∴$BC^2=64$；
又
∵△ABC是直角三角形，∠C为直角，根据勾股定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2=36+64=100$，
正方形Ⅲ的面积等于$AB^2$，因此正方形Ⅲ的面积为100。
【答案】100
【知识点】勾股定理；正方形面积计算
【点评】本题是勾股定理的典型基础应用，将正方形面积与直角三角形的边长性质结合，解题关键是建立正方形面积和直角三角形三边平方的对应关系，熟练掌握勾股定理即可快速求解。
【难度系数】0.9
5. 已知在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对的边分别是$a$，$b$，$c$。
(1)若$a=7$，$b=24$，则$c=$
(2)若$b=6$，$c=10$，则$a=$
(1)若$a=7$，$b=24$，则$c=$
25
；(2)若$b=6$，$c=10$，则$a=$
8
。答案
5.(1)25 (2)8
解析
【分析】
本题考查直角三角形勾股定理的基础应用，解题思路如下：第一步，先明确直角三角形的斜边：因为∠C=90°，所以∠C的对边c是斜边，a、b为两条直角边，符合勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”，即$a^2+b^2=c^2$；第二步，根据已知条件选择公式变形：若已知两条直角边求斜边，直接代入公式计算斜边的平方再开算术平方根；若已知斜边和一条直角边求另一条直角边，将公式变形为$a^2=c^2-b^2$或$b^2=c^2-a^2$，再开算术平方根即可，注意三角形边长为正数，仅取正根。
【解析】
∵ 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：$a^2+b^2=c^2$，其中c为斜边。
(1) 已知$a=7$，$b=24$，代入得：
$c^2=a^2+b^2=7^2+24^2=49+576=625$
∵ c为三角形边长，$c＞0$
∴ $c=\sqrt{625}=25$
(2) 已知$b=6$，$c=10$，将勾股定理变形为$a^2=c^2-b^2$，代入得：
$a^2=10^2-6^2=100-36=64$
∵ a为三角形边长，$a＞0$
∴ $a=\sqrt{64}=8$
【答案】
(1)25；(2)8
【知识点】
勾股定理；算术平方根的应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的核心是准确判断直角三角形的斜边，正确套用勾股定理及其变形公式计算，计算时注意边长为非负数，开平方后仅取正根，熟练掌握勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查直角三角形勾股定理的基础应用，解题思路如下：第一步，先明确直角三角形的斜边：因为∠C=90°，所以∠C的对边c是斜边，a、b为两条直角边，符合勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”，即$a^2+b^2=c^2$；第二步，根据已知条件选择公式变形：若已知两条直角边求斜边，直接代入公式计算斜边的平方再开算术平方根；若已知斜边和一条直角边求另一条直角边，将公式变形为$a^2=c^2-b^2$或$b^2=c^2-a^2$，再开算术平方根即可，注意三角形边长为正数，仅取正根。
【解析】
∵ 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：$a^2+b^2=c^2$，其中c为斜边。
(1) 已知$a=7$，$b=24$，代入得：
$c^2=a^2+b^2=7^2+24^2=49+576=625$
∵ c为三角形边长，$c＞0$
∴ $c=\sqrt{625}=25$
(2) 已知$b=6$，$c=10$，将勾股定理变形为$a^2=c^2-b^2$，代入得：
$a^2=10^2-6^2=100-36=64$
∵ a为三角形边长，$a＞0$
∴ $a=\sqrt{64}=8$
【答案】
(1)25；(2)8
【知识点】
勾股定理；算术平方根的应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的核心是准确判断直角三角形的斜边，正确套用勾股定理及其变形公式计算，计算时注意边长为非负数，开平方后仅取正根，熟练掌握勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
6. 在Rt△ABC中，两直角边长分别为3，4，则△ABC的周长为
12
。答案
6.12
解析
【分析】
要计算直角三角形的周长，需要先明确三条边的长度，题目已经给出两条直角边的长度，因此首先利用勾股定理求出斜边的长度，再将三条边的长度相加就能得到周长。
【解析】
解：
∵△ABC是直角三角形，两条直角边长分别为3和4
∴根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
∴△ABC的周长为$3+4+5=12$
【答案】
12
【知识点】
勾股定理；三角形周长计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题核心是熟练掌握勾股定理的内容，准确求出斜边长度后结合周长公式计算即可。
【难度系数】
0.9
要计算直角三角形的周长，需要先明确三条边的长度，题目已经给出两条直角边的长度，因此首先利用勾股定理求出斜边的长度，再将三条边的长度相加就能得到周长。
【解析】
解：
∵△ABC是直角三角形，两条直角边长分别为3和4
∴根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
∴△ABC的周长为$3+4+5=12$
【答案】
12
【知识点】
勾股定理；三角形周长计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题核心是熟练掌握勾股定理的内容，准确求出斜边长度后结合周长公式计算即可。
【难度系数】
0.9
7. 已知一个直角三角形的两条边的长度分别为3和4，则第三条边的长度的平方为
25或7
。答案
7.25或7
解析
【分析】
本题考查勾股定理的应用，由于题目未明确给出已知的两条边是直角边还是斜边，因此需要结合“直角三角形中斜边最长”的特点分类讨论：①3和4均为直角边；②4为斜边、3为直角边（3不可能为斜边，无需讨论该情况），再分别结合勾股定理计算第三边的平方即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当长度为3和4的边均为直角边时，第三条边为斜边，根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和，因此第三条边的平方为：
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
2. 当长度为4的边为斜边，长度为3的边为直角边时，第三条边为另一条直角边，根据勾股定理，直角边的平方等于斜边的平方减去另一条直角边的平方，因此第三条边的平方为：
$4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$
综上，第三条边的长度的平方为25或7。
【答案】
25或7
【知识点】
勾股定理、分类讨论
【点评】
本题易错点是默认3和4均为直角边，仅得出25这一个结果，忽略4为斜边的情况。解题时若题目未明确说明直角边和斜边，需结合斜边最长的特点分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题考查勾股定理的应用，由于题目未明确给出已知的两条边是直角边还是斜边，因此需要结合“直角三角形中斜边最长”的特点分类讨论：①3和4均为直角边；②4为斜边、3为直角边（3不可能为斜边，无需讨论该情况），再分别结合勾股定理计算第三边的平方即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当长度为3和4的边均为直角边时，第三条边为斜边，根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和，因此第三条边的平方为：
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
2. 当长度为4的边为斜边，长度为3的边为直角边时，第三条边为另一条直角边，根据勾股定理，直角边的平方等于斜边的平方减去另一条直角边的平方，因此第三条边的平方为：
$4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$
综上，第三条边的长度的平方为25或7。
【答案】
25或7
【知识点】
勾股定理、分类讨论
【点评】
本题易错点是默认3和4均为直角边，仅得出25这一个结果，忽略4为斜边的情况。解题时若题目未明确说明直角边和斜边，需结合斜边最长的特点分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
8. 如图,四边形A,B,C,D,M都是正方形,由正方形的边围成的两个三角形都是直角三角形,正方形A,B,C的面积分别是2,4,3,则正方形D的面积是
9
。答案
8.9
解析
【分析】
解题时首先结合正方形面积与边长平方的对应关系，利用勾股定理的几何意义：直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。首先观察左侧直角三角形，它的两条直角边分别对应正方形A、B的边，斜边对应正方形M的边，可先求出正方形M的面积；再观察右侧直角三角形，它的两条直角边分别对应正方形M、C的边，斜边对应正方形D的边，代入即可求出正方形D的面积。
【解析】
设正方形A、B、C、D、M的边长分别为a、b、c、d、m。
根据正方形面积公式可知：$S_A=a^2=2$，$S_B=b^2=4$，$S_C=c^2=3$，$S_D=d^2$，$S_M=m^2$。
对左侧的直角三角形，由勾股定理得：$a^2 + b^2 = m^2$，因此$S_M = S_A + S_B = 2 + 4 = 6$。
对右侧的直角三角形，由勾股定理得：$m^2 + c^2 = d^2$，因此$S_D = S_M + S_C = 6 + 3 = 9$。
【答案】
9
【知识点】
勾股定理；正方形的面积
【点评】
本题是勾股定理几何意义的基础应用题，核心是将正方形的面积与直角三角形三边的平方直接对应，无需单独计算边长，通过面积的等量关系即可快速求解，能有效考查对勾股定理内涵的理解。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合正方形面积与边长平方的对应关系，利用勾股定理的几何意义：直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。首先观察左侧直角三角形，它的两条直角边分别对应正方形A、B的边，斜边对应正方形M的边，可先求出正方形M的面积；再观察右侧直角三角形，它的两条直角边分别对应正方形M、C的边，斜边对应正方形D的边，代入即可求出正方形D的面积。
【解析】
设正方形A、B、C、D、M的边长分别为a、b、c、d、m。
根据正方形面积公式可知：$S_A=a^2=2$，$S_B=b^2=4$，$S_C=c^2=3$，$S_D=d^2$，$S_M=m^2$。
对左侧的直角三角形，由勾股定理得：$a^2 + b^2 = m^2$，因此$S_M = S_A + S_B = 2 + 4 = 6$。
对右侧的直角三角形，由勾股定理得：$m^2 + c^2 = d^2$，因此$S_D = S_M + S_C = 6 + 3 = 9$。
【答案】
9
【知识点】
勾股定理；正方形的面积
【点评】
本题是勾股定理几何意义的基础应用题，核心是将正方形的面积与直角三角形三边的平方直接对应，无需单独计算边长，通过面积的等量关系即可快速求解，能有效考查对勾股定理内涵的理解。
【难度系数】
0.7
9. 已知$x,y$为正数，且$|x^2 - 4| + (y^2 - 3)^2 = 0$，如果以$x,y$为两直角边的长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边所作的正方形的面积为
7
。答案
9.7
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先，回忆非负数的性质：绝对值和偶次平方的结果都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0；其次，利用该性质求出$x^2$和$y^2$的值，无需单独计算x、y的具体数值；最后，根据勾股定理求出直角三角形斜边的平方，而以斜边为边长的正方形面积恰好等于斜边的平方，直接得出结果即可。
【解析】
解：
∵ 绝对值和平方数均为非负数，且$|x^2 - 4| + (y^2 - 3)^2 = 0$
∴ $\begin{cases}x^2 - 4 = 0 \\ y^2 - 3 = 0\end{cases}$
解得$x^2=4$，$y^2=3$（x、y为正数，无需考虑负根）
根据勾股定理，直角三角形的斜边长$c$满足：
$c^2 = x^2 + y^2 = 4 + 3 = 7$
∵ 以斜边为边长的正方形面积$S = c^2$
∴ $S=7$
【答案】
7
【知识点】
非负数的性质；勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是灵活运用非负数的性质，无需开方求出x、y的具体值，直接代入勾股定理即可得到正方形的面积，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：首先，回忆非负数的性质：绝对值和偶次平方的结果都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0；其次，利用该性质求出$x^2$和$y^2$的值，无需单独计算x、y的具体数值；最后，根据勾股定理求出直角三角形斜边的平方，而以斜边为边长的正方形面积恰好等于斜边的平方，直接得出结果即可。
【解析】
解：
∵ 绝对值和平方数均为非负数，且$|x^2 - 4| + (y^2 - 3)^2 = 0$
∴ $\begin{cases}x^2 - 4 = 0 \\ y^2 - 3 = 0\end{cases}$
解得$x^2=4$，$y^2=3$（x、y为正数，无需考虑负根）
根据勾股定理，直角三角形的斜边长$c$满足：
$c^2 = x^2 + y^2 = 4 + 3 = 7$
∵ 以斜边为边长的正方形面积$S = c^2$
∴ $S=7$
【答案】
7
【知识点】
非负数的性质；勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是灵活运用非负数的性质，无需开方求出x、y的具体值，直接代入勾股定理即可得到正方形的面积，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，D为AC上一点，且$DA=DB=5$。已知$△ DAB$的面积为10，则DC的长是
3
。答案
10.3
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，先根据△DAB的面积求出BC的长度。已知△DAB的底DA=5，因为∠C=90°，BC垂直于AC，所以BC就是DA边上的高，利用三角形面积公式即可求出BC；第二步，在Rt△BCD中，已知斜边DB=5，直角边BC已求出，直接用勾股定理就能计算出DC的长度。
【解析】
解：
∵ ∠C=90°，
∴ BC⊥AC，即BC是△DAB的边AD上的高。
已知$S_{△DAB}=10$，$DA=5$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$\frac{1}{2}×DA×BC=10$
代入DA=5，得$\frac{1}{2}×5×BC=10$，解得$BC=4$。
在Rt△BCD中，∠C=90°，$DB=5$，$BC=4$，根据勾股定理$DC^2 + BC^2 = DB^2$，得：
$DC^2 = DB^2 - BC^2 = 5^2 - 4^2 =25-16=9$
∵ DC为线段长度，为正数，
∴ $DC=\sqrt{9}=3$。
【答案】
3
【知识点】
三角形面积计算，勾股定理
【点评】
本题是勾股定理与三角形面积的基础综合题，解题的关键是判断出BC是△DAB的高，先求出BC的长度，再结合勾股定理求解未知线段，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步，先根据△DAB的面积求出BC的长度。已知△DAB的底DA=5，因为∠C=90°，BC垂直于AC，所以BC就是DA边上的高，利用三角形面积公式即可求出BC；第二步，在Rt△BCD中，已知斜边DB=5，直角边BC已求出，直接用勾股定理就能计算出DC的长度。
【解析】
解：
∵ ∠C=90°，
∴ BC⊥AC，即BC是△DAB的边AD上的高。
已知$S_{△DAB}=10$，$DA=5$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$\frac{1}{2}×DA×BC=10$
代入DA=5，得$\frac{1}{2}×5×BC=10$，解得$BC=4$。
在Rt△BCD中，∠C=90°，$DB=5$，$BC=4$，根据勾股定理$DC^2 + BC^2 = DB^2$，得：
$DC^2 = DB^2 - BC^2 = 5^2 - 4^2 =25-16=9$
∵ DC为线段长度，为正数，
∴ $DC=\sqrt{9}=3$。
【答案】
3
【知识点】
三角形面积计算，勾股定理
【点评】
本题是勾股定理与三角形面积的基础综合题，解题的关键是判断出BC是△DAB的高，先求出BC的长度，再结合勾股定理求解未知线段，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
