13. 如图,平面直角坐标系内一点A的坐标是(2,−1),点O是原点,点P是坐标轴上任意一点,是否存在点P,使△POA是以OA为腰的等腰三角形?若存在,写出点P的坐标;若不存在,请说明理由。

13.解:存在。理由如下:
由题意知 $OA=\sqrt{5}$。
当 $OA=OP$ 时,点 $P$ 的坐标为 $(\sqrt{5},0),(-\sqrt{5},0),(0,\sqrt{5}),(0,-\sqrt{5})$;
当 $AO=AP$ 时,点 $P$ 的坐标为 $(4,0),(0,-2)$。

【分析】
要解决本题，首先明确等腰三角形以OA为腰的两种情况：①OA=OP，即原点到点P的距离等于OA的长度；②AO=AP，即点A到点P的距离等于OA的长度。首先利用勾股定理求出OA的长度，再分点P在x轴、y轴两种情况分别求解对应的P坐标，最后排除三点共线无法构成三角形的情况即可。
【解析】
首先计算OA的长度：已知点A坐标为$(2,-1)$，由勾股定理得
$OA=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$
分两种情况讨论：
1. 当$OA=OP=\sqrt{5}$时：
若点P在x轴上，设$P(x,0)$，则$|x|=\sqrt{5}$，解得$x=\sqrt{5}$或$x=-\sqrt{5}$，对应点为$(\sqrt{5},0)$、$(-\sqrt{5},0)$；
若点P在y轴上，设$P(0,y)$，则$|y|=\sqrt{5}$，解得$y=\sqrt{5}$或$y=-\sqrt{5}$，对应点为$(0,\sqrt{5})$、$(0,-\sqrt{5})$。
2. 当$AO=AP=\sqrt{5}$时：
若点P在x轴上，设$P(x,0)$，则$\sqrt{(x-2)^2+(0+1)^2}=\sqrt{5}$，平方得$(x-2)^2+1=5$，解得$x=4$或$x=0$，$x=0$对应原点O，此时三点共线无法构成三角形，舍去，得点$(4,0)$；
若点P在y轴上，设$P(0,y)$，则$\sqrt{(0-2)^2+(y+1)^2}=\sqrt{5}$，平方得$4+(y+1)^2=5$，解得$y=-2$或$y=0$，$y=0$对应原点O，舍去，得点$(0,-2)$。
【答案】
存在，点P的坐标为$(\sqrt{5},0),(-\sqrt{5},0),(0,\sqrt{5}),(0,-\sqrt{5}),(4,0),(0,-2)$
【知识点】
勾股定理，等腰三角形的性质，平面直角坐标系
【点评】
本题是等腰三角形与平面直角坐标系的综合题，解题核心是根据等腰三角形腰的情况分类讨论，注意不要漏解，同时要排除三点共线的无效解。
【难度系数】
0.6

14.【综合与实践】在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都为整数的点叫整点，动点P从原点O出发，运动速度为每秒1个单位长度，规定点P只能向上或向右运动，请回答下列问题：
(1)填表。

(2)当$t=12$时，整点有个。
(3)若得到整点的坐标为$(8,7)$，则$t$为多少？
(4)若得到整点的坐标为$(m,n)$，则$t$为多少？

14.(1)
| $t=1$ | $(0,1),(1,0)$ | 2 |
| ---- | ---- | ---- |
| $t=2$ | $(0,2),(2,0),(1,1)$ | 3 |
| $t=3$ | $(0,3),(3,0),(2,1),(1,2)$ | 4 |
(2)13
(3)15
(4)$m+n$

【分析】
解题核心是明确动点的运动规则：只能向上或向右运动，每秒走1个单位，因此运动t秒时，向右走的步数（即横坐标x）与向上走的步数（即纵坐标y）都是非负整数，且总步数x+y=t。我们可以通过枚举x+y=t的非负整数解得到对应整点，再归纳整点个数与t的规律，即可解决后续问题。
【解析】
(1) ①$t=1$时，满足$x+y=1$的非负整数解为$\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}$、$\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}$，对应2个整点，故整点个数填2；
②$t=2$时，满足$x+y=2$的非负整数解为$\begin{cases}x=0\\y=2\end{cases}$、$\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$、$\begin{cases}x=2\\y=0\end{cases}$，对应整点坐标为$(0,2),(1,1),(2,0)$，共3个整点；
③$t=3$时，满足$x+y=3$的非负整数解为$\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}$、$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$、$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$、$\begin{cases}x=3\\y=0\end{cases}$，对应整点坐标为$(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)$，共4个整点。
(2) 由上述规律可知，t秒时整点个数为$t+1$，当$t=12$时，整点个数为$12+1=13$。
(3) 整点坐标为$(8,7)$，说明向右走了8步，向上走了7步，总时间$t=8+7=15$。
(4) 若整点坐标为$(m,n)$，说明向右走了m步，向上走了n步，总时间$t=m+n$。
【答案】
(1) $t=1$时整点个数填2；$t=2$时整点坐标为$(0,2),(1,1),(2,0)$，整点个数填3；$t=3$时整点坐标为$(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)$，整点个数填4；
(2) 13
(3) 15
(4) $m+n$
【知识点】
1. 平面直角坐标系整点定义
2. 动点规律探究
3. 代数式表示数量关系
【点评】
本题以平面直角坐标系中的动点为载体，核心是抓住“运动总时间等于向右与向上运动步数之和”的关系，通过枚举归纳得到通用规律，既考查对整点概念的理解，也锻炼归纳推理能力，解题时注意枚举坐标时按顺序避免漏解。
【难度系数】
0.8