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1.【探究规律】
(1)$15^2 = 15×15 = 225 = (1×2)×100 + 25$，
$25^2 = 25×25 = 625 = (2×3)×100 + 25$，
$35^2 = 35×35 = 1225 = (3×4)×100 + 25$，
$45^2 = \_\_\_\_\_\_$。
【猜想规律】
(2)$\overline{a5}^2 = \_\_\_\_\_\_$（$\overline{a5}$表示十位上数字是$a$，个位上数字是5的两位数，$\overline{a5}^2$表示此两位数的平方）.(结果化为最简)
【知识迁移】
(3)“十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积”，即$\overline{ab} · \overline{ad}$，其中$b + d = 10$，会不会也有类似规律？如果有，请探索规律；如果没有，请说明理由。
(1)$15^2 = 15×15 = 225 = (1×2)×100 + 25$，
$25^2 = 25×25 = 625 = (2×3)×100 + 25$，
$35^2 = 35×35 = 1225 = (3×4)×100 + 25$，
$45^2 = \_\_\_\_\_\_$。
【猜想规律】
(2)$\overline{a5}^2 = \_\_\_\_\_\_$（$\overline{a5}$表示十位上数字是$a$，个位上数字是5的两位数，$\overline{a5}^2$表示此两位数的平方）.(结果化为最简)
【知识迁移】
(3)“十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积”，即$\overline{ab} · \overline{ad}$，其中$b + d = 10$，会不会也有类似规律？如果有，请探索规律；如果没有，请说明理由。
答案
(1)$45×45=2\ 025=(4×5)×100+25$
(2)$100a(a+1)+25$
(3)有，$\overline{ab} · \overline{ad}=100a(a+1)+bd$.
(2)$100a(a+1)+25$
(3)有，$\overline{ab} · \overline{ad}=100a(a+1)+bd$.
解析
【分析】
解决本题需要遵循从特殊到一般的探究思路：首先观察已给出的个位为5的两位数平方的特殊计算例子，总结规律直接求解第(1)问；第(2)问将个位为5的两位数用含a的代数式表示，通过完全平方公式展开化简，推导通用规律；第(3)问类比前面的探究方法，把符合“十位相同、个位和为10”的两个两位数用代数式表示，结合已知条件通过多项式乘多项式展开化简，验证是否存在通用规律。
【解析】
(1) 观察已知算式的规律：个位是5的两位数的平方，结果等于十位数字乘比十位数字大1的数，再乘100，最后加25。
因此$45^2 = 45×45 = 2025 = (4×5)×100 + 25$。
(2) 由数位的意义可知，$\overline{a5}=10a+5$，对其平方展开化简：
$\overline{a5}^2=(10a+5)^2=100a^2 + 100a + 25 = 100a(a+1)+25$。
(3) 有类似规律，推导如下：
由数位的意义得$\overline{ab}=10a+b$，$\overline{ad}=10a+d$，已知$b+d=10$，两式相乘：
$\overline{ab}·\overline{ad}=(10a+b)(10a+d)$
$=100a^2 + 10a(b+d) + bd$
将$b+d=10$代入上式，化简得：
$=100a^2 + 100a + bd = 100a(a+1)+bd$
即得到对应规律。
【答案】
(1)$45×45=2025=(4×5)×100+25$
(2)$100a(a+1)+25$
(3)有，$\overline{ab} · \overline{ad}=100a(a+1)+bd$
【知识点】
数字规律探究，整式乘法运算，代数式化简
【点评】
本题侧重考察归纳推理能力和整式运算基本功，需要学生在观察特殊例子的基础上，通过代数推导验证通用规律，体现了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.6
解决本题需要遵循从特殊到一般的探究思路：首先观察已给出的个位为5的两位数平方的特殊计算例子，总结规律直接求解第(1)问；第(2)问将个位为5的两位数用含a的代数式表示，通过完全平方公式展开化简，推导通用规律；第(3)问类比前面的探究方法，把符合“十位相同、个位和为10”的两个两位数用代数式表示，结合已知条件通过多项式乘多项式展开化简，验证是否存在通用规律。
【解析】
(1) 观察已知算式的规律：个位是5的两位数的平方，结果等于十位数字乘比十位数字大1的数，再乘100，最后加25。
因此$45^2 = 45×45 = 2025 = (4×5)×100 + 25$。
(2) 由数位的意义可知，$\overline{a5}=10a+5$，对其平方展开化简：
$\overline{a5}^2=(10a+5)^2=100a^2 + 100a + 25 = 100a(a+1)+25$。
(3) 有类似规律，推导如下：
由数位的意义得$\overline{ab}=10a+b$，$\overline{ad}=10a+d$，已知$b+d=10$，两式相乘：
$\overline{ab}·\overline{ad}=(10a+b)(10a+d)$
$=100a^2 + 10a(b+d) + bd$
将$b+d=10$代入上式，化简得：
$=100a^2 + 100a + bd = 100a(a+1)+bd$
即得到对应规律。
【答案】
(1)$45×45=2025=(4×5)×100+25$
(2)$100a(a+1)+25$
(3)有，$\overline{ab} · \overline{ad}=100a(a+1)+bd$
【知识点】
数字规律探究，整式乘法运算，代数式化简
【点评】
本题侧重考察归纳推理能力和整式运算基本功，需要学生在观察特殊例子的基础上，通过代数推导验证通用规律，体现了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.6
2.【阅读材料】在日常生活中，电子支付、取款、上网等都需要密码.有一种用因式分解生成密码的程序，方便记忆.例如：对于多项式$x^4 - y^4$，因式分解的结果是$(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$.若取$x=9,y=9$，则各个因式的值分别是$x^2 + y^2=162,x + y=18,x - y=0$，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码.
【解决问题】
(1)按材料中的原理，若取$x=8,y=8$，生成的密码是
(2)若将程序修改：整式$x^2(x - 2y)+xy(2x - y)$因式分解的结果，取$x=90,y=7$时，用上述方法产生的密码是多少？（写出一种即可）
【解决问题】
(1)按材料中的原理，若取$x=8,y=8$，生成的密码是
128160
.(2)若将程序修改：整式$x^2(x - 2y)+xy(2x - y)$因式分解的结果，取$x=90,y=7$时，用上述方法产生的密码是多少？（写出一种即可）
答案
(1)128160
(2)产生的密码是 908397(答案不唯一).
(2)产生的密码是 908397(答案不唯一).
解析
【分析】
(1) 仿照材料给出的示例，先明确多项式$x^4-y^4$的因式分解结果，再将$x=8,y=8$分别代入三个因式计算对应的值，最后将三个计算结果按顺序拼接即可得到密码。
(2) 首先对给出的整式先进行去括号、合并同类项化简，再对化简后的结果因式分解，直到不能再分解为止，之后将$x=90,y=7$代入分解后的每个因式得到对应数值，将数值按任意顺序拼接即可得到密码，顺序不同密码不同。
【解析】
(1) 多项式$x^4-y^4$因式分解为$(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$，
当$x=8,y=8$时：
$x^2+y^2=8^2+8^2=64+64=128$，
$x+y=8+8=16$，
$x-y=8-8=0$，
将三个结果按顺序拼接得密码128160。
(2) 先化简整式$x^2(x-2y)+xy(2x-y)$：
$\begin{aligned}原式&=x^3 - 2x^2y + 2x^2y - xy^2\\&=x^3 - xy^2\\&=x(x^2 - y^2)\\&=x(x+y)(x-y)\end{aligned}$
当$x=90,y=7$时：
$x=90$，
$x+y=90+7=97$，
$x-y=90-7=83$，
将三个因式的结果按$x、x-y、x+y$的顺序拼接，可得密码908397（顺序调整可得到其他合理密码）。
【答案】
(1) $\boxed{128160}$
(2) $\boxed{908397}$（答案不唯一）
【知识点】
因式分解；平方差公式；整式化简
【点评】
本题结合生活中的密码设置场景考查因式分解的实际应用，解题的关键是将目标整式正确因式分解，代入数值后按任意顺序拼接即可得到对应密码，需要注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
(1) 仿照材料给出的示例，先明确多项式$x^4-y^4$的因式分解结果，再将$x=8,y=8$分别代入三个因式计算对应的值，最后将三个计算结果按顺序拼接即可得到密码。
(2) 首先对给出的整式先进行去括号、合并同类项化简，再对化简后的结果因式分解，直到不能再分解为止，之后将$x=90,y=7$代入分解后的每个因式得到对应数值，将数值按任意顺序拼接即可得到密码，顺序不同密码不同。
【解析】
(1) 多项式$x^4-y^4$因式分解为$(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$，
当$x=8,y=8$时：
$x^2+y^2=8^2+8^2=64+64=128$，
$x+y=8+8=16$，
$x-y=8-8=0$，
将三个结果按顺序拼接得密码128160。
(2) 先化简整式$x^2(x-2y)+xy(2x-y)$：
$\begin{aligned}原式&=x^3 - 2x^2y + 2x^2y - xy^2\\&=x^3 - xy^2\\&=x(x^2 - y^2)\\&=x(x+y)(x-y)\end{aligned}$
当$x=90,y=7$时：
$x=90$，
$x+y=90+7=97$，
$x-y=90-7=83$，
将三个因式的结果按$x、x-y、x+y$的顺序拼接，可得密码908397（顺序调整可得到其他合理密码）。
【答案】
(1) $\boxed{128160}$
(2) $\boxed{908397}$（答案不唯一）
【知识点】
因式分解；平方差公式；整式化简
【点评】
本题结合生活中的密码设置场景考查因式分解的实际应用，解题的关键是将目标整式正确因式分解，代入数值后按任意顺序拼接即可得到对应密码，需要注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
